Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

manos66 · 07-05-09

Αρχική Δημοσίευση από marysita:
Εστω μια συναρτηση f,συνεχης στο [α,β] με f(x)>0 για καθε χ στο [α,β].αν υπαρχει γ στο [α,β] τετοιο ωστε f(α) + f(β)=f(γ) ,να δειξετε οτι υπαρχει ξ στο [α,β] τετοιο ωστε f '(ξ)=0

!!!δεν μπορουμε να κανουμε bolzano στην παραγωγο γιατι δεν ξερουμε αν ειναι συνεχης.....

δεν ειναι ιδιαιτερα δυσκολη αλλα εχει πλακα!
:no1:

$f (x) = \left\{\begin{matrix}x+1, 0\leq x<1\\ 3-x, 1\leq x \leq 2\end{matrix}\right.$

α = 0 , β = 2 , γ = 1

f΄(x) = 0;;;;;;;;;;;

ledzeppelinick · 07-05-09

Αρχικα σκεφτηκα θεωρημα ενδιαμεσων τιμων στο [α,γ] και [γ,β] και επαιδη το f(γ)>f(α) f(γ)>f(β) τα χ1,χ2 που προεκυψαν απο τα Θ.Ε.Τ να έχουν f(x1)=f(x2) και να παρουμε Rolle σ αυτα... αλλα ειναι πολυ φλου..

Αλέξης32989 · 07-05-09

Αρχικά δεν ξέρεις ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη οπότε Rolle δεν υπάρχει...
και με το αντιπαράδειγμα του συναδέλφου καταρρίπτεται η ορθότητα της άσκησης

ledzeppelinick · 07-05-09

Απλα επειδη ζηταει f'(x)=0 και αυτο συνηθως με Rolle παρα με ορισμο παραγωγου (οπου δεν ξερουμε αν ειναι παραγωγισιμη) προκυπτει. Σας ευχαριστω κυριε καθηγητα για να μην παιδευομαι αδικα:thanks:

kostas tifkitsis · 07-05-09

εκανα θμτ στο α,γ και υστερα στο γ,α και αυτα τα φ τονος που βρηκα τα πολλαπλασιασα και ειναι αρνητικα ρα με θβ υπαρχει ξ τετοιο ωστε φ τονος του ξ =0

Civilara · 08-05-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
μηπως παραθετει καποια αλλα στοιχεια πιο πανω που να σε βοηθαει?
-----------------------------------------
επισης ήθελα να ρωτησω για ένα ακομα ολοκληρωμα. ολοκληρωμα απο 0 εως 1 του ολοκληρωματος απο 0 εως χ της 1/ριζα 1+t^2 dt

S(a/SQRT(1+(x^2)))dx=ln|x+SQRT(1+(x^2))|+C

όπου S το αόριστο ολοκλήρωμα

Civilara · 08-05-09

Αρχική Δημοσίευση από patmurphy:
2x*g'(x)=x^2+1, Dg=R-{0} g παραγωγισιμη
α-Να βρεθει η g
β-Να προσδιορισετε το συνολο τιμων
γ-Να δειξετε οτι η g(x)=0 εχει δυο ακριβως ριζες

Βασικα δυσκολευομαι να βρω την g τα αλλα μπορω να τα κανω

x>0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)lnx+c1
x<0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)ln(-x)+c2

Γενικά ισχύει c1 διάφορο c2

mostel · 08-05-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
x>0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)lnx+c1
x<0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)ln(-x)+c2

Γενικά ισχύει c1 διάφορο c2

Ωραίος!

Σχόλιο:

Και η πάνω λύση με απόλυτο μέσα στο ln και μια τυχαία σταθερά, είναι σωστή..!

Στέλιος

bobiras11 · 08-05-09

Αρχική Δημοσίευση από kostas tifkitsis:
εκανα θμτ στο α,γ και υστερα στο γ,α και αυτα τα φ τονος που βρηκα τα πολλαπλασιασα και ειναι αρνητικα ρα με θβ υπαρχει ξ τετοιο ωστε φ τονος του ξ =0

Δεν μπορείς να κάνεις ΘΜΤ σε επικαλυπτόμενα διαστήματα. Τα χι, χ2 που βρήκες μπορεί να ταυτίζονται. Η άσκηση είναι λίγο ελλιπής.

dafne_mm24 · 08-05-09

Αρχική Δημοσίευση από tsekuras:
ΜΠΡΑΒΟ GOOD WORK η σκέψη σου θα βοηθήσει πολλούς υποψήφιους!!

Αυτό για το οποίο δεν είμαι σίγουρη είναι αν μπορώ να υποστηρίξω πως οι 2 εφαπτόμενες είναι συμμετρικές χωρίς να το αποδείξω. Αλλά πιστεύω ότι είναι επαρκής η τεκμηρίωση. Τί λες?

Inferno29278 · 08-05-09

Αρχική Δημοσίευση από lostG:
Δηλαδή στο θεώρημα ας πούμε του Rolle που απαιτεί η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) εσύ αυτό πώς το καταλαβαίνεις?
Όχι δεν είναι έτσι όπως το λες.Λέγοντας στα μαθηματικά ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σημαίνει ότι υπάρχει η πρώτη παράγωγος και δεν ξέρουμε άμεσα τι γίνεται με τις ανωτέρων τάξεων παραγώγους.

Είναι πιθανό να κάνω λάθος, αυτό όμως μου το έχει πει μαθηματικός, τον οποίο έχω σε μεγάλη εκτίμηση. Από τη στιγμή που δεν διευκρινίζει αν είναι μια φορά παραγωγίσιμη, είναι άπειρες. Πάντως θα τον ξαναρωτήσω για να είμαι απόλυτα σίγουρος και θα ενημερώσω

fostiras13 · 08-05-09

πρακτικά όλες οι συναρτησεις είναι παραγωγίσιμες εκτός απ' τα εξαιρουμένα σημεία

tsekuras · 08-05-09

H f και η f -1 σε συμμετρικά σημεία M (α,f(α)) και Μ΄(f(α),α) έχουν εφαπτομένες συμμετρικές ως προς την ευθεία (ε): y = x. Σ ή Λ

manos66 · 08-05-09

Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (α , β), τότε
η f παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο ξ που βρίσκεται στο (α , β)
αφού f(α) < f (γ) και f (β) < γ.
Θ. Fermat
f΄(ξ) = 0

apostolis · 08-05-09

Η αποδειξη που λεω δεν ειναι για το αν ειναι (1-1) ,αλλα για τη μονοτονια. Αν δεν ειναι γν.μον. τοτε υπαρχουν χ1,χ2 με x1<x2 E Df (ή x1>x2) τετοια ωστε f(x1)=f(x2).

kvgreco · 08-05-09

Προς τον κ.Τσεκούρα.
Πέιτε μου σας παρακαλώ γιά την άσκηση #5 και τι γνώμη έχετε γιά τη γνωστή πλέον διένεξη της μαθηματικής κοινότητας γιά το που βρίσκονται οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=f-1(x).

marsenis · 08-05-09

Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση?

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[\alpha, \beta] \to \mathbb{R}$ και $x_0$ <α
α) Να δειχθεί ότι εάν μία τουλάχιστον απο τις διερχόμενες απο το σημείο $M(x_0, y_0)$ ευθείες τέμνει τη $C_f$ σε δύο διαφορικά σημεία $N(x_1, f(x_1)), K(x_2, f(x_2))$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\alpha, \beta)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $\rho(\xi, f(\xi))$ να διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ .
β) Να δειχθεί ότι εάν η $C_f$ ανήκει σε ένα απο τα ημιεπίπεδα μιας ευθείας (ε) που διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ και έχει με την (ε) κοινό σημείο $\Delta(\zeta, f(\zeta))$ , τότε η ευθεία (ε) εφάπτεται της $C_f$ στο $\Delta(\zeta, f(\zeta))$ .

Inferno29278 · 08-05-09

Επιβεβαιωμένο. Όταν λέει παραγωγίσιμη και δεν διευκρινίζει πόσες φορές είναι άπειρες. Στις πανελλαδικές μάλιστα μια χρονιά, μερικοί μαθητές έλυσαν έτσι μια άσκηση και την δέχτηκαν σωστή

lostG · 08-05-09

Αρχική Δημοσίευση από Inferno:
Επιβεβαιωμένο. Όταν λέει παραγωγίσιμη και δεν διευκρινίζει πόσες φορές είναι άπειρες. Στις πανελλαδικές μάλιστα μια χρονιά, μερικοί μαθητές έλυσαν έτσι μια άσκηση και την δέχτηκαν σωστή

Δεν απάντησες όμως στο ερώτημα.
Ο Rolle λέει ότι η f πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο (α,β).Σημαίνει γιά σένα ότι υπάρχουν γιά την f οι παράγωγοι κάθε τάξης?Αυτό να ρωτήσεις τον καθηγητή σου και να μη λές τσεκαρισμένο επειδή κάποιος καθηγητής επέμενε ότι έχει δίκιο.

manos66 · 08-05-09

Αρχική Δημοσίευση από marsenis:
Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση?

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[alpha, beta] to mathbb{R}$ και $x_0$ <α
α) Να δειχθεί ότι εάν μία τουλάχιστον απο τις διερχόμενες απο το σημείο $M(x_0, y_0)$ ευθείες τέμνει τη $C_f$ σε δύο διαφορικά σημεία $N(x_1, f(x_1)), K(x_2, f(x_2))$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $xiin(alpha, beta)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $rho(xi, f(xi))$ να διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ .
[/latex].

Θ. Rolle με τη συνάρτηση g, με
$g (x) = \frac{f (x) - y_0}{x - x_0}$
στο $\left[ x_1 , x_2\right]$
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από marsenis:
Μπορείτε να με βοηθήσετε με την παρακάτω άσκηση?

β) Να δειχθεί ότι εάν η $C_f$ ανήκει σε ένα απο τα ημιεπίπεδα μιας ευθείας (ε) που διέρχεται απο το $M(x_0, y_0)$ και έχει με την (ε) κοινό σημείο $Delta(zeta, f(zeta))$ , τότε η ευθεία (ε) εφάπτεται της $C_f$ στο $Delta(zeta, f(zeta))$ .

έστω ε: y - y0 = λ(x - x0) ή y = λx - λx0 + y0
Ας υποθέσουμε ότι η Cf βρίσκεται "κάτω" από την ε
Θεωρώ τη συναρτηση κατακόρυφη απόσταση της ε από τη Cf
h(x) = λx - λx0 + y0 - f(x)
η h γίνεται ελάχιστη (0) όταν x = ζ
Θ. Fermat
h'(ζ) = 0 ή f΄(ζ) = λ
άρα η (ε) είναι η αφαπτομένη της Cf στο Ρ(ζ , f(ζ))

Όμοια αν η Cf βρίσκεται "πάνω" από την ε

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος