Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Kristal · 23-03-08

πως είναι δυνατόν να βγήκε το ίδιο με το αρχικό?

Γιώργος · 23-03-08

Αρχική Δημοσίευση από Kristal:
πως είναι δυνατόν να βγήκε το ίδιο με το αρχικό?

Μάλλον έκανε κατά λάθος παραγοντική στο πολυώνυμο.

Σ' αυτά που βγαίνουν "κλασικά" με παραγοντική, απλά κάνεις παραγοντική συνέχεια στο ίδιο.
Η λογική πολύ απλή: για να "φύγει" το πολυώνυμο. Γιατί με ν-παραγοντικές (όπου ν: ο βαθμός του) φεύγει.

Kristal · 23-03-08

Ρε συ γιώργο και με κατα παράγοντες στο πολυώνυμο δεν νομίζω να βγαίνει το ίδιο ολοκλήρωμα...

Γιώργος · 23-03-08

Αρχική Δημοσίευση από Kristal:
Ρε συ γιώργο και με κατα παράγοντες στο πολυώνυμο δεν νομίζω να βγαίνει το ίδιο ολοκλήρωμα...

Το δοκίμασες;

Πρώτα στο εκθετικό και αμέσως μετά στο πολυώνυμο που βγαίνει.

Kristal · 23-03-08

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Το δοκίμασες;

Πρώτα στο εκθετικό και αμέσως μετά στο πολυώνυμο που βγαίνει.

Οχι δεν το δοκίμασα αλλα λογικά ο βαθμός του πολυωνύμου θα αυξάνει διαρκώς λόγω των παραγουσών του...
Εναλλάξ θα το πάμε?

Γιώργος · 23-03-08

Αρχική Δημοσίευση από Kristal:
Οχι δεν το δοκίμασα αλλα λογικά ο βαθμός του πολυωνύμου θα αυξάνει διαρκώς λόγω των παραγουσών του...
Εναλλάξ θα το πάμε?

Εννοώ: αν κάνεις παραγοντική στο εκθετικό το πολυώνυμο πέφτει. Αν κάνεις αμέσως μετά στο πολυώνυμο, ξαναέρχεται στη θέση του.

Kristal · 23-03-08

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Εννοώ: αν κάνεις παραγοντική στο εκθετικό το πολυώνυμο πέφτει. Αν κάνεις αμέσως μετά στο πολυώνυμο, ξαναέρχεται στη θέση του.

Ναι ρε συ το κατάλαβα η πρώτη πρόταση πήγαινε για την ερώτηση αν το δοκίμασα και η 2η για αυτο που λες...

nick29 · 25-03-08

Τι λέτε για αυτό; Φαίνεται απλό, αλλά κόλλησα...
$\int \frac{1}{x^2+1} dx$

mostel · 25-03-08

$x = \tan u$ και είσαι οκ νομίζω.

(Αν και το αποτέλεσμα θα 'ναι arctan, εκτός ύλης λυκείου!)

maria122132 · 03-04-08

.............

mad cow · 03-04-08

εγω δεν βλεπω καμια ασκηση?

Γιώργος · 03-04-08

Για όσους δεν βλέπουν εικόνα:

Έστω μία συνάρτηση $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ με $f'(x)=\sqrt{1+f^2(x)}$ για κάθε $x\in[0,1]$ . Αν $f(0)+f(1)=0$ να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
$I = \int_0^1 f(x)dx$

Λοιπόν, έτσι όπως είναι το ολοκλήρωμα δεν προχωρά. Το μοναδικό που μπορώ να κάνω είναι παραγοντική (τσεκάρετέ το όταν δεν προχωρά το ολοκλήρωμα).

$\begin{eqnarray} I & = & \int_0^1 f(x)dx \\ & = & \int_0^1 (x)' f(x)dx \\ & = & [x f(x)]_0^1 - \int_0^1 x f'(x)dx \\ & = & f(1) - \int_0^1 x \sqrt{1+f^2(x)}dx \\ \end{eqnarray}$

Αλλά δεν μπορώ να σκεφτώ πώς μπορεί να προχωρήσει αυτό. :/:

Ωστόσο, σε τέτοιες περιπτώσεις στο τέλος, γράφτε ακόμα κι αυτό. Σίγουρα θα πάρετε κάνα μόριο, για τον "κόπο" σας. Ποτέ δεν αφήνουμε ένα θέμα κενό - καθώς δεν υπάρχει αρνητική βαθμολόγηση.

Άλλες πληροφορίες επίσης είναι ότι f: γνησίως αύξουσα (εύκολα προκύπτει). Κι αυτό το γράφουμε, καθώς μπορεί να μας δώσει κάτι παραπάνω.

eliza04 · 03-04-08

και εγω μεχρι εκει εχω φτασει, δεν μπορω να το προχωρησω

maria122132 · 03-04-08

Την έλυσα!:no1:

Γιώργος · 03-04-08

Αρχική Δημοσίευση από maria122132:
Την έλυσα!:no1:

Πες και πώς γιατί μ' έχει φάει η περιέργεια.

mostel · 03-04-08

Εγώ πάλι θα 'λεγα kinda classic one...

Let me try:

$\frac{f'(x)}{\sqrt{f^2(x)+1}}=1$

$\frac{2f'(x)f(x)}{2\sqrt{f^2(x)+1}}=f(x)$

$\frac{((f^2(x)+1)'}{2\sqrt{f^2(x)+1}}=f(x)$

$(\sqrt{f^2(x)+1})'=f(x)$

Μετά integrate, αντικατάσταση και προκύπτει άμεσα το ζητούμενο .

Στέλιος

ΥΣ: Τι να το κάνεις που 'ναι γνησίως αύξουσα... αυτό είναι εκτός τόπου και χρόνου από το θέμα... Να γράψω αν είναι το πάτερ ημών μπας και πάρω κανά μόριο παραπάνω αν πέσω σε κάναν θρήσκο...

Γιώργος · 04-04-08

Α στο διάολο.

Όντως, κάτι τέτοια έκανα πριν κάτι βδομάδες για να υπολογίσω το:
$\int_{-L}^L [f(x)]^2 dx$ , όπου η f αναπτύσσεται σε σειρά Fourier!

mostel · 04-04-08

Πρόσεχε όμως , στη Fourier analysis , δεν αναλύεται κάθε f - άσχετα που αυτό πίστευε ο φουκαράς ο Fourier -

Στέλιος

demerlad · 06-04-08

Λοιπον εχθες εγραψα στον καθηγητη που μου κανει ιδιαιτερο ενα προχειρακι στα μαθηματικα κατευθυνσης...θα ποσταρω το 2ο θεμα να δω πόση φαντασια μπορει να έχετε για καποιο υποερωτηματακι, λιγο τραβηγμενο για το τέλος βέβαια αλλα τελος παντων...

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f $:[a,b]-> R$ με f(b) = 2f(a) τέτοια ώστε να ισχύει : $f'(x) = 2f^2(x) - 4f(x) +4$ για κάθε x που ανήκει στο [a,b] .

Να δείξετε ότι :
α. $f(a) > 0$

β. $\int_a^b f(x) dx$ $< ln2$

γ. Αν $f(a) > 1$ τότε

i) Η f κυρτή
ii)Δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της f τρία διαφορετικά σημεία συνεθυειακά.

Περιμένω απαντήσεις...Καλή επιτυχία :no1:

mostel · 07-04-08

Λοιπόν... Θα ασχοληθώ μόνο με το β , το οποίο μου άρεσε .

Έχουμε:

$f^2(x)<f'(x)$

Έστω ότι ίσχυε $f^2(x)\geq f'(x)$ . Τότε θα είχαμε από υπόθεση:

$f'(x) = 2f^2(x) -4f(x)+4\leq f^2(x)$

$(f(x)-2)^2\leq 0$

$f(x)=2$

Άτοπο , μιας και δεν είναι σταθερή η συνάρτησή μας .

Άρα ισχύει:

$f^2(x)<f'(x)$

Ή

$f(x)<\frac{f'(x)}{f(x)}$

ή

$\int_a^bf(x)dx<\int_a^b\frac{f'(x)}{f(x)}dx$

$\int_a^bf(x)dx<[\ln f(x)]_a^b$

$\int_a^bf(x)dx<\ln f(b)-\ln f(a)$ (1)

Όμως

$f(b)=2f(a)$

$\frac{f(b)}{f(a)}=2$

$\ln\frac{f(b)}{f(a)}=\ln 2$

$\ln f(b)-\ln f(a)=\ln 2$ (2)

Τη (2) την τοποθετούμε στην (1) και τελειώσαμε .

Στέλιος

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος