Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Civilara · 19-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Pavlos13:
Για την ακριβεια ζηταει την $f^-^1$ του (22) , απλά θεώρησα πως πρέπει να βρω την $f^-^1 (x)$ και εν συνεχεία να βάλω όπου χ το 22

f(3)=22 <=> (f-1)(22)=3

IasonasM · 19-06-13

Pavlos13 · 19-06-13

Ευχαριστώ! Κατι ακομα για τα κοινα σημεια των Cf kai Cf-1 εξισωσωνω y=f(x) και y=f $^-^1$ (x) . αλλα με τι τυπους?

Civilara · 19-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Pavlos13:
Ευχαριστώ! Κατι ακομα για τα κοινα σημεια των Cf kai Cf-1 εξισωσωνω y=f(x) και y=f $^-^1$ (x) . αλλα με τι τυπους?

Οι εξισώσεις f(x)=(f-1)(x) και f(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή έχουν τις ίδιες λύσεις (αναζητούνται οι λύσεις στο σύνολο Ατομήf(Α) υποσύνολο του R όπου Α το πεδίο ορισμού της f).

Για f(x)=(x^3)+x-8 έχουμε A=f(A)=R. Επομένως

f(x)=(f-1)(x) <=> f(x)=x <=> (x^3)+x-8=x <=> (x^3)-8=0 <=> x^3=8 <=> x=2

Έχουμε f(2)=2 <=> (f-1)(2)=2

Το σημείο Μ(2,2) είναι το μοναδικό σημείο τομής των Cf και C(f-1)

Pavlos13 · 19-06-13

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ!

Pavlos13 · 24-06-13

Δίνεται η $f(x) = (e^x - e^-^x) / 2$ και στο i ερωτημα ζητείται να βρεθεί η αντίθετη της , δινοντας μας την }απαντηση $f^-^1(x) = ln(x+\sqrt{x^2+1} )$

Έχουμε και λεμε θέτω
$y=f(x) <=> y=(e^x- e^-^x) / 2 <=> y= e^x^/^-^x / 2 <=> e^x^/^-^x = 2y <=> ln2y = x/-x <=> ln2y = -1$
και έχω ξεφύγει τελειως απο το αποτέλεσμα που ψάχνω να βρω!
Μπορεί κάποιος να μου εντοπίσει το λάθος?

greekgohan · 24-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Pavlos13:
Δίνεται η $f(x) = (e^x - e^-^x) / 2$ και στο i ερωτημα ζητείται να βρεθεί η αντίθετη της , δινοντας μας την }απαντηση $f^-^1(x) = ln(x+\sqrt{x^2+1} )$

Έχουμε και λεμε θέτω
$y=f(x) <=> y=(e^x- e^-^x) / 2 <=><u> y= e^x^/^-^x / 2 <=> e^x^/^-^x = 2y </u><=> ln2y = x/-x <=> ln2y = -1$
και έχω ξεφύγει τελειως απο το αποτέλεσμα που ψάχνω να βρω!
Μπορεί κάποιος να μου εντοπίσει το λάθος?

$y=(e^x- e^-^x) / 2 <=>y= e^x^/^-^x / 2$
Εδω ειναι το λαθος ...

Civilara · 24-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Pavlos13:
Δίνεται η $f(x) = (e^x - e^-^x) / 2$ και στο i ερωτημα ζητείται να βρεθεί η αντίθετη της , δινοντας μας την }απαντηση $f^-^1(x) = ln(x+\sqrt{x^2+1} )$

Έχουμε και λεμε θέτω
$y=f(x) <=> y=(e^x- e^-^x) / 2 <=> y= e^x^/^-^x / 2 <=> e^x^/^-^x = 2y <=> ln2y = x/-x <=> ln2y = -1$
και έχω ξεφύγει τελειως απο το αποτέλεσμα που ψάχνω να βρω!
Μπορεί κάποιος να μου εντοπίσει το λάθος?

H f έχει πεδίο ορισμού το A=R και γράφεται ισοδύναμα:
f(x)=[(e^x)-(e^(-x))]/2=(e^(2x)-1)/(2(e^x))=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)), x ανήκει R

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=[(e^x)+(e^(-x))]/2=(e^(2x)+1)/(2(e^x))>0 για κάθε x ανήκει R

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη.

Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo και lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε θέτοντας u=e^x έχουμε:

lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->0+){[(u^2)-1]/(2u)}=-oo
εφόσον lim(u->0+)(1/u)=+oo και lim(u->0+){[(u^2)-1]/2}=-1/2<0

lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->+οο){[(u^2)-1]/(2u)}=lim(u->+οο)[(u^2)/(2u)]=lim(u->+οο)(u/2)=+oo

Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, επομένως το πεδίο τιμών της είναι:
f(A)=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(-oo,+oo)=R

Συνεπώς A=f(A)=R

Η f είναι αντιστρέψιμη, οπότε ισχύει η ισοδυναμία
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A, y ανήκει f(A)

y=f(x) <=> y=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)) <=> 2y(e^x)=((e^x)^2)-1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)=1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)+(y^2)=(y^2)+1 <=> [(e^x)-y]^2=(y^2)+1 <=> |(e^x)-y|=SQRT((y^2)+1) <=> (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) ή (e^x)-y=SQRT((y^2)+1)

i) (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y-SQRT((y^2)+1)=g(y)

όπου g(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R

1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>x => -SQRT((x^2)+1)<-x => x-SQRT((x^2)+1)<0 => g(x)<0 για κάθε x ανήκει R που είναι άτοπο καθώς πρέπει e^x=g(y) με e^x>0 για κάθε x ανήκει R και g(y)<0 για κάθε y ανήκει R

ii) (e^x)-y=SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y+SQRT((y^2)+1)=h(y)

όπου h(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R

1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=-x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>-x => x+SQRT((x^2)+1)>0 => h(x)>0 για κάθε x ανήκει R

Έχουμε

e^x=h(y) <=> x=lnh(y) <=> x=ln[y+SQRT((y^2)+1)] <=> (f-1)(y)=ln[y+SQRT((y^2)+1)]

Άρα (f-1)(x)=ln[x+SQRT((x^2)+1)], x ανήκει f(A)=R

greekgohan · 24-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
H f έχει πεδίο ορισμού το A=R και γράφεται ισοδύναμα:
f(x)=[(e^x)-(e^(-x))]/2=(e^(2x)-1)/(2(e^x))=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)), x ανήκει R

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με πρώτη παράγωγο:
f΄(x)=[(e^x)+(e^(-x))]/2=(e^(2x)+1)/(2(e^x))>0 για κάθε x ανήκει R

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με f΄(x)>0 για κάθε x ανήκει R. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Άρα είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέψιμη.

Επειδή lim(x->+oo)(e^x)=+oo και lim(x->-oo)(e^x)=0 τότε θέτοντας u=e^x έχουμε:

lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->0+){[(u^2)-1]/(2u)}=-oo
εφόσον lim(u->0+)(1/u)=+oo και lim(u->0+){[(u^2)-1]/2}=-1/2<0

lim(x->+oo)f(x)=lim(x->+oo){[((e^x)^2)-1]/(2(e^x))}=lim(u->+οο){[(u^2)-1]/(2u)}=lim(u->+οο)[(u^2)/(2u)]=lim(u->+οο)(u/2)=+oo

Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, επομένως το πεδίο τιμών της είναι:
f(A)=(lim(x->-oo)f(x),lim(x->+oo)f(x))=(-oo,+oo)=R

Συνεπώς A=f(A)=R

Η f είναι αντιστρέψιμη, οπότε ισχύει η ισοδυναμία
y=f(x) <=> x=(f-1)(y) όπου x ανήκει A, y ανήκει f(A)

y=f(x) <=> y=[((e^x)^2)-1]/(2(e^x)) <=> 2y(e^x)=((e^x)^2)-1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)=1 <=> ((e^x)^2)-2y(e^x)+(y^2)=(y^2)+1 <=> [(e^x)-y]^2=(y^2)+1 <=> |(e^x)-y|=SQRT((y^2)+1) <=> (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) ή (e^x)-y=SQRT((y^2)+1)

i) (e^x)-y=-SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y-SQRT((y^2)+1)=g(y)

όπου g(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R

1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>x => -SQRT((x^2)+1)<-x => x-SQRT((x^2)+1)<0 => g(x)<0 για κάθε x ανήκει R που είναι άτοπο καθώς πρέπει e^x=g(y) με e^x>0 για κάθε x ανήκει R και g(y)<0 για κάθε y ανήκει R

ii) (e^x)-y=SQRT((y^2)+1) <=>(e^x)=y+SQRT((y^2)+1)=h(y)

όπου h(x)=x-SQRT((x^2)+1), x ανήκει R

1>0 => (x^2)+1>x^2 => SQRT((x^2)+1)>|x| και επειδή |x|>=-x για κάθε x ανήκει R τότε
SQRT((x^2)+1)>-x => x+SQRT((x^2)+1)>0 => h(x)>0 για κάθε x ανήκει R

Έχουμε

e^x=h(y) <=> x=lnh(y) <=> x=ln[y+SQRT((y^2)+1)] <=> (f-1)(y)=ln[y+SQRT((y^2)+1)]

Άρα (f-1)(x)=ln[x+SQRT((x^2)+1)], x ανήκει f(A)=R

Καταλαβαινω οτι θελεις να το γραψεις αναλυτικα αλλα γινεται πιο δυσνοητο,δεν χρειαζεται να αποδειξεις οτι οντως εχει αντιστροφη αφου η ασκηση στην ζηταει και σου εδωσε και την λυση το παιδι.Μπραβο για το κουραγιο σου ομως...

Pavlos13 · 24-06-13

Αρχική Δημοσίευση από greekgohan:
$y=(e^x- e^-^x) / 2 <=>y= e^x^/^-^x / 2$
Εδω ειναι το λαθος ...

Λάθος στην ιδιότητα δυνάμεων ?

CIVILARA ΘΕΟΣ

antonisd95 · 24 Ιουνίου 2013

Λάθος στην ιδιότητα δυνάμεων ?

Άλγεβρα β λυκείου.Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση.Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη.-->Επανάληψη.

gth · 24-06-13

Αρχική Δημοσίευση από Pavlos13:

Λάθος στην ιδιότητα δυνάμεων ?

Click για ανάπτυξη...

Αρχική Δημοσίευση από Pavlos13:
CIVILARA ΘΕΟΣ

x^a -x^b =x^a/b????? ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΥΤΟ.

Είναι (α^x)*(a^y)=a^x+y

και

(α^x)/(a^y)=a^(x-y)

vimaproto · 24-06-13

Γιατί δεν κάνετε κάτι πιο απλό αφού καθορίσετε τα πεδία ορισμού και τιμών.
Βάζω όπου χ το y και όπου y το χ θα είναι τώρα $y={f}^{-1}(x)$
έτσι $x=\frac{{e}^{y}-{e}^{-y}}{2}$
ονομάζω ${e}^{y}= \omega >0\Rightarrow {e}^{-y}=\frac{1}{\omega }$
και $2x=\omega -\frac{1}{\omega }\Rightarrow {\omega }^{2}-2x\omega -1=0\Rightarrow \omega =x+\sqrt{{x}^{2}+1})$
αφού η άλλη τιμή του ω είναι αρνητική.
Τότε ${e}^{y}=x+\sqrt{{x}^{2}+1}\Rightarrow {f}^{-1}(x)=y=ln(x+\sqrt{{x}^{2}+1})$

Pavlos13 · 24-06-13

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Γιατί δεν κάνετε κάτι πιο απλό αφού καθορίσετε τα πεδία ορισμού και τιμών.
Βάζω όπου χ το y και όπου y το χ θα είναι τώρα $y={f}^{-1}(x)$
έτσι $x=\frac{{e}^{y}-{e}^{-y}}{2}$
ονομάζω ${e}^{y}= \omega >0\Rightarrow {e}^{-y}=\frac{1}{\omega }$
και $2x=\omega -\frac{1}{\omega }\Rightarrow {\omega }^{2}-2x\omega -1=0\Rightarrow \omega =x+\sqrt{{x}^{2}+1})$
αφού η άλλη τιμή του ω είναι αρνητική.
Τότε ${e}^{y}=x+\sqrt{{x}^{2}+1}\Rightarrow {f}^{-1}(x)=y=ln(x+\sqrt{{x}^{2}+1})$

Χμμ , απλο και κατανοητο

Dr.Quantum · 04-07-13

Σπαζοκεφαλιάζω,ξέρω τη μεθοδολογία,δοκίμασα και άλλα πράγματα,άλλα παραδίνομαι.Τη παλεύω ώρες.Το πήρα προσωπικά.Ηττήθηκα :Ρ

Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία (ε): χ+ψ=1,να δείξετε ότι η εικόνα Ν του μιγαδικού w = (z+1)/(z-1) , βρίσκεται σε ευθεία που είναι κάθετη στην (ε).

