
26-02-08

16:40
η τεκμηρίωση που ειπα ειναι για μετά το bolzano που είπες, χρησιμοποιώ την ίδια συνάρτηση g που έθεσες
Επιπλέον, οταν λέω σταθερή δεν ενοώ f(x)=0 αλλα f(x)=c (τουλάχιστον εγω αυτό ξερω οτι σημαίνει σταθερά, διόρθωσέ με αν ειμαι λάθος, δεν ασχολούμαι καιρό με μαθηματικα).
έστω οτι f(x)=c Οπου c σταθερά με 0<c<1
τοτε g(x)=xlnx-x+c
g συνεχής στο [1,e]
g(1)=c-1 <0
g(e)=c >0
αρα g(1)g(e)<0
bolzano => υπαρχει ξ στο ανοιχτο τετοιο ωστε g(ξ)=0
g'(x)=lnx >0 για καθε x στο (1,e), αρα αυξουσα και το ξ μοναδικό
Επομένως, έδειξα οτι η άσκηση ισχύει για κάθε σταθερά συνάρτηση f με 0<f(x)<1
Για ολες αυτές τις άπειρες συναρτήσεις ,λοιπόν, ισχύει οτι f'(x)=0 για καθε χ στο [1,e], επομένως η λύση σου δεν ισχύει
PS. δε μιλάω επιθετικά (αν φαινεται τιποτα τέτοιο απο το "η λύση σου δεν ισχύει"), παραγωγική συζήτηση κανω. Αν εχω πουθενά λάθος πες μου, οπως ειπα δεν εχω και φοβερή μαθηματική εμπειρια
Επιπλέον, οταν λέω σταθερή δεν ενοώ f(x)=0 αλλα f(x)=c (τουλάχιστον εγω αυτό ξερω οτι σημαίνει σταθερά, διόρθωσέ με αν ειμαι λάθος, δεν ασχολούμαι καιρό με μαθηματικα).
έστω οτι f(x)=c Οπου c σταθερά με 0<c<1
τοτε g(x)=xlnx-x+c
g συνεχής στο [1,e]
g(1)=c-1 <0
g(e)=c >0
αρα g(1)g(e)<0
bolzano => υπαρχει ξ στο ανοιχτο τετοιο ωστε g(ξ)=0
g'(x)=lnx >0 για καθε x στο (1,e), αρα αυξουσα και το ξ μοναδικό
Επομένως, έδειξα οτι η άσκηση ισχύει για κάθε σταθερά συνάρτηση f με 0<f(x)<1
Για ολες αυτές τις άπειρες συναρτήσεις ,λοιπόν, ισχύει οτι f'(x)=0 για καθε χ στο [1,e], επομένως η λύση σου δεν ισχύει
PS. δε μιλάω επιθετικά (αν φαινεται τιποτα τέτοιο απο το "η λύση σου δεν ισχύει"), παραγωγική συζήτηση κανω. Αν εχω πουθενά λάθος πες μου, οπως ειπα δεν εχω και φοβερή μαθηματική εμπειρια
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.