@Evi_Panay:
Ξεκινώντας από την z1*z2 *(z1+z2)+z2*z3*(z2+z3)+z1*z3*(z3+z1)=0 και διαιρώντας με z1z2z3 και αντικαθιστώντας τους παρανομαστες που θα προκύψουν χρησιμοποιώντας το (με ζ θα συμβολίζω τον συζυγή του z)

z|^2=zζ=1, καταλήγουμε στην:
(z1+z2)ζ3+(z2+z3)ζ1+(z1+z3)ζ2=0=>z1ζ3+z2ζ3+z2ζ1+z3ζ1+z1ζ2+z3ζ2=0=>Re(z1ζ3+z2ζ3+z2ζ1+z3ζ1+z1ζ2+z3ζ2)=0=> Rez1ζ3+Rez2ζ3+Rez2ζ1+Rez3ζ1+Rez1ζ2+Rez3ζ2=0. Όμως: Rez1ζ3=Rez3ζ1 (αποδεικνύεται εύκολα, δες το) κλπ. Άρα Rez1ζ3+Rez2ζ3+Rez1ζ2=0 ή Rez3ζ1+Rez3ζ2+Rez2ζ1=0. Αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε παρακάτω.
Έχουμε, τώρα (εννοώ πάντα διανύσματα): (ΟΑ+ΟΒ+ΟΓ)^2=ΟΑ^2+ΟΒ^2+ΟΓ^2+2[ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ].
Προφανώς αρκεί να δείξουμε ότι: ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=0. Χρησιμοπιώντας αυτό που αποδείξαμε στο 1ο ερώτημα, έχουμε: ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=Rez1ζ2+Rez1ζ3+Rez2ζ3, ενώ χρησιμοποιώντας τη σχέση μου αποδείξαμε στην αρχή από τα δεδομένα έχουμε ότι ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=Rez1ζ2+Rez1ζ3+Rez2ζ3=0.
@Arthur39432:
2) Δεν εξαιρείται κανένα σημείο.
3) Απλή είναι. Απλώς έχει και αυτή πολλές πράξεις. Βρες τη ρίζα της εξίσωσης διακρίνοντας περιπτώσεις για την διακρίνουσα και μετά απλώς κάνε αντικαταστάσεις και θα καταλήξεις σε 2 διαφορετικά πραγματικά k.
5) (ReA^2+ImA^2+1-2ImA)/(ReA^2+ImA^2+1+2ImA).
Εδώ έθεσα Α= z1+z2 και είπα ότι για να ισχύει |A-i|/|A+i|<1 πρέπει και |A-i|^2/|A+i|^2<1.
Επικεντρώσου στο να καταλήξεις σε μία ανισότητα που προκύπτει και από τις δύο τους (δεδομένη και ζητούμενη) με ισοδυναμίες. Κάπως έτσι βγαίνει ευκολότερα από το να αποδείξεις ότι ImA>0.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.