Pleaze Help.

φρι · 04-07-13

συστημα ελυσες;

Dr.Quantum · 04-07-13

Περίπου.Δοκίμασα κάτι,να εκφράσω το χ συναρτήσει του ψ μέσω της εξίσωσης της ευθείας και να αντικαταστήσω στο z,διάφορα έχω δοκιμάσει.Κάποια στιγμή στις πράξεις βγάζει 2 ύποπτες ταυτότητες στον αριθμητή και το παρανομαστή το κλάσμα..που δε γίνεται να βγήκαν τυχαία,άλλα μέχρι εκεί.Αν διώξεις το γιοτ από τον παρανομαστή και κάνεις πράξεις σου βγαίνουν τα τετράγωνα,άλλα δε φαίνεται να συνεχίζει.

φρι · 04-07-13

Αρχική Δημοσίευση από Dr.Quantum:
Περίπου.Δοκίμασα κάτι,να εκφράσω το χ συναρτήσει του ψ μέσω της εξίσωσης της ευθείας και να αντικαταστήσω στο z,διάφορα έχω δοκιμάσει.Κάποια στιγμή στις πράξεις βγάζει 2 ύποπτες ταυτότητες στον αριθμητή και το παρανομαστή το κλάσμα..που δε γίνεται να βγήκαν τυχαία,άλλα μέχρι εκεί.Αν διώξεις το γιοτ από τον παρανομαστή και κάνεις πράξεις σου βγαίνουν τα τετράγωνα,άλλα δε φαίνεται να συνεχίζει.

θα το δω αυριο,τωρα νυσταζω

Civilara · 04-07-13

Αρχική Δημοσίευση από Dr.Quantum:
Σπαζοκεφαλιάζω,ξέρω τη μεθοδολογία,δοκίμασα και άλλα πράγματα,άλλα παραδίνομαι.Τη παλεύω ώρες.Το πήρα προσωπικά.Ηττήθηκα :Ρ

Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία (ε): χ+ψ=1,να δείξετε ότι η εικόνα Ν του μιγαδικού w = (z+1)/(z-1) , βρίσκεται σε ευθεία που είναι κάθετη στην (ε).

Pleaze Help.

Έστω z=x+yi όπου x,y ανήκουν R και w=X+Yi όπου X,Y ανήκουν R
Το Μ(z) ανήκει στην (ε): y=-x+1 => z=x+(-x+1)i=x+(1-x)i

Αντικαθιστούμε στο w και έχουμε:
w=[(x+1)+(1-x)i]/[(x-1)+(1-x)i]=...=[(xSQRT(2))/(x-1)]+[SQRT(2)/(x-1)]i

Για να ορίζεται ο w πρέπει z διάφορο 1 => x διάφορο 1

Επομένως w=X+Yi όπου
X=(xSQRT(2))/(x-1) (1)
Y=SQRT(2)/(x-1) (2)
x ανήκει (-οο,1)U(1,+οο)

Από την (2) προκύπτει:
x=(SQRT(2)/Y)+1

Αντικαθιστούμε στην (1) οπότε προκύπτει μετά από πράξεις
X=Y+SQRT(2) => Y=X-SQRT(2) όπου X διάφορο SQRT(2) επειδή x διάφορο 1

Άρα αν ο z ανήκει στην ευθεία (ε): y=-x+1, x ανήκει R τότε ο w ανήκει στην ευθεία (η): y=x-SQRT(2), x ανήκει (-οο,SQRT(2))U(SQRT(2),+oo)

Είναι λε=-1 και λη=1. Επομένως λε*λη=-1 που σημαίνει ότι οι ευθείες (ε) και (η) είναι κάθετες.

Dr.Quantum · 04-07-13

Δε το πιστεύω!!! Έχω γεμίσει 8 σελίδες τετραδίου,κυριολεκτικά 8 σελίδες με πράξεις και δοκιμές,και αυτή τη μέθοδο τη δοκίμασα,απλώς είχα ήδη διώξει το γιότα από το παρανομαστή και μου έβγαιναν πράξεις τούμπανα.Δε μου πήγε το μυαλό στο να το δοκιμάσω κατευθείαν.Αν είναι δυνατόν... =.=
Χίλια ευχαριστώ!!

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος