Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

tasosatha · 22-12-08

Δίνεται ο μιγαδικος z=e^x+(x-a)i και για καθε χ ανηκει στο R ισχυει:
Re(z)+xIm(z)>=1

α)νδο α=1
β) Να βρειτε το μιγαδικο του οποιου το μετρο γινεται μέγιστο
-----------------------------------------
Μπορει κανένας να με βοηθησει στη λυση της παραπάνω ασκησης?

tasosatha · 22-12-08

Δίνεται ο μιγαδικος z=e^x+(x-a)i και για καθε χ ανηκει στο R ισχυει:
Re(z)+xIm(z)>=1

α)νδο α=1
β) Να βρειτε το μιγαδικο του οποιου το μετρο γινεται μέγιστο
-----------------------------------------
Μπορει κανένας να με βοηθησει στη λυση της παραπάνω ασκησης?

manos66 · 22-12-08

α)
$Re(z)+xIm(z)\geq 1 \Leftrightarrow e^x+x^2-\alpha x\geq 1$

Θεωρώ συνάρτηση f, με
$\\f(x)=e^x+x^2-\alpha x$
και
$\\f'(x)=e^x+2x-\alpha$
Η ανίσωση γίνεται
$f(x)\geq f(0)$
δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0.
Θ. Fermat
f΄(0) = 0
άρα α = 1
-----------------------------------------
β)
$\\ \left|z \right|= \sqrt{e^{2x}+(x-1)^2} \\ g(x)=e^{2x}+(x-1)^2 \\ g'(x)= 2e^{2x}+2(x-1)\\g''(x)= 4e^{2x}+2\\$

Είναι g΄΄(x) > 0, άρα g΄ γν. αύξουσα με μοναδική ρίζα το 0.

Για x < 0 είναι g΄(x) < 0, άρα g γν. φθίνουσα
Για x > 0 είναι g΄(x) > 0, άρα g γν. αύξουσα

Η g παρουσιάζει ελάχιστο στο 0.

Επομένως ελάχιστο μέτρο έχει ο μιγαδικός z = 1 - i

sabbath · 26-12-08

υπάρχει κανένα βοήθημα για τρίτη λυκείου που να έχει επαναληπτικά μαθηματικά από πολλές τάξεις...πχ. άλγεβρα τι πρέπει να ξέρουμε..... η αν υπάρχει κάνα site που να βρω σημειώσεις.....τριγωνομετρία γρρρρ?????????????????????????????????????????????:thanks:

maraki love · 26-12-08

Αν και είμαι θεωρητική υπάρχει νομίζω αλλά σε κανονικό βιβλίο όχι online..θες να σου πω πως το λένε;;; Από πανελλήνιες πάντως υπάρχει βιβλίο...
-----------------------------------------
https://www.angelfire.com/ab3/GIANNNO/edu/subject/math_stuff.htm

athina09 · 30-12-08

1. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=2lnx-2lna-\frac{x}{a}+\frac{a}{x}$ ,οπου α>0
α. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία

β.να αποδείξετε ότι $ln\frac{b}{a}\leq \frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2ab}$ για κάθε $b\geq a$

γ. Να λύσετε την εξίσωση $2axln\frac{x}{a}={x}^{2}-{a}^{2}$
-----------------------------------------
2. Αν η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι παραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα ${[f(x)]}^{3}+{x}^{3}+1=3xf(x)$ για κάθε $x\in R$ και παρουσιαζει τοπικό ακρότατο στο Χο=α, τοτε

α. να δειξετε οτι $f(a)={a}^{2}$

β. Να βρειτε την τιμη του α

κάποιος μπορει να βοηθησεί???

manos66 · 31-12-08

1.α.
$f'(x) = ... = - \frac{(x-\alpha )^2}{\alpha x^2}\leq 0$
και το "=" ισχύει μόνο για x = α.
άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.

β.
$\\ b\geq \alpha \Leftrightarrow \\ f(b) \leq f(\alpha ) \Leftrightarrow \\ 2lnb-2ln\alpha -\frac{b}{\alpha }+\frac{\alpha }{b}\geq 0 \Leftrightarrow \\ 2(lnb - ln\alpha )\geq \frac{b}{\alpha }-\frac{\alpha }{b}\Leftrightarrow \\ 2ln\frac{b}{\alpha }\geq \frac{b^2-\alpha ^2}{\alpha b} \Leftrightarrow \\ ln\frac{b}{\alpha }\geq \frac{b^2-\alpha ^2}{2\alpha b}$

γ.
$\\ 2\alpha xln \frac{x}{\alpha }= x^2-\alpha ^2 \Leftrightarrow \\ 2ln \frac{x}{\alpha }= \frac{x^2}{\alpha x}-\frac{\alpha ^2}{\alpha x} \Leftrightarrow \\ 2(lnx -ln\alpha )= \frac{x}{\alpha}-\frac{\alpha}{x} \Leftrightarrow \\ 2lnx -2ln\alpha -\frac{x}{\alpha}+\frac{\alpha}{x}= 0 \Leftrightarrow \\ f (x) = 0 \Leftrightarrow \\ f (x) = f (\alpha ) \Leftrightarrow \\ x = \alpha$
-----------------------------------------
2. α.
Παραγωγίζουμε κατά μέλη και έχουμε :
$\\ 3f^2(x)f'(x)+3x^2=3f(x)+3xf'(x)$
και για x = α
$\\ 3f^2(\alpha )f'(\alpha )+3\alpha ^2=3f(\alpha )+3\alpha f'(\alpha )$
Από Θ. Fermat f΄(α) = 0, άρα
$\\ 3\alpha^2 = 3f(\alpha) \Leftrightarrow f(\alpha )=\alpha ^2$

β.
Στην αρχική σχέση για x = α
$\\ f^3(\alpha)+\alpha^3+1=3\alpha f(\alpha) \Leftrightarrow \\ \alpha^6+\alpha^3+1=3\alpha^3 \Leftrightarrow \\ \alpha^6-2\alpha^3+1=0 \Leftrightarrow \\ \left( \alpha^3-1\right)^2=0 \Leftrightarrow \\ \alpha^3-1=0 \Leftrightarrow \\ \alpha^3=1\Leftrightarrow \\ \alpha=1$

dragonver · 02-01-09

Είναι μία απλή ασκηση για επανάληψη στις συναρτήσεις αλλά έχω κολλήσει και δεν μπορώ να την λύσω:

f: R-->R αν ισχύει: f^3(x) + e^f(x) + 1 = x
Να δειχθεί ότι η f ειναι γνησίως αυξουσα.

In Flames · 02-01-09

βασικα δεν πρεπει να ειναι αυτη η εκφωνηση...η εκφωνηση πρεπει να λεει κανονικα οτι δινεται γνησιως μονοτονη συναρτηση..να αποδειξετε οτι ειναι γνησιως αυξουσα...για να μπορεις να πας με ατοπο...

η λυση μου (με αυτην την προυποθεση):

εστω η f γν. φθινουσα...x1,x2εR με x1<x2=>f(x1)>f(x2)
<=>f(x1)^3>f(x2)^3 και e^f(x1) + 1>e^f(x2) +1

προσθετουμε τις δυο ανισοτητες..και απο την δοθεισα σχεση ειναι:
χ1>χ2 που ειναι ατοπο γιατι υποθεσαμε οτι χ1<χ2 στην αρχη..

αρα η f γνησιως αυξουσα

ελπιζω να βοηθησα..

dragonver · 02-01-09

Η εκφώνηση είναι έτσι όπως την έδωσα στην αρχή... Πάντως ευχαριστώ.

manos66 · 02-01-09

Δείξτε ότι είναι 1-1, και βρείτε την αντίστροφή της.
Η αντίστροφή της είναι γνησίως αύξουσα, άρα και η f είναι γνησίως αύξουσα.

athina09 · 02-01-09

Εστω η παραγωγισιμη συνάρτηση: $f0,+\propto)\rightarrow R$ για την οποια ισχυουν f(1)=0 και xf '(x)-2f(x)=x για κάθε $x\in (0,+\propto )$

1. Να αποδείξετε οτι η συναρτηση $h(x)=\frac{f(x)}{{x}^{2}}$ ειναι γνησίως αυξουσα στο $(0,+\propto )$

2. Να βρείτε τον τύπο της f
-----------------------------------------
Μπερδευομαι λιγο στην αρχη γιατι δεν ξερω πως να χρησιμοποιησω την αρχικη σχεση.Οποιος μπορει ας βοηθησει...

Semfer · 02-01-09

Για να βρεις τον τύπο της f(x) πρέπει να λύσεις την διαφορική εξίσωση $xf '(x)-2f(x)=x$ . Έτσι θα βρεις ένα σύνολο συναρτήσεων. Μετά θα χρησιμοποιήσεις την συνθήκη f(1)=0 για να βρεις την f(x) της άσκησης.

Η διαφορική εξίσωση λύνεται ως εξής:

είναι της μορφής $f'(x)+p(x)f(x)=k$

Ψάχνουμε να βρούμε μια συνάρτηση q(x) τέτοια ώστε $(q(x)f(x))'=q(x)f'(x)+q'(x)f(x)$ . Αν πολλαπλασιάσεις και τα δυο μέλη της $f'(x)+p(x)f(x)=k$ με την q(x) θα έχεις $q(x)f'(x)+q(x)p(x)f(x)=q(x)k$ .
Επομένως θέλεις $q'(x)=q(x)p(x)$ δηλαδή $q(x)=e^{\int p(x)dx}$ (integrating factor).

Άρα η γενική λύση της διαφορικής θα είναι

$f(x)=\frac{1}{q(x)}\int kq(x)dx+\frac{c}{q(x)}$

Από την συνθήκη που έχεις βρίσκεις την c και τελείωσες.

Είναι $f(x)=x^2-x$

dragonver · 02-01-09

Δεν κατάφερα ούτε καν να δείξω ότι είναι 1-1... Πώς θα το δείξω;

Mixalis91 · 02-01-09

Στην αρχική σχέση,διαίρεσε με x^3 ...θα σου μείνει (f(x)/x^2)' = 1/x^2
οπότε απο εκεί είναι f(x)/x^2 = -1/x + c

Άρα f(x)= -x + cx^2

Όμως έχουμε f(1)=0 ==> c = 1

Συνεπώς f(x)=x^2 - x ,x>0 όπως έβγαλε και ο απο Semfer

Για τη μονοτονία της h αντικαθιστάς την f(x) και βγαίνει εύκολα συνθετικά ή με παράγωγο.

Ελπίζω να βοήθησα

In Flames · 02-01-09

λοιπον κοιτα...η λυση ειναι ετσι οπως στην εδωσα με την εξης παρατηρηση..

δειχνουμε οτι ειναι ενα προς ενα

εστω f(x1)=f(x2)<=>f^3(x1)=f^3(x2) και e^f(x1) + 1=e^f(x2) + 1

με προσθεση κατα μελη των δυο ισοτητων και με την δοθεισα σχεση ειναι:
χ1=χ2
επομενως η συναρτηση ειναι 1-1..αρα δεν μπορει να ειναι σταθερη...
αρα ή γνησιως φθινουσα ή γνησιως αυξουσα ειναι (ή και τα δυο ανα διαστηματα), απορριπτεται το γνησιως φθινουσα με τον τροπο που σου δειξα παραπανω..
επομενως η συναρτηση ειναι γνησιως αυξουσα..

αυτη ειναι η οριστικη απαντηση μου..ελπιζω να βοηθησα

In Flames Gn

In Flames · 02-01-09

Αρχική Δημοσίευση από Semfer:
Για να βρεις τον τύπο της f(x) πρέπει να λύσεις την διαφορική εξίσωση $xf '(x)-2f(x)=x$ . Έτσι θα βρεις ένα σύνολο συναρτήσεων. Μετά θα χρησιμοποιήσεις την συνθήκη f(1)=0 για να βρεις την f(x) της άσκησης.

Η διαφορική εξίσωση λύνεται ως εξής:

είναι της μορφής $f'(x)+p(x)f(x)=k$

Ψάχνουμε να βρούμε μια συνάρτηση q(x) τέτοια ώστε $(q(x)f(x))'=q(x)f'(x)+q'(x)f(x)$ . Αν πολλαπλασιάσεις και τα δυο μέλη της $f'(x)+p(x)f(x)=k$ με την q(x) θα έχεις $q(x)f'(x)+q(x)p(x)f(x)=q(x)k$ .
Επομένως θέλεις $q'(x)=q(x)p(x)$ δηλαδή $q(x)=e^{int p(x)dx}$ (integrating factor).

Άρα η γενική λύση της διαφορικής θα είναι

$f(x)=frac{1}{q(x)}int kq(x)dx+frac{c}{q(x)}$

Από την συνθήκη που έχεις βρίσκεις την c και τελείωσες.

Είναι $f(x)=x^2-x$

η διαφορικη ΔΥΣΤΥΧΩΣ ειναι εκτος υλης πανελλαδικων...

αλλα ειναι μαθηματικα οποτε καλα εκανες

manos66 · 02-01-09

Δεν χρειάζεται να λύσετε τη διαφορική.
Στο 1ο ερώτημα ζητάει ν.δ.ο. η h είναι γνησίως φθίνουσα.
$\\ h'(x) = \left(\frac{f(x)}{x^2} \right)' = \frac{x^2f'(x)-2f(x)}{x^3}=\frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^2}>0$
άρα η h είναι γνησίως αύξουσα

Στο 2ο ερώτημα
$\\ h'(x) = \frac{1}{x^2} \Leftrightarrow \\ \left(\frac{f(x)}{x^2} \right)' = \left( -\frac{1}{x} \right)'$
από συνέπειες Θ.Μ.Τ.
$\\ \frac{f(x)}{x^2} = -\frac{1}{x}+c \Leftrightarrow \\ f(x)=-x+cx^2, x > 0$

και επειδή f (1) = 0 θα είναι c = 1 και
$\\ f(x) =-x+x^2, x>0$

Semfer · 02-01-09

^πολυ ωραια! Αν και στο δευτερο ερωτημα στην ουσια λυνεις την διαφορικη.

mostel · 04-01-09

Αρχική Δημοσίευση από in flames gn:
λοιπον κοιτα...η λυση ειναι ετσι οπως στην εδωσα με την εξης παρατηρηση..

δειχνουμε οτι ειναι ενα προς ενα

εστω f(x1)=f(x2)<=>f^3(x1)=f^3(x2) και e^f(x1) + 1=e^f(x2) + 1

με προσθεση κατα μελη των δυο ισοτητων και με την δοθεισα σχεση ειναι:
χ1=χ2
επομενως η συναρτηση ειναι 1-1..αρα δεν μπορει να ειναι σταθερη...
αρα ή γνησιως φθινουσα ή γνησιως αυξουσα ειναι (ή και τα δυο ανα διαστηματα), απορριπτεται το γνησιως φθινουσα με τον τροπο που σου δειξα παραπανω..
επομενως η συναρτηση ειναι γνησιως αυξουσα..

αυτη ειναι η οριστικη απαντηση μου..ελπιζω να βοηθησα

In Flames Gn

Δε σημαίνει πως επειδή είναι 1-1 θα 'ναι και γνησίως μονότονη. Δε γνωρίζεις τίποτα για τη συνέχεια της συνάρτησης.

Στέλιος

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος