1. Η f ειναι παραγωγισιμη αρα και συνεχης στο [0,1] για καθε χ οποτε και η g που
ειναι ιση με την f ειναι συνεχης στο [0,1]
Η g ειναι παραγωγισιμη στο (0,1)
αφου ειναι ιση με την f η οποια ειναι παραγωγισιμη
Για x=0 g(0)=f(0) για x=0 η δοθεισα σχεση γινεται f(0)=-f(0) αρα f(0)=0 οποτε
g(0)=0
Για x=1 g(1)=f(1) για x=1 η αρχικη σχεση γινεται f(1)=0 αρα
g(1)=0
Αρα g(0)=g(1)=0 οποτε ισχυει το θrolle
2. αφου ισχυει το θrolle τοτε υπαρχει ξ ε(0,1):g'(ξ)=0
Ομως g'(x)=f'(

)*2*x
Oπου χ θετουμε ξ αρα g'(ξ)=f'(

)*2*ξ
ομως g'(ξ)=0 αρα f'(

)*2*ξ=0 ή f'(

)=0
Παραγωγιζουμε την αρχικη και προκυπτει f'(x)=f(

)+(x-1)*f'(

)*2*x και θετεις οπου χ το ξ και προκυπτει
f'(ξ)=f(

) ή f'(ξ)=g(ξ)