Εστω f :R-->R μια συναρτηση με f(R)=R η οποια ειναι γν.μονοτονη και η γραφικη της παρασταση διερχεται απο τα σημεια Α(0,1) Β(1,2).
Να εξετασετε την f ως προς την μονοτονια
να δειξετε οτι η φ αντιστερφεται
Να βρειτε τις ριζες ξαι το προσημο της f⁻¹
να λυθει f⁻¹(-1+f(x²-1))<0
Απο εκφωνηση f(0)=1 και f(1)=2
i) Ειναι 0<1 και f(0)<f(1). Επειδη η f ειναι γνησιως μονοτονη τοτε θα ειναι γνησιως αυξουσα γιατι αν ηταν γνησιως φθινουσα θα ισχυει f(0)>f(1) που ειναι ατοπο.
ii) Η f ειναι γνησιως μονοτονη => η f ειναι 1-1 => η f ειναι αντιστρεψιμη
iii) Επειδη η f ειναι γνησιως αυξουσα στο R, τοτε και η f-1 ειναι γνησιως αυξουσα στο f(R)=R.
Ισχυει η ισοδυναμια y=f(x) <=> x=(f-1)(y) x ανηκει R, y ανηκει f(R)=R
Εχουμε f(0)=1 <=> (f-1)(1)=0 και επειδη η f-1 ειναι αντιστρεψιμη τοτε η ριζα αυτη ειναι μοναδικη.
y>1 => (f-1)(y)>(f-1)(1) => (f-1)(y)>0 αφου f-1 γνησιως αυξουσα
y<1 => (f-1)(y)<(f-1)(1) => (f-1)(y)<0 αφου f-1 γνησιως αυξουσα
iv) (f-1)(-1+f(x^2-1))<0 <=> (f-1)(-1+f(x^2-1))<(f-1)(1) <=> (f-1 γνησιως αυξουσα) -1+f(x^2-1)<1 <=> f(x^2-1)<2 <=> f(x^2-1)<f(1) <=> (f γνησιως αυξουσα) x^2-1<1 <=> x^2<2 <=> |x|<sqrt(2) <=> -sqrt(2)<x<sqrt(2)
Εστω γν.αυξουσα συνάρτηση f :R-->R με συνολο τιμων f(R)=R και η συναρτηση g(x) =f³(χ)+fof(x) xeR
να δειχτει οτι η f,g ειναι 1-1
να δειχει οτι gof⁻¹(x)=x³+f(x)
αν f(1) =1 να λυθει x³+f(x)=2
i) Η f ειναι γνησιως αυξουσα στο R => η f ειναι 1-1
g(x)=(f(x)^3)+(fof)(x)= (f(x)^3)+f(f(x)), x ανηκει R
Αφου η f ειναι 1-1 τοτε για καθε x1, x2 στο R με x1 διαφορο x2 τοτε f(x1) διαφορο f(x2)
f(x1) διαφορο f(x2) => (f: 1-1) f(f(x1)) διαφορο f(f(x2))
f(x1) διαφορο f(x2) => (f(x1))^3 διαφορο (f(x2))^3
Αρα (f(x1))^3+f(f(x1)) διαφορο (f(x2))^3+f(f(x2)) => g(x1) διαφορο g(x2)
Αρα για καθε x1, x2 στο R με x1 διαφορο x2 ισχυει g(x1) διαφορο g(x2) => η g ειναι 1-1
ii) (gof-1)(x)=g(f-1(x))=(f(f-1(x)))^3+f(f(f-1(x)))=x^3+(f(x))^3, x ανηκει R
Αφου η f ειναι 1-1 τοτε για καθε x1, x2 στο R με x1 διαφορο x2 τοτε f(x1) διαφορο f(x2)
f(x1) διαφορο f(x2) => (f(x1))^3 διαφορο (f(x2))^3
x1 διαφορο x2 => x1^3 διαφορο x2^3
Αρα x1^3+f(x1) διαφορο x2^3+f(x2) => (gοf-1(x1) διαφορο (gof-1)(x2)
Αρα για καθε x1, x2 στο R με x1 διαφορο x2 ισχυει (gof-1)(x1) διαφορο (gof-1)(x2) => η gof-1 ειναι 1-1
(Η αναλυση αυτη δε χρειαζοταν αφου η g ειναι ορισμενη στο R και 1-1)
f(1)=1 <=> (f-1)(1)=1
(gof-1)(1)=1^3+(f(1))^3=2
x^3+f(x)=2 <=> (gof-1(x))=(gof-1(1)) <=> (gof-1 1-1) x=1