Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

lowbaper92 · 08-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Marina-lalala:
Πως λυνεται,

Ευχαριστώ

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx+x}{\sqrt{x+1}-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(tanx+x)\cdot \left(\sqrt{x+1}+1 \right)}{x+1-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx+x}{x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\left(\sqrt{x+1} +1\right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{tanx}{x}+1 \right)\cdot 2$

όπου (σε περίπτωση που δεν έχετε μπει DLH)

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx-tan\left(0 \right)}{x-0}\stackrel{f\left(x \right)=tanx}{===}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left(x \right)-f\left(0 \right)}{x-0}=$

$=f'\left(0 \right)\stackrel{f'\left(x \right)=\frac{1}{{cos}^{2}\left(x \right)}}{===}1$

άρα

$L=\left(1+1 \right)\cdot 2=4$

ΥΓ. tan=εφαπτομένη, cos=συνημίτονο

Marina-lalala · 8 Ιανουαρίου 2014

Ευχαριστώ, μήπως όμως υπάρχει και άλλος τρόπος γιατί η άσκηση είναι πριν της παραγώγους.

Δεν γίνετε και να αντικαταστήσω την εφχ με ημχ/συνχ και μετά να προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα; Επίσης πως γινετε να μετατρεπω το οριο του αθροισματος σε αθρόισμα το ορίων, ξέρω οτι υπαρχει το όριο (εφφχ -1)/χ ;

lowbaper92 · 8 Ιανουαρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Marina-lalala:
Δεν γίνετε και να αντικαταστήσω την εφχ με ημχ/συνχ και μετά να προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα;

Ναι, αυτό χρησιμοποίησε.

Αρχική Δημοσίευση από Marina-lalala:
Επίσης πως γινετε να μετατρεπω το οριο του αθροισματος σε αθρόισμα το ορίων, ξέρω οτι υπαρχει το όριο (εφφχ -1)/χ ;

Το όριο εφx/x εννοείς... Απλά πριν το σπάσεις, γράψτο
$\frac{\eta \mu x}{x}\cdot \frac{1}{\sigma \upsilon \nu x}$
που είναι γινόμενο γνωστών ορίων.

panabarbes · 08-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Marina-lalala:
Ευχαριστώ, μήπως όμως υπάρχει και άλλος τρόπος γιατί η άσκηση είναι πριν της παραγώγους.

Δεν γίνετε και να αντικαταστήσω την εφχ με ημχ/συνχ και μετά να προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα; Επίσης πως γινετε να μετατρεπω το οριο του αθροισματος σε αθρόισμα το ορίων, ξέρω οτι υπαρχει το όριο (εφφχ -1)/χ ;

Στο όριο lim (x-->0) εφχ/χ μπορούμε να γράψουμε:
lim (x-->0) εφχ/χ= lim (x-->0) ημχ/χσυνχ =1, αφού lim (x-->0) ημχ/χ=1 και lim (x-->0) 1/συνχ=1/συν0=1

tipotas · 09-01-14

Ψάχνοντας στο internet βρήκα αυτό www.scribd.com/doc/86514600/κρισιμα-σημεια-στα-μαθηματικα-γ-λυκειου που έχει κάποια καλά σχόλια.Δεν κατάλαβα όμως το παράδειγμα 3 στη σελίδα 8, εκεί που αποδεικνύει ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος :hmm:

.Μπορεί κάποιος να το εξηγήσει λίγο καλύτερα;

Marina-lalala · 09-01-14

Πως λύνεται, (πφφ δεν τα μπορώ αυτά τα τριγωνομετρικά)
Ευχαριστώ

Demlogic · 09-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Marina-lalala:
Πως λύνεται, (πφφ δεν τα μπορώ αυτά τα τριγωνομετρικά)
Ευχαριστώ

διαιρείς αριθμητή και παρανομαστή με x, σπας τα κλάσματα, και εκμεταλλεύεσαι την ιδιότητα, οταν x->0, sinx/x -> 1

σε αυτά τα τριγωνομετρικά που δεν μπορείς "καθόλου" απλα προσπαθείς να εμφανίσεις τις ποσότητες

• sin f(x) / f(x) ,
• (cos f(x)-1)/ f(x),

στις περιπτώσεις που f(x) -> 0 καθώς x->0

tipotas · 10-01-14

Αρχική Δημοσίευση από tipotas:
Ψάχνοντας στο internet βρήκα αυτό www.scribd.com/doc/86514600/κρισιμα-σημεια-στα-μαθηματικα-γ-λυκειου που έχει κάποια καλά σχόλια.Δεν κατάλαβα όμως το παράδειγμα 3 στη σελίδα 8, εκεί που αποδεικνύει ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος .Μπορεί κάποιος να το εξηγήσει λίγο καλύτερα;

Αν η εικόνα Μ του µιγαδικού $z$ κινείται στον µοναδιαίο κύκλο, να βρείτε τη γραµµή στην οποία κινείται η εικόνα Ρ του µιγαδικού $w=z+\frac{1}{z}$ Λύση:
Είναι $|z| = 1\Rightarrow {|z|}^{2}= 1\Rightarrow z\bar{z} =1\Rightarrow \bar{z} = \frac{1}{z}$ .Εποµένως $w=z+\bar{z}$ (1).Θέτουµε $z=x+yi$ και $w =\alpha +\beta i$ .Η(1)γίνεται: $\alpha +\beta i = 2x\Rightarrow(\alpha=2x$ και $\beta=0)$ .Εποµένως η εικόνα του w κινείται στον άξονα των $x$ .
Είναι άραγε ο γ.τ ο άξονας των x;
Η απάντηση είναι όχι.Πράγµατι,επειδή ${x}^{2}+{y}^{2}=1 \Rightarrow {x}^{2} \leq 1\Rightarrow \frac{{\alpha }^{2}}{4}\leq 1 \Rightarrow -2\leq \alpha \leq 2$ .Εποµένως η εικόνα Ρ του $w$ µπορεί να κινείται µόνο στο ευθ.τµήµα ΑΒ µε άκρα τα Α(-2, 0)και Β(2, 0).Εποµένως το γ.τ του Ρ είναι ένα υποσύνολο του τµήµατος ΑΒ.Μπορούµε να αποδείξουµε ότι ο τόπος του Ρ είναι ολόκληρο το ευθ.τµήµα ΑΒ.Αρκεί προς τούτο να αποδείξουµε ότι κάθε σηµείο του τµήµατος ΑΒ είναι εικόνα ενός µιγαδικού $w=\alpha+\beta i$ για τον οποίο υπάρχει κατάλληλος µιγαδικός $z$ µε $w=z+\frac{1}{z}$ και του οποίου µιγαδικού $z$ η εικόνα ανήκει στον µοναδιαίο κύκλο. Έστω λοιπόν Ρ(α, 0)µε $-2\leq \alpha \leq 2$ ένα σηµείο του τµήµατος ΑΒ.Αν επιλέξουµε $x=\frac{\alpha }{2}$ τότε $-1\leq x\leq 1 \Rightarrow |x|\leq 1\Rightarrow {|x|}^{2} \leq 1$ .Υπάρχει λοιπόν y∈Rµε ${y}^{2}= 1- {x}^{2}\geq 0$ ,εποµένως υπάρχει µιγαδικός $z=x+yi$ του οποίου η εικόνα βρίσκεται στο µοναδιαίο κύκλο για τον οποίο ισχύει ότι η εικόνα του $w$ ανήκει στο ευθ.τµήµα ΑΒ.Εποµένως ο γ.τ του Ρ είναι πράγµατι το ευθ. τµήµα ΑΒ.

Αν μπορεί κάποιος να βοηθήσει στο δεύτερο ερώτημα:
Έστω οι μιγαδικοί ${z}_{1}$ και ${z}_{2}$ . για τους οποίους ισχύει ότι ${z}_{1}{z}_{2}=1+i$ .Αν ο ${z}_{1}$ κινείται στον κύκλο με κέντρο Κ(0,1) και ακτίνα ρ=1:
i) να βρείτε που κινείται η εικόνα του ${z}_{2}$ (βρήκα την ευθεία y=x-1)
ii) να βρείτε τον μιγαδικό ${z}_{2}$ με το ελάχιστο μέτρο.

Demlogic · 10-01-14

Αρχική Δημοσίευση από tipotas:
Αν η εικόνα Μ του µιγαδικού $z$ κινείται στον µοναδιαίο κύκλο, να βρείτε τη γραµµή στην οποία κινείται η εικόνα Ρ του µιγαδικού $w=z+\frac{1}{z}$ Λύση:
Είναι $|z| = 1\Rightarrow {|z|}^{2}= 1\Rightarrow z\bar{z} =1\Rightarrow \bar{z} = \frac{1}{z}$ .Εποµένως $w=z+\bar{z}$ (1).Θέτουµε $z=x+yi$ και $w =\alpha +\beta i$ .Η(1)γίνεται: $\alpha +\beta i = 2x\Rightarrow(\alpha=2x$ και $\beta=0)$ .Εποµένως η εικόνα του w κινείται στον άξονα των $x$ .
Είναι άραγε ο γ.τ ο άξονας των x;
Η απάντηση είναι όχι.Πράγµατι,επειδή ${x}^{2}+{y}^{2}=1 \Rightarrow {x}^{2} \leq 1\Rightarrow \frac{{\alpha }^{2}}{4}\leq 1 \Rightarrow -2\leq \alpha \leq 2$ .Εποµένως η εικόνα Ρ του $w$ µπορεί να κινείται µόνο στο ευθ.τµήµα ΑΒ µε άκρα τα Α(-2, 0)και Β(2, 0).Εποµένως το γ.τ του Ρ είναι ένα υποσύνολο του τµήµατος ΑΒ.Μπορούµε να αποδείξουµε ότι ο τόπος του Ρ είναι ολόκληρο το ευθ.τµήµα ΑΒ.Αρκεί προς τούτο να αποδείξουµε ότι κάθε σηµείο του τµήµατος ΑΒ είναι εικόνα ενός µιγαδικού $w=\alpha+\beta i$ για τον οποίο υπάρχει κατάλληλος µιγαδικός $z$ µε $w=z+\frac{1}{z}$ και του οποίου µιγαδικού $z$ η εικόνα ανήκει στον µοναδιαίο κύκλο. Έστω λοιπόν Ρ(α, 0)µε $-2\leq \alpha \leq 2$ ένα σηµείο του τµήµατος ΑΒ.Αν επιλέξουµε $x=\frac{\alpha }{2}$ τότε $-1\leq x\leq 1 \Rightarrow |x|\leq 1\Rightarrow {|x|}^{2} \leq 1$ .Υπάρχει λοιπόν y∈Rµε ${y}^{2}= 1- {x}^{2}\geq 0$ ,εποµένως υπάρχει µιγαδικός $z=x+yi$ του οποίου η εικόνα βρίσκεται στο µοναδιαίο κύκλο για τον οποίο ισχύει ότι η εικόνα του $w$ ανήκει στο ευθ.τµήµα ΑΒ.Εποµένως ο γ.τ του Ρ είναι πράγµατι το ευθ. τµήµα ΑΒ.

Αν μπορεί κάποιος να βοηθήσει στο δεύτερο ερώτημα:
Έστω οι μιγαδικοί ${z}_{1}$ και ${z}_{2}$ . για τους οποίους ισχύει ότι ${z}_{1}{z}_{2}=1+i$ .Αν ο ${z}_{1}$ κινείται στον κύκλο με κέντρο Κ(0,1) και ακτίνα ρ=1:
i) να βρείτε που κινείται η εικόνα του ${z}_{2}$ (βρήκα την ευθεία y=x-1)
ii) να βρείτε τον μιγαδικό ${z}_{2}$ με το ελάχιστο μέτρο.

$z_{ 1 }z_{ 2 }-z_{ 2 }i=1-z_{ 2 }i\rightarrow \\ z_{ 2 }(z_{ 1 }-i)=1-z_{ 2 }i\rightarrow \\ |z_{ 2 }||z_{ 1 }-i|=|1-z_{ 2 }i|\rightarrow \\ |z_{ 2 }|=|1-z_{ 2 }i|\rightarrow \\ |z_{ 2 }|=|i(-i-z_{ 2 })|\\ |z_{ 2 }|=|z_{ 2 }+i|\\ ...$

tipotas · 10-01-14

Το δεύτερο ερώτημα είναι που δε μου βγαίνει.Ευχαριστώ πάντως.
υ.γ. σου ξέφυγε ένα i

sophia<3 · 12-01-14

Παιδια βοήθεια μπορεί κάποιος να μ πει αναλυτικά το σύνολο τιμών της f(x)=(x-1)lnx+1/2(x-1)^2 γτ εμένα μ βγαίνει όλο το R και στις λύσεις λέει 0,+άπειρο...

Aristeidis · 5 Μαρτίου 2014

Καμία ιδέα ;;

panabarbes · 12-01-14

Αρχική Δημοσίευση από sophia<3:
Παιδια βοήθεια μπορεί κάποιος να μ πει αναλυτικά το σύνολο τιμών της f(x)=(x-1)lnx+1/2(x-1)^2 γτ εμένα μ βγαίνει όλο το R και στις λύσεις λέει 0,+άπειρο...

Ο όρος 1/2(x-1)² είναι πάντα θετικός για κάθε τιμή του x στο πεδίο ορισμού της f.
Επομένως,αρκεί να ψάξεις το πρόσημο της συνάρτησης g(x)=(x-1)lnx, x>0. Θα πάρεις την g'(x) και για να βρεις το πρόσημο της, θα θέσεις συνάρτηση την παράσταση του αριθμητή. Από κει και πέρα αν ξέρεις την μεθοδολογία για το σύνολο τιμών, θα σου βγει εύκολα στο τέλος ότι g(x)>/0

Aristeidis · 5 Μαρτίου 2014

Και η δεύτερη

tipotas · 12-01-14

Τα σημεία είναι συνευθειακά άρα λ(ΑΒ)=λ(ΒΓ) =>f(2)-f(1)=f(3)-f(2).
ΘΜΤ στα διαστήματα [1,2] και [2,3] για την f και βγάζεις ότι f'(ξ1)=f'(ξ2) , ξ1e(1,2) και ξ2e(2,3)
Όμως ξ1<ξ2 άρα η f' δεν είναι 1-1
και μετά Rolle για την f' στο (ξ1,ξ2)

panabarbes · 12-01-14

Αρχική Δημοσίευση από Aristeidis:
Καμία ιδέα ;;

Αρχική Δημοσίευση από Aristeidis:
Και η δεύτερη

Στην πρώτη:
α) Δύο εφαρμογές του θεωρήματος Bolzano στην συνάρτηση f, μία στο [-1,0] και μία στο [0,1]
β) Μία εφαρμογή του θεωρήματος Rolle στην συνάρτηση f στο διάστημα [x1,x2], όπου x1,x2 οι ρίζες που βρήκες στο πρώτο ερώτημα

Η δεύτερη απαντήθηκε ήδη.

vimaproto · 12 Ιανουαρίου 2014

Αρχική Δημοσίευση από Aristeidis:
Καμία ιδέα ;;

Για τις οριακές τιμές -1, και 1 καθώς και για την μέση τιμή (0) αυτών ισχύει από την υπόθεση:
1) f(-1)=α-β<0, f(0)=1>0, f(1)=α+β+2<0 ==> f(-1).f(0)<0 μεταξύ -1 και 0 υπάρχει ρίζα . Ομοίως f(0).f(1)<0 δεύτερη ρίζα.
2) Αν ξ είναι μία εξ αυτών των ριζών, η πρώτη παράγωγος της f(x) μηδενίζεται για χ=ξ. Δηλ. f'(x)=3x²+2αx+β και 3ξ²+2αξ+β=0

aris-bas · 12-01-14

στην 1η ασκηση εκανα 2 Θ.Μ.Τ. στα [-π,0] με f'(ξ1)=-π και [0,π] f'(ξ2)=π και μετα rolle στην f'' στο [-π,π]....αλλα δεν κατεληξα σε κατι σωστο....δεν μου φαινεται και πολυ σωστη η ιδεα μ..

f(x)=(x^2)+ημχ
f'(x)=2χ+συνχ

στην 3η ασκηση να κανω μονοτονια και συνολο τιμων.??

Yamcha · 12-01-14

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
View attachment 55840

στην 3η ασκηση να κανω μονοτονια και συνολο τιμων.??

Νομιζω εφαρμοζεις θεωρημα Rolle στο [limf(x){x->0+},1] για την f(x) και αποδεικνυεις οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ ε(0,1) τετοιο ωστε f'(ξ)=0 και αποδεικνυεις οτι η f '(x) ειναι (1-1) ή γνησιως μονοτονη
στο (0,1)

Filippos14 · 12-01-14

Αρχική Δημοσίευση από aris-bas:
View attachment 55838

View attachment 55839

View attachment 55840
στην 1η ασκηση εκανα 2 Θ.Μ.Τ. στα [-π,0] με f'(ξ1)=-π και [0,π] f'(ξ2)=π και μετα rolle στην f'' στο [-π,π]....αλλα δεν κατεληξα σε κατι σωστο....δεν μου φαινεται και πολυ σωστη η ιδεα μ..
f(x)=(x^2)+ημχ
f'(x)=2χ+συνχ

στην 3η ασκηση να κανω μονοτονια και συνολο τιμων.??

Για την 1η ασκηση :
Θεωρω την g(x)=f(x)-x²-ημx ,xE[-π,π]
Kανε rolle για την g στα [-π,0] και [π,0]
Eπειτα κανε Rolle για την g' στο [ξ1,ξ2] (ξ1 η ριζα της g apo to (-π,0) και ξ2 η ριζα απο το (π,0) ) .

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος