1) z^11 πραγματικός, άρα και ο συζυγής του z^11 πραγματικός.
έστω συζυγής του z ο z`
z` = x-yi
z`^11 = (x-yi)^11 = πραγματικός
w = (y+xi)^11 = [ (-i^2) * y + xi ]^11 = [ i * ( x - yi ) ]^11 = i^11 * (x-yi)^11 = i * z`^11 που ανήκει στους φανταστικούς αφού είναι γινόμενο πραγματικού-φανταστικού (αi)
2) φέρνεις τον μιγαδικό z στη μορφή α+βi (α,β πραγματικοί) -> το κάνεις πολλαπλασιάζοντας αριθμητή κ παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή. Για να είναι πραγματικός ο z πρέπει το φανταστικό του μέρος (βi) να είναι μηδέν. Άρα παίρνεις το β (αυτό που βρήκες) και το θέτεις ίσο με μηδέν. Αν δεν κάνω λάθος βγαίνει εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες το 2 και 3/2.
3) στη σχέση με τα μέτρα, υψώνεις στο τετράγωνο και παίρνεις (όπου τόνος ` είναι συζυγής):
z1*z1` = z2*z2` = ρ^2
z1 = (ρ^2)/z1`
z2 = (ρ^2)/z2`
αντικαθιστάς στον w, κάνεις πράξεις (ομόνυμα κλπ) και σου βγάζει τον μιγαδικό του w (w`)
αφού w=w` , ο w είναι πραγματικός
Ίδια (με διαφορετικούς αριθμούς μόνο) άσκηση έχει στο σχολικό βιβλίο.
5) στη δοθείσα(γνωστή) σχέση περνάς μέτρα, διώχνεις τα ν και έχει |z+1| = |z|
υψώνεις στο τετράγωνο και εφαρμόζοντας την ιδιότητα |z|^2 = z*z` θα πάρεις την σχέση z + z` = -1 -> διαιρείς με το 2, αποδεικνύοντας το ζητούμενο.
με την ανισότητα δε θυμάμαι ακριβώς πως δουλεύουμε
τα άλλα δεν τα προλαβαίνω τώρα, αλλά απ'το άλλο φύλλο στην πρώτη όπως την είδα κάνεις για τις 2 περιπτώσεις ότι και στην (2) και θέτεις μετά (αφού μηδενίσεις το πραγματικό/φανταστικό μέρος όπου z x+yi)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.