@big sofo:
Φαντάζομαι ότι το πρόβλημά σου βρίσκεται στη 2η περίπτωση όταν |ζ1,2,3|<1.
Έχουμε:
|(1-ζ1)(1-ζ2)(1-ζ3)|=|1-ζ1||1-ζ2||1-ζ3|. Γενικώς: |αβγ|=|α||β||γ|.
|1-ζ1|>=1-|ζ1|>0 (Από τριγωνική ανισότητα.)
Ομοια για τα 2 και 3.
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και έχουμε:
|1-ζ1||1-ζ2||1-ζ3|>=(1-|ζ1|)(1-|ζ2|)(1-|ζ3|)=1-|ζ1|-|ζ2|-|ζ3|+|ζ1ζ2|+|ζ2ζ3|+|ζ1ζ3|-|ζ1ζ2ζ3|>=1-|ζ1|-|ζ2|-|ζ3|, αφού αν έχουμε α,β,γ<1 τότε προφανώς ισχύει: α+β+γ>αβγ.
@Dias:
Και με το Mathematica αν γράψεις έναν τύπο, αφού πατήσεις Shift+Enter, μπορείς να πατήσεις επάνω του δεξί κλικ να πας στο "Convert to" και να πατήσεις "Traditional form" ή αν θέλεις να το έχεις και σε latex να πατήσεις δεξί κλικ->"Copy as"->"Latex".
Επίσης, μη νευριάζεις με τα x^2 και τα λοιπά, αφού δεν μπορείς με το ελληνικό πληκτρολόγιο να βάλεις εκθέτες πέραν του 2 και του 3. Το καλύτερο δυνατό είναι όλοι να χρησιμοποιούν όλοι

, αλλά εγώ προσωπικά βαριέμαι να γράφω σε latex από τότε που αφαίρεσαν το κουμπί που έβαζε τα
ΥΓ: Απαντώ λίγο καθυστερημένα, αλλά είχα χάσει το θέμα... Ηλιθιοδώς το έψαχνα στα μαθήματα της θετικής/τεχνολογικής, ενώ είναι στο γενικό της γ λυκείου... Μήπως να μεταφερθεί;" />
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.