Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[Civilara]

Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει στο εσωτερικό του Δ. Αν ή f΄ έχει όριο στο x0 τότε η f έχει συνεχή παράγωγο στο x0.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ. Αν η f είναι 3 φορές παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει στο εσωτερικό του Δ με f΄΄(x0)=0 και f΄΄΄(x0) διάφορο του 0 τότε το (x0,f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος;

Αν f συνεχής στο [α,β] τότε για κάθε x0 στο [α,β] υπάρχουν δ>0, ε>0 τέτοια ώστε για κάθε x στο (χ0-δ, χ0+δ) να ισχύει

f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε
​

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[zoezaxariadi]

σωστο νομιζω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

ποιο απ' όλα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Α, τότε υπάρχει διάστημα Β υποσύνολο του Α στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Αν f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] να αποδείξετε ότι:

(S(α,β)f(x)*g(x)dx)^2<=(S(α,β)(f(x)^2)dx)*(S(α,β)(g(x)^2)dx)​

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikolas17]

Λοιπόν διορθώστε με ελεύθερα μιάς και έχω λάθη σίγουρα

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Α, τότε υπάρχει διάστημα Β υποσύνολο του Α στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη.

Νομίζω σωστό είναι αυτό, δεδομένου ότι τουλάχιστον σε ένα πολύ πολύ μικρό διάστημα Β, η f θα είναι παραγωγίσιμη κάποια στιγμή...άρα σωστό

Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει στο εσωτερικό του Δ. Αν ή f΄ έχει όριο στο x0 τότε η f έχει συνεχή παράγωγο στο x0.

Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη στο χ0, άρα είναι και συνεχής στο χ0. Επειδή δεν γνωρίζουμε αν το όριο της f'(x) είναι ίσο εκατέρωθεν του χ0, επομένως δεν γνωρίζουμε εάν είναι συνεχής η f'(x) στο χ0.Επομένως λάθος.

Σωστό ή Λάθος;

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ. Αν η f είναι 3 φορές παραγωγίσιμη στο x0 ανήκει στο εσωτερικό του Δ με f΄΄(x0)=0 και f΄΄΄(x0) διάφορο του 0 τότε το (x0,f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

Για να είναι σημείο καμπής πρέπει αφ'ενός f΄΄(x0)=0 και αφ'ετέρου να αλλάζει κυρτότητα η f στο χο, δηλαδή να έχει διαφορετική κυρτότητα πριν το χο και διαφορετική μετά.
Επειδή όμως f΄΄΄(x0) 0 η f'' δεν γίνεται να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του χ0. Άρα λάθος?

Σωστό ή Λάθος;

Αν f συνεχής στο [α,β] τότε για κάθε x0 στο [α,β] υπάρχουν δ>0, ε>0 τέτοια ώστε για κάθε x στο (χ0-δ, χ0+δ) να ισχύει

f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε

Σ' αυτό δεν έχω ιδέα (όχι ότι είχα και στα υπόλοιπα)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Α, τότε υπάρχει διάστημα Β υποσύνολο του Α στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη.

Δεν μπορω να καταλαβω τι προσπαθεις να καταφερεις με τετοια Σ/Λ.
Παντως οχι να μας προετοιμασεις για το 1ο Θεμα που θα γραψουμε την Τεταρτη.

Η απαντηση ειναι: ΛΑΘΟΣ

(η συνάρτηση weierstrass ειναι συνεχης στο R αλλα ΠΟΥΘΕΝΑ παραγωγισιμη)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Η παραγωγισιμότητα της αντίστροφης αποδεικνύεται εύκολα με τον ορισμό της παραγώγου

καί η συνέχειά της είναι αυτονόητη δεδομένου ότι η f είναι συνεχής άρα θα ισχύει και ότι το x θα τείνει στο xo, όταν το y θα τείνει στο yo.

Αλλά σήμερα διαβάζουμε μαθηματικά γενικής και ας το αφήσουμε γιά όταν θα δίνουμε μαθηματικά κατεύθυνσης.
Καλό κουράγιο σε όλους μας.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Θεωρείται η συνάρτηση g(x)=f(x)-((f(β)-f(α))/(β-α))*(x-α)

Η g είναι συνεχής στο [α,β] αφού f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) αφού f παραγωγίσιμη (α,β) με g΄(x)=f΄(x)-((f(β)-f(α))/(β-α))

g(α)=g(β)=f(α)

g συνεχής [α,β], g παραγωγίσιμη (α,β), g(α)=g(β) -> Θεώρημα Rolle: υπάρχει ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε g΄(ξ)=0 -> f΄(ξ)=((f(β)-f(α))/(β-α))
-----------------------------------------
Αν f 1-1 και παραγωγίσιμη στο x0 με f΄(x0) διάφορο 0, τότε η αντίστροφη συνάρτηση (f-1) είναι παραγωγίσιμη στο y0=f(x0) με παράγωγο:

(f-1)΄(y0)=1/f΄((f-1)(y0))​

ή (f-1)΄(f(x0))=1/f΄(x0)​

Αν f΄(x0)=0 τότε η (f-1)΄(y) δεν ορίζεται στο f(x0).​

Αν f συνεχής στο R να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x0 στο R τέτοιο ώστε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Σωστό ή Λάθος;

Αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)f(β)f((α+β)/2)<0 τότε υπάρχει x0 στο (α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3Lt3D]

Λαθος. γιατι μπορει f(a),f(b),f((a+b)/2)<0. οποτε δεν ξερουμε αν πληρειται η προυποθεση για bolzano.

Αυτο το Σ/Λ ηταν καλο, αλλα ορισμενα προηγουμενα ειναι εκτος πνευματος εξετασεων και πραγματικα δεν βρισκω λογο να τα ανεβαζεις,γιατι αγχωνεται κοσμος αδικα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία μη σταθερή συνάρτηση f ορισμένη στο R, παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο M και μοναδικό τοπικό ελάχιστο m, τότε m<=f(x)<=M για κάθε x στο R.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tasosatha]

Δίνεται η συναρτηση
α. Να την μελετησετε ως προς την μονοτονια
β. Να βρειτε το σύνολο τιμων της.
γ. να δειξετε οτι αντιστρεφεται και να βρειτε την αντιστροφη της.
δ. να υπολογισετε το εμβαδο Ε του χωριου που περικλειεται απο την Cf(αντιστροφη) τους αξονες χ'χ, ψ'ψ και την ευθεια χ=1.

Οποιος μπορει ας βοηθησει...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Harispgp]

Παιδια να ενα ωραιο και σχετικο,κατα τη γνωμη μου, θεμα...

Να βρεθει η ελαχιστη αποσταση των συναρτησεων f(x)=e^x και g(x)=lnx

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kvgreco]

Παιδια να ενα ωραιο και σχετικο,κατα τη γνωμη μου, θεμα...

Να βρεθει η ελαχιστη αποσταση των συναρτησεων f(x)=e^x και g(x)=lnx

Αρκεί να βρείς την ελάχιστη απόσταση της μιάς συνάρτησης(όποια σου κάνει γιά πιό εύκολη) από την ευθεία y=x και να τη διπλασιάσεις.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikolas17]

Σταδιακά την λύνω...ελπίζω να είναι σωστή! (τα μαθηματικά δεν είναι το δυνατό μου σημείο) Εγώ ακόμα λύνω και ο άλλος την έλυσε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Harispgp]

α)Η f για καθε χ στο (0,1) ειναι παραγωγισιμη με f'(x)= - 1/(1-x)x (κατοπιν πραξεων)
o παρανομαστης προφανως θετικος στο (0,1) αρα f'(x)<0 και αντιστοιχα f(x) γνησιως φθινουσα.

β)για το συνολο τιμων παιρνεις τα ορια στα ακρα με lim ln[(1-x)/x] να κανει + απειρο για χ-->0+ και αντιστοιχα το αλλο οριο κανει -απειρο στο 1-
Ωστε Συνολο τιμων το R

γ)αφου ειναι γνησιως μονοτονη ειναι και 1-1 αρα αντιστρεφεται
Η αντιστροφη της ειναι παλι κατοπιν πραξεων αφου θεσεις Υ=f(x) και λυσεις ως προς x βγαινει ενδεχομενως f-1(x) = 1/(1+e^x)

δ)Πολυ αργα να το λυσω ! :Ρ εχει παει 12 κοντα !

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Harispgp]

nice!
Ειναι δυσκολο θεμα αν δεν καταλαβεις οτι παιζει η αντιστροφη μεσα!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[azzuro]

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία μη σταθερή συνάρτηση f ορισμένη στο R, παρουσιάζει μοναδικό τοπικό μέγιστο M και μοναδικό τοπικό ελάχιστο m, τότε m<=f(x)<=M για κάθε x στο R.

Λαθος, πρεπει να ξερουμε αν ειναι συνεχης.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Harispgp]

Λαθος.Προφανως για να δημιουργηθει ακροτατο(μεγιστο η ελαχιστο) θα πρεπει να ασχοληθουμε με μια περιοχη γυρω του οπου πιθανως ,για παραδειγμα στο μεγιστο, να υπαρχει χαμηλοτερες τιμες.
Αυτες δεν ξερουμε αν συμπιπτουν , αν ειναι μεγαλυτερες ή μικροτερες του m ελαχιστου.
Βασικα εχει να κανει κυριως με το διαστημα (α,β) στο οποιο η συναρτηση οριζεται

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.