f ''(x) = - f(x) για κάθε χ στο R, f'(0) = 0 ,f(0) = 1
Θα αντιμετωπιστεί γενικότερα το πρόβλημα, ώστε να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση
f΄΄(x)=-kf(x) => f΄΄(x)+kf(x)=0, x ανήκει R όπου k>0
Αν η f είναι σταθερή τότε f(x)=c για κάθε x ανήκει R. Τότε είναι f΄(x)=f΄΄(x)=0. Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση προκύπτει 0=-kc => c=0
Άρα η f(x)=0 είναι η μοναδική σταθερή συνάρτηση που είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης.
Εξετάζουμε στη συνέχεια την περίπτωση
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=[f΄(x)^2]+k[f(x)^2], x ανήκει R
Επειδή η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η g είναι παραγωγίσιμη, οπότε και συνεχής, στο R με πρώτη παράγωγο
g΄(x)=2f΄(x)f΄΄(x)+2kf(x)f΄(x)=2f΄(x)[f΄΄(x)+kf(x)]=2f΄(x)*0=0
Επειδή η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με g΄(x)=0 τότε υπάρχει r>0 ώστε g(x)=r για κάθε x ανήκει R.
Άρα
[f΄(x)^2]+k[f(x)^2]=r
για κάθε x ανήκει R
Επομένως υπάρχει παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση θ ώστε για κάθε x ανήκει R να ισχύει:
f(x)=[rημθ(x)]/SQRT(k)=[r/SQRT(k)]ημθ(x) (1)
f΄(x)=rσυνθ(x) (2)
(παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης με α=SQRT(k) και β=1 χωρίς απαραίτητα να είναι α>β)
Από την (1) προκύπτει:
f΄(x)=[r/SQRT(k)]θ΄(x)συνθ(x) (3)
Από τις (2) και (3) προκύπτει:
rσυνθ(x)=[r/SQRT(k)]θ΄(x)συνθ(x) => r[θ΄(x)-SQRT(k)]συνθ(x)=0 => [θ΄(x)-SQRT(k)]συνθ(x)=0 => θ΄(x)=SQRT(k) ή συνθ(x)=0 για κάθε x ανήκει R
Αν συνθ(x)=0 τότε θ(x)=2λπ+(π/2) για κάθε x ανήκει R ή θ(x)=2λπ-(π/2) για κάθε x ανήκει R, όπου λ ακέραιος αριθμός.
Για θ(x)=2λπ-(π/2) προκύπτει f(x)=-r/SQRT(k)<0 για κάθε x ανήκει R
Για θ(x)=2λπ+(π/2) προκύπτει f(x)=r/SQRT(k)>0 για κάθε x ανήκει R
Και οι δύο παραπάνω λύσεις δεν είναι αποδεκτές αφού η μόνη σταθερή συνάρτηση που είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η f(x)=0. Επομένως είναι αδύνατον να ισχύει συνθ(x)=0 για κάθε x ανήκει R
Άρα για κάθε x ανήκει R πρέπει να ισχύει θ΄(x)=SQRT(k) που σημαίνει ότι υπάρχει σταθερά φ ανήκει R ώστε θ(x)=xSQRT(k)+φ για κάθε x ανήκει R.
Επομένως
f(x)=[r/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k)+φ) για κάθε x ανήκει R
Η f γράφεται ισοδύναμα στη μορφή
f(x)=[r/SQRT(k)]ημ[xSQRT(k)+])=[r/SQRT(k)][ημ(xSQRT(k))συνφ+συν(xSQRT(k))ημφ]=[(rσυνφ)/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k))+[(rημφ)/SQRT(k)]συν(xSQRT(k))=Aημ(xSQRT(k))+Βσυν(xSQRT(k))
όπου A=[(rσυνφ)/SQRT(k)] και Β=[(rημφ)/SQRT(k)]
Αν Α=Β=0 τότε προκύπτει η λύση f(x)=0 που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση.
Συνεπώς η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι της μορφής:
f(x)=Αημ(xSQRT(k))+Βσυν(xSQRT(k)), x ανήκει R όπου Α,Β πραγματικές σταθερές
Η πρώτη παράγωγος της f είναι η f΄(x)=[ASQRT(k)]συν(xSQRT(k))-[BSQRT(k)]ημ(XSQRT(k))
Για x=0 προκύπτει
f(0)=B => B=f(0)
f΄(0)=ASQRT(k) => A=f΄(0)/SQRT(k)
Η γενική λύση γράφεται στη μορφή:
f(x)=[f΄(0)/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k)+f(0)συν(xSQRT(k)), x ανήκει R
Για k=1, f(0)=1 και f΄(0)=0 προκύπτει
f(x)=συνx, x ανήκει R