Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

demerlad

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Χρηστος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Ιωάννινα (Ιωάννινα). Έχει γράψει 365 μηνύματα.
Ωραιος :no1: Βασικα αυτο ηταν η ασκηση ολα τα αλα ειναι κλασικα :D
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

firekid

Νεοφερμένος

Ο Άλκης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 33 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 6 μηνύματα.
'Εστω κυρτή συνάρτηση f : [0,+άπειρο) --> R με f(0)=1 και f'(0) = 0
Α. Να δείξετε ότι f(x) > 1 , για x > 0.
Β. Αν g(x) = - , x ε [0,+απειρο) , να δείξετε ότι :
α. η συνάρτηση g είναι κυρτή στο [0,+απειρο)
β. , για x >0
γ. >

δεν μου βγαίνει καθόλου :'(
P.S. συγνώμη αν έχω κάνει κάνα λάθος στο πως την έγραψα αλλά είμαι καινούργιο μέλος :(
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

M.d

Νεοφερμένος

Η M.d αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 34 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 6 μηνύματα.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

firekid

Νεοφερμένος

Ο Άλκης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 33 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 6 μηνύματα.
και για τα 2 θές?
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

firekid

Νεοφερμένος

Ο Άλκης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 33 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 6 μηνύματα.
'Εστω κυρτή συνάρτηση f : [0,+άπειρο) --> R με f(0)=1 και f'(0) = 0
Α. Να δείξετε ότι f(x) > 1 , για x > 0.
Β. Αν g(x) =
-
, x ε [0,+απειρο) , να δείξετε ότι :
α. η συνάρτηση g είναι κυρτή στο [0,+απειρο)
β.
, για x >0
γ.
>


δεν μου βγαίνει καθόλου :'(
P.S. συγνώμη αν έχω κάνει κάνα λάθος στο πως την έγραψα αλλά είμαι καινούργιο μέλος :(
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

nickzor

Νεοφερμένος

Ο nickzor αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 87 μηνύματα.
οκ για να γράψω το πρώτο μου Post αναγκάστηκα να κάνω ολόκληρο restart είχα κλείσει πολλά πράγματα απο το task manager και δεν τράβαγε το PC :D


Σκιαγραφώ το θέμα :

Α.

f κυρτή αρα f'(x) αυξουσα.

Για x>0 έχω : f'(x)>f'(0) <=> f'(x)>0 αρα f αύξουσα.

για χ>0 <=> f(x)>f(0) αρα f(x)>1 αρα ισχύει.[/latex]

Β. μετά απο εξήγηση περι παραγωγισημότητας της g(x) παραγωγίζεις 2 φορές και καταλήγεις σε :

g''(x) = f'(x) -f'(x)/f(x)
g"(x) = f'(x)*(1-1/f(x))
g"(x) = f'(x)*(f(x)-1)/f(x)

έχεις f'(x)>0 και f(x)>1 Αρα g''(x)>0

αρα η g'(χ) αυξ. αρα g(x) κοίλα άνω.

β. e^f(x)>e*f(x)

Θεωρώ h(x) = e^f(x)-e*f(x), h(0)=0
h'(x)= f'(x)*e^f(x) - e*f'(x)
h'(x) = f'(x)(e^f(x)-e)

Έχω f'(x)>0 και e^f(x)>e <=> f(x)>1 που ισχύει

Αρα h'(x)>0
Αρα για χ>0, h(x)>0

γ. Απο Β.α έχω g' αύξουσα αρα *έφαγα ένα κομμάτι εδώ* για x>0 g'(x)>1 άρα g αυξ.
για 2>1
g(2)>g(1)
και βγαίνει δεν μπορώ να μάθω να γράφω και ολοκληρώματα, όλα σε 5 λεπτά :D

Μόνο σκιαγράφηση δεν ήταν αυτό αλλά anywayz

καλά έβγαλα τα latex γιατί δεν ξέρω ακόμα να τα χρησιμοποιώ και δεν θα έβγαζες νόημα.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

AnaCroN

Νεοφερμένος

Ο AnaCroN αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 35 ετών και Φοιτητής. Έχει γράψει 115 μηνύματα.
A.
f κυρτή. Άρα h f'(x) γνησίως αύξουσα.
Επίσης σε κάθε σημείο η Cf βρίσκεται πάνω απο την εφαπτομενη της, με εξαίρεση το σημείο επαφής.

f(0) = 1
f'(0) = 0
Η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο x=0 είναι η:


f κυρτή άρα

Η ισότητα ισχύει για x=0, άρα για x>0 έχουμε:




B. α
Η g παραγωγίσιμη 2 φορές ως πράξεις/σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.





Αρκεί g''(x) > 0 για να είναι η g κυρτή.

Έχουμε:



για





Οπότε:

β.








γνησίως αύξουσα με
Δηλαδή για

Οπότε ισχύει.

γ. Έχουμε




Ολοκληρώνοντας παίρνουμε το ζητούμενο:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Προσθέτω ακόμη ένα ερώτημα για να γίνει λίγο πιο hot :P


Για , να δειχθεί ότι:







Στέλιος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

firekid

Νεοφερμένος

Ο Άλκης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 33 ετών και Μαθητής Γ' λυκείου. Έχει γράψει 6 μηνύματα.
THNX!! Τελικά βέβαια κατάφερα να το λύσω αλλά δυσκολέυτικα :P ελπίζω να μην πέσει κάτι τέτοιο φέτος !
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Chris0705

Νεοφερμένος

Η Χριστίνα αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 34 ετών, Φοιτήτρια και μας γράφει απο Κρυονέρι (Αττική). Έχει γράψει 35 μηνύματα.
A. f κυρτή άρα f ' γνησίως αύξουσα στο [0,+άπειρο), κατά συνέπεια για
χ>0=> f '(x)>f '(0)=>f '(x)>0 Άρα η f γνησίως αύξουσα στο ίδιο διάστημα και άρα για χ>0=> f(x)>f(0)=>f(x)>1
B. g'(x)=f(x)-lnf(x)
αφού f(x)>1 & f '(x)>0 για κάθε χ>0. Άρα η g κυρτη στο [0,+άπειρο)
=>f(x)>1+lnf(x) => f(x)-lnf(x)>1=> g'(x)>1=>g'(x)>g'(0) που ισχύει
αφού η g' είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό δεδομένου του ότι η g είναι κυρτή.
άρα
=>g(2)>0=> g(2)>g(1) που ισχύει διότι g' γνησίως αύξουσα, άρα g'(x)>g'(0)=> g'(x)>1>0, άρα g γνησίως αύξουσα, οπότε ισχύει η προηγούμενη σχέση.
Ελπίζω να βοήθησε!:)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

vamou90

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 198 μηνύματα.
Θέμα 1...α)θέσε όλο αυτό μέσα στο όριο ίσο με g(x) ή ότι άλλο θες... λύσε ως προς f(x) και βρες το όριο της f είναι συνεχής άρα το f(0) ισούται με το όριο της f στο 0...
β)πάρε τον τύπο με το όριο στο 0 f(x)-f(0)/x και πρέπει να βγει πραγματικός
γ)πρέπει να βγάλεις ότι οι παράγωγοι των f k h στο 0 έιναι ίσες δλδ... h'(0)=f'(0)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

vamou90

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 198 μηνύματα.
Για το τέταρτο....το α είναι ίδιο με το α κ β του προηγούμενου θέματος...
β. Έστω ότι υπάρχουν τα χ1 κ χ2... από Θ.Rolle πάει σε άτοπο
γ. g(x)=f(x)+x-2...και Θ.Bolzano.
δ. κ ανήκει στο (0,ξ) και λ ανήκει στο (ξ,2) όπου ξ απο το γ δλδ f(ξ)=0
και κάνεις Θ.Μ.Τ. σε αυτά τα διαστήματα....
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Κανείς ρε παιδιά δε την προσπάθησε ; :mad: :(
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

beautiful loser

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο ---- αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι Φοιτητής και μας γράφει απο Αθήνα (Αττική). Έχει γράψει 1,260 μηνύματα.
Εγώ ασχολήθηκα λίγο μαζί της αλλά δεν μου βγήκε ,καθώς γράφω αυτό το post την ξαναδοκιμάζω ,χχμμμ δεν μπορώ να συσχετίσω το αποτέλεσμα που βγαζω με το 4
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

vamou90

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 198 μηνύματα.
Ρε συ mostel απ' ότι έχω δει κάτι τέτοια βάζουν στη μαθηματική εταιρία... θα προσπαθήσω να δω αν βγαίνει κάτι αλλά δεν νομίζω να μπορέσω...:)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Το υποερώτημα το κατασκεύασα με πολύ πολύ απλή ανάλυση και τίποτα το εξωφρενικό :)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

vamou90

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Βασίλης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 198 μηνύματα.
Άσχετο....αλλά ξέρετε που μπορώ να βρω στο διαδίκτυο τα επαναληπτικά περσινά θέματα???
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

leftkox

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο Λευτέρης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 33 ετών και Πτυχιούχος. Έχει γράψει 149 μηνύματα.
Το προχώρησα λίγο με τα κλασικά (παράγωγος, εύρεση ελάχιστου κ.λ.π.) και κατέληξα πως αρκεί να δείξω ότι α + β + γ + 1/αβγ -4 > 0 ... Παίζει μήπως να είμαι σε καλό δρόμο ή μπα;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Αν δεν βαριέσαι , γράψε ολόκληρη τη λογική σου !~


Στέλιος
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

mostel

Πολύ δραστήριο μέλος

Ο Στέλιος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 34 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο Θεσσαλονίκη (Θεσσαλονίκη). Έχει γράψει 1,203 μηνύματα.
Btw, αυτή που λες ισχύει . (Η ισότητα είναι πονεμένη ιστορία... γι αυτό έβαλα κυρίως την άσκηση )


Έχουμε:





Έστω

Γράφεται δηλαδή και :




Ή



Ή



Όμως από Arithmetic - Geometric Mean Inequality ισχύει:




και τελειώσαμε...


Σημείωση: Η ισότητα εδώ ισχύει για , όμως γιατί δεν ισχύει γενικά για την άσκηση ;


Στέλιος



ΥΣ: Η λύση μου είναι όμως πολύ πιο απλή...


ΥΣ: Πληροφορίες για την ανισότητα που χρησιμοποίησα παραπάνω εδώ !
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Top