Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Guest 856924]

πως αντιπαραγωγιζονται αυτες οι δυο συναρτησεις για να κανω το rolle
1)f ' (x0) + f(x0)*ημχ0=0

2)f ' (x0)*συν^2χ0 +f(x0)=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

πως αντιπαραγωγιζονται αυτες οι δυο συναρτησεις για να κανω το rolle
1)f ' (x0) + f(x0)*ημχ0=0

2)f ' (x0)*συν^2χ0 +f(x0)=0

1) g(x)=f(x)*(e^(-συνx))

2) g(x)=f(x)*(e^(εφx)), συνx διάφορο 0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Filippos14]

πως αντιπαραγωγιζονται αυτες οι δυο συναρτησεις για να κανω το rolle
1)f ' (x0) + f(x0)*ημχ0=0

2)f ' (x0)*συν^2χ0 +f(x0)=0

Γενικα αν εχεις f'(x)+f(x)*g(x)=k(x)(Γραμμικη διαφορικη 1ης ταξης),υπαρχει ενας πιο γενικος τροπος αντιμεπωπισης :
Πρωτα πρεπει να βρεις μια παραγουσα της g(x),ας την πουμε G,δηλαδή G'(x)=g(x)
Τωρα πολ/ζεις με e^G(X) :
f'(x)*e^G(x)+f(x)*(e^G(x))=klp =>
[f(x)*e^G(X)]'=klp
Ρωτα και τον καθηγητη να στο πει απο κοντα γιατι απο ιντερνετ δεν.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 856924]

Γενικα αν εχεις f'(x)+f(x)*g(x)=k(x)(Γραμμικη διαφορικη 1ης ταξης),υπαρχει ενας πιο γενικος τροπος αντιμεπωπισης :
Πρωτα πρεπει να βρεις μια παραγουσα της g(x),ας την πουμε G,δηλαδή G'(x)=g(x)
Τωρα πολ/ζεις με e^G(X) :
f'(x)*e^G(x)+f(x)*(e^G(x))=klp =>
[f(x)*e^G(X)]'=klp
Ρωτα και τον καθηγητη να στο πει απο κοντα γιατι απο ιντερνετ δεν.

ευχαριστω φιλε αλλα το χω μαθει αυτο απλα μπερδευτηκα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 856924]

κατι αλλες αντιπαραγωγισεις που δεν ειναι παρομοιες με τα αλλα
1)f '(x0)=f ' (2-x0)
2)x0*f ' (x0^2)=f ' (2x0)
3){f ' (ξ)+1}*{f(ξ)+ξ}=-1/2
4)f ' (ξ)/f(ξ) +lnf(ξ)=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

κατι αλλες αντιπαραγωγισεις που δεν ειναι παρομοιες με τα αλλα
1)f '(x0)=f ' (2-x0)
2)x0*f ' (x0^2)=f ' (2x0)
3){f ' (ξ)+1}*{f(ξ)+ξ}=-1/2
4)f ' (ξ)/f(ξ) +lnf(ξ)=0

1) g(x)=f(x)+f(2-x)
2) g(x)=f(x^2)-f(2x)
3) g(x)=[(f(x)+x)^2]+x
4) g(x)=(e^x)*lnf(x)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 856924]

1) g(x)=f(x)+f(2-x)
2) g(x)=f(x^2)-f(2x)
3) g(x)=[(f(x)+x)^2]+x
4) g(x)=(e^x)*lnf(x)

πες μου λιγο εν συντομια τι εκανες στο καθενα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[photon]

κατι αλλες αντιπαραγωγισεις που δεν ειναι παρομοιες με τα αλλα
1)f '(x0)=f ' (2-x0)
2)x0*f ' (x0^2)=f ' (2x0)
3){f ' (ξ)+1}*{f(ξ)+ξ}=-1/2
4)f ' (ξ)/f(ξ) +lnf(ξ)=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Δήμος56103]

άσκηση:
βρείτε τη μονοτονία για τις συναρτήσεις:
f(X)= sqrt{4-X}
g(X)=X(X-2)
πώς λύνονται (;;; ) οι δυο παραπάνω ασκήσεις με βάση μόνο την παρακάτω μέθοδο επίλυσης (αν λύνονται):
α(X)=X^2
λύση:
πεδίο ορισμού όλο το R, Df=R
για X2>X1 :
X2*X2>X1*X1
άρα α(X2)>α(X1) οπότε γνησίως αύξουσα απο το 0 έως το +άπειρο
για μείον άπειρο ως 0 έχουμε:
0>X2>X1 , -X2*X2<-X1*X1 και άρα α(Χ2)<α(X1) οπότε είναι στο διάστημα αυτό: γνησίως φθίνουσα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Δήμος56103]

\sqrt{3}
{X}^{2}
δε ξέρω που κάνω λάθος στη σύνταξη κώδικα latex και παίρνω αυτή την κακή απεικόνιση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DumeNuke]

f(X)= sqrt{4-X}
g(X)=X(X-2)

Για χ1<χ2:
-χ1>-χ2
4-χ1>4-χ2
sqrt(4-χ1)>sqrt(4-x2)
f(x1)>f(x2)

Η συνάρτηση h(x)=sqrt(x) είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, όταν πηγαίνεις από την 3η στην 4η σειρά δεν αλλάζει η φορά της ανίσωσης.

Για χ1<χ2
χ1-2<χ2-2
Πολλαπλασιάζω κατά μέρη και έχω:
χ1(χ1-2)<χ2(χ2-2)
g(x1)<g(x2)

Συμπερασματικά, η f ειναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

1) f(x)=SQRT(4-x)
Για να ορίζεται η f πρέπει 4-x>=0 => x<=4
Άρα η f έχει πεδίο ορισμού το Α=(-οο,4]

Για x1<x2<=4 έχουμε:
x1<x2<=4 => -x1>-x2>=-4 => 4-x1>4-x2>=0 => SQRT(4-x1)>SQRT(4-x2) => f(x1)>f(x2)

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,4]

2) f(x)=x(x-2)=(x^2)-2x=[(x^2)-2x+1]-1=[(x-1)^2]-1
Η f έχει πεδίο ορισμού το A=R

Για x1<x2<=1 έχουμε
x1<x2<=1 => x1-1<x2-1<=0 => (x1-1)^2>(x2-1)^2 => [(x1-1)^2]-1>[(x2-1)^2]-1 => f(x1)>f(x2)
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο,1]

Για 1<=x1<x2 έχουμε
1<=x1<x2<=1 => 0<=x1-1<x2-1 => (x1-1)^2<(x2-1)^2 => [(x1-1)^2]-1<[(x2-1)^2]-1 => f(x1)<f(x2)
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+οο)

Για χ1<χ2
χ1-2<χ2-2
Πολλαπλασιάζω κατά μέρη και έχω:
χ1(χ1-2)<χ2(χ2-2)
g(x1)<g(x2)

Συμπερασματικά, η g είναι γνησίως αύξουσα.

Αυτό ισχύει μόνο όταν 0<=x1<x2. Συνεπώς είναι εσφαλμένη η γενίκευση σε όλο το R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Wolfgang]

f ''(x) = - f(x) για κάθε χ στο R, f'(0) = 0 ,f(0) = 1

έχω και μια λίγο πιο δύσκολη (ε κάποιος που παίρνει πάνω από 15 πανελλήνιες τη λύνει)
g '(x) = g-1(x) , για κάθε χ στο Δ, όπου Δ διάστημα του R (με g-1 συμβολίζω την αντίστοφη της g)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Filippos14]

Στην πρωτη πρεπει να περασεις ολοκληρωμα κλπ,εχεις φτασει μεχρι εκει κατω?Θελει ολοκλ.λογισμο .
Βαλε ολοκληρη την εκφωνηση,ακομα και για να παρεις το ολοκληρωμα πρεπει να ειναι ολοκληρωσιμη η f''.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Wolfgang]

ολόκληρη είναι η εκφώνηση, για την απάντησή σου αμφιβάλλω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Filippos14]

ολόκληρη είναι η εκφώνηση, για την απάντησή σου αμφιβάλλω

Εγω πιστευω οτι δεν βγαινει με απλη αντιπαραγωγιση,ειναι γραμμικη διαφορικη 2ης ταξης,
διαβασε εδω αν θες https://www.public.iastate.edu/~swillson/SecondOrder σελ 6.
Θυμαμαι κατι παρομοιο απο του βιβλιο του μπαρλα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

f ''(x) = - f(x) για κάθε χ στο R, f'(0) = 0 ,f(0) = 1

Θα αντιμετωπιστεί γενικότερα το πρόβλημα, ώστε να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση
f΄΄(x)=-kf(x) => f΄΄(x)+kf(x)=0, x ανήκει R όπου k>0

Αν η f είναι σταθερή τότε f(x)=c για κάθε x ανήκει R. Τότε είναι f΄(x)=f΄΄(x)=0. Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση προκύπτει 0=-kc => c=0
Άρα η f(x)=0 είναι η μοναδική σταθερή συνάρτηση που είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Εξετάζουμε στη συνέχεια την περίπτωση
Θεωρούμε την συνάρτηση g(x)=[f΄(x)^2]+k[f(x)^2], x ανήκει R
Επειδή η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R τότε η g είναι παραγωγίσιμη, οπότε και συνεχής, στο R με πρώτη παράγωγο
g΄(x)=2f΄(x)f΄΄(x)+2kf(x)f΄(x)=2f΄(x)[f΄΄(x)+kf(x)]=2f΄(x)*0=0

Επειδή η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με g΄(x)=0 τότε υπάρχει r>0 ώστε g(x)=r για κάθε x ανήκει R.
Άρα
[f΄(x)^2]+k[f(x)^2]=r
για κάθε x ανήκει R

Επομένως υπάρχει παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση θ ώστε για κάθε x ανήκει R να ισχύει:
f(x)=[rημθ(x)]/SQRT(k)=[r/SQRT(k)]ημθ(x) (1)
f΄(x)=rσυνθ(x) (2)
(παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης με α=SQRT(k) και β=1 χωρίς απαραίτητα να είναι α>β)

Από την (1) προκύπτει:
f΄(x)=[r/SQRT(k)]θ΄(x)συνθ(x) (3)

Από τις (2) και (3) προκύπτει:
rσυνθ(x)=[r/SQRT(k)]θ΄(x)συνθ(x) => r[θ΄(x)-SQRT(k)]συνθ(x)=0 => [θ΄(x)-SQRT(k)]συνθ(x)=0 => θ΄(x)=SQRT(k) ή συνθ(x)=0 για κάθε x ανήκει R

Αν συνθ(x)=0 τότε θ(x)=2λπ+(π/2) για κάθε x ανήκει R ή θ(x)=2λπ-(π/2) για κάθε x ανήκει R, όπου λ ακέραιος αριθμός.
Για θ(x)=2λπ-(π/2) προκύπτει f(x)=-r/SQRT(k)<0 για κάθε x ανήκει R
Για θ(x)=2λπ+(π/2) προκύπτει f(x)=r/SQRT(k)>0 για κάθε x ανήκει R
Και οι δύο παραπάνω λύσεις δεν είναι αποδεκτές αφού η μόνη σταθερή συνάρτηση που είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η f(x)=0. Επομένως είναι αδύνατον να ισχύει συνθ(x)=0 για κάθε x ανήκει R

Άρα για κάθε x ανήκει R πρέπει να ισχύει θ΄(x)=SQRT(k) που σημαίνει ότι υπάρχει σταθερά φ ανήκει R ώστε θ(x)=xSQRT(k)+φ για κάθε x ανήκει R.

Επομένως
f(x)=[r/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k)+φ) για κάθε x ανήκει R

Η f γράφεται ισοδύναμα στη μορφή
f(x)=[r/SQRT(k)]ημ[xSQRT(k)+])=[r/SQRT(k)][ημ(xSQRT(k))συνφ+συν(xSQRT(k))ημφ]=[(rσυνφ)/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k))+[(rημφ)/SQRT(k)]συν(xSQRT(k))=Aημ(xSQRT(k))+Βσυν(xSQRT(k))
όπου A=[(rσυνφ)/SQRT(k)] και Β=[(rημφ)/SQRT(k)]

Αν Α=Β=0 τότε προκύπτει η λύση f(x)=0 που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση.
Συνεπώς η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι της μορφής:

f(x)=Αημ(xSQRT(k))+Βσυν(xSQRT(k)), x ανήκει R όπου Α,Β πραγματικές σταθερές

Η πρώτη παράγωγος της f είναι η f΄(x)=[ASQRT(k)]συν(xSQRT(k))-[BSQRT(k)]ημ(XSQRT(k))

Για x=0 προκύπτει
f(0)=B => B=f(0)
f΄(0)=ASQRT(k) => A=f΄(0)/SQRT(k)

Η γενική λύση γράφεται στη μορφή:
f(x)=[f΄(0)/SQRT(k)]ημ(xSQRT(k)+f(0)συν(xSQRT(k)), x ανήκει R

Για k=1, f(0)=1 και f΄(0)=0 προκύπτει
f(x)=συνx, x ανήκει R

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[eyb0ss]

Δείχνω τη δουλειά μου για την διαφορική εξίσωση και ας έχει λάθη.
Θα δείξω ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που ικανοποιεί αυτήν την διαφορική εξίσωση. Έστω ότι η υπάρχει.Τότε
με αντικατάσταση έχουμε .
Έστω . Τότε παραγωγίσιμη ως αρχική της με
Τότε έχουμε για έχουμε άρα άρα με :
Περνώντας όρια στα δύο μέλη έχουμε:

Άρα

πάντα με όπως ανέφερα
Παραγωγίζοντας κατά μέλη παίρνουμε: άτοπο επειδή και "1-1" ως αντιστρέψιμη.

EDIT: Σίγουρα υπάρχουν λάθη ,αγνοήστε το, απλά το ανέβασα διότι κανείς δεν ασχολήθηκε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Fedde le Grand]

Παιδιά, θα ήθελα να ρωτήσω πόσο σημαντικά είναι τα όρια που κάνουμε τώρα. Μήπως (όπως και στην μονοτονία που τη βγάζουμε μετά με παραγώγους) θα βρούμε απλούστερες μεθόδους για εύρεση ορίων στα επόμενα δύο κεφάλαια; Ή μήπως είναι σημαντικό από τώρα να μάθω καλά να τα δουλεύω; Γιατί ο καθηγητής μας π.χ στην απροσδιοριστία α προς 0 μας έβαλε όλο και όλο 6-7 ασκήσεις + κάποιες μες στην τάξη που κάναμε και προχωρήσαμε στο όριο συνάρτησης στο άπειρο και προβληματίζομαι. Αλλά από την άλλη, αν δε χρειάζεται δε θέλω να τρώω τον χρόνο μου στο να λύσω 100 ασκήσεις απ'τα βοηθήματα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[PeterTheGreat]

Τα όρια είναι Απαραίτητα για τις πανελλαδικές με Α κεφαλαίο! Υπάρχουν πολλά όρια που δεν περιέχουν μέσα συναρτήσεις με γνωστό τύπο, αλλά πολύπλοκες παραστάσεις με f(x) οι οποίες δεν αναφέρεται (ή αποδεικνύεται) ότι είναι παραγωγίσιμες, και έτσι δεν μπορεί να εφαρμοστεί l'Hospital! Τα ίδια και για την μονοτονία, με άπειρες θεωρητικές ασκήσεις που ζητείται να βρεθεί η μονοτονία μη-παραγωγίσιμων συναρτήσεων!

Επίσης, θα τα χρειαστείς για να αποδείξεις ότι κάποιες συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες (δίνονται στοιχεία για την f, μαζί με κάποια όρια, και πρέπει να υπολογίσεις παράγωγο με ορισμό) και να υπολογίσεις όρια συναρτήσεων, των οποίον ναι μεν δίνεται ο τύπος, αλλά δεν βοηθάει ο κανόνας l'Hospital. Παράδειγμα: πολλά όρια με ρίζες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.