Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

[riemann80]

μη μου πειτε οτι θα περιμενουμε 350 χρονια για να τη λυσουμε!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tsekuras]

Ωραία άσκηση συνάδελφe

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

και γω βρηκα μια θαυμασια αποδειξη αλλα δεν προλαβαινω να την συνταξω γιατι θα χασω το τρενο...!

Εξυπνάδες

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tasosatha]

Δίνεται η συναρτηση f συνεχης και παραγωγισιμη στο και ισχυει . Να δειχθει οτι η ευθεια (ε): ψ=2χ-3 εφαπτεται στη γραφικη παρασταση της f στο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[paraskevas]

LostG αξιζει η οχι να το παρουμε.?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

από ενδιάμεσες τιμές.

Μετά ΘΜΤ ολοκλ. λογισμού στο και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.


- Στέλιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[athina09]

Εχω f δυο φορες παραγωγισιμη τετοια ωστε


και ζηταω την αρχικη της f.

Εγω παραγωγησα την (1) ωστε να δημιουργηθει μεσα στην f'(x) h f"(x) και στην συνεχεια την αντικατεστησα στην (2). Αλλα και παλι ειχα f(x)=......f'(x).

Οποιος μπορει ας με βοηθησει...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Βήματα λύσης:

1) Παραγώγιση της πρώτης.

2) Αντικατάσταση της f''(x) από την δεύτερη σε αυτή που παραγώγισες.

3) Αντίκατασταση της f'(x) από την πρώτη ισότητα σε αυτή που παραγώγισες.

Τελικά παίρνουμε:



- Στέλιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[athina09]

ΟΚ.καταλαβα.ευχαριστω πολυ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[apostolis]

Αν ειναι f(x)=f'(x) τοτε απο την εφαρμογη στο σχολικο βιβλιο στις συνεπειες του ΘΜΤ ειναι f(x)=ce^x.:no1:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[variax]

Μια λύση ανεξάρτητη από ανισότητα Jensen! στο συνημμένο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tasosatha]

Μπορει καποιος να βοηθησει?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lostG]

Γιά την πρώτη ανισότητα δεν χρειάζεται καν η χρήση κάποιας "ειδικής" συνάρτησης. Αφού η f είναι αύξουσα άρα f(α)<=f(x) άρα την ίδια σχέση θα έχουν και τα ολοκληρώματα στο [α,β] απ' όπου προκύπτει η αριστερή ανισότητα.
Γιά την άλλη ανισότητα αρκεί να δειχτεί ότι η γραφική παράσταση βρίσκεται κάτωθεν(η πάνω) της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(α,f(α)), Β(β,f(β)).
Ότι δηλαδή γιά κανένα x του διαστήματος η f(x) δεν υπερβαίνει την αντίστοιχη τιμή της γραμμικής συνάρτησης.
Η f '(x) είναι αύξουσα που σημαίνει ότι αποκλείεται η f(x) να είναι κοίλη(Δεν ξέρουμε και αν είναι κυρτή αλλά αυτό δεν έχει σημασία.Σημασία έχει ότι δεν μπορεί να χαρακτηριστεί κοίλη στο διάστημα [α,β] αλλά ούτε και σε κάποιο υποδιάστημά του.)Τότε όμως οποιαδήποτε χορδή άρα καί η ΑΒ θα βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ή στην "τελική" θά πέφτει πάνω.

Δηλαδή f(x)<={[f(β)-f(α)]/(β-α)}x+f(α)-{[f(β)-f(α)]/(β-α)}α
Ολοκληρώνοντας τη σχέση στο [α,β] προκύπτει η ζητούμενη.
Με το LaTex έχουμε μαλώσει αλλά ελπίζω να βγάλετε άκρη.Το κακό είναι ότι χωρίς τη βοήθεια τού LaTex απαιτούνται πολλές παρενθέσεις γιά να γίνει κάτι κατανοητό.Ίσως δεν πείθει καλά η ερμηνεία της απόδειξης της δεύτερης ανίσωσης, αλλά είμαι μανιωδώς υπέρ ενός συνδυασμού αναλυτικής σκέψης και εποπτείας.Λυπάμαι αν σας κουράσει η ανάγνωση.

edit:
Παιδιά ξεχάσαμε να πούμε χρόνια πολλά και καλή σαρακοστή.
Μόλις κατέστρεψα ένα πληκτρολόγιο γιατί χύθηκε πάνω ένα ποτήρι μπύρα!Να λυπηθώ τώρα γιά το πληκτρολόγιο ή γιά τη μπύρα? Δεν βαριέσαι την υγειά μας νάχουμε.Εξ άλλου μύριζαν τα πλήκτρα θαλασσινά!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Standard είναι αυτή η εκφώνηση bro ?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

το f(x_0) ειναι ταυτοχρονα ισο με 2x_0+3 και 2x_0-3.

μηπως υπαρχει καποιπο λαθος στα νουμερα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Periklis]

Σιγουρα δεν ειναι ο αριθμητης με +3 ή η ευθεια ψ=2χ-3 γιατι αλλιως δεν βγαινει

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Φιλιον_Τερας]

εστω μια απο αυτες τις προυποθεσεις,
μετα τι?
απαιτουμε ο αριθμητης να ειναι μηδεν?

αυτο ομως μας δειχνει οτι τεμνεται..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tasosatha]

Η εκφωνηση ετσι ειναι μου την εδωσαν...τι να πω μπορει να ειναι και λαθος.Πάντως σας ευχαριστω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[mostel]

Την αλλάζω λίγο την άσκηση, για να δώσει το ζητούμενο.

Αν f είναι παραγωγισίμη στο R και ισχύει:

, ν.δ.ό. η ευθεία εφάπτεται της f σε τυχαίο σημείο του Π.Ο. της.


- Στέλιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[riemann80]

στελιο μπορεις να το κανεις λιγο πιο αναλυτικα? η λυση που προτεινεις ειναι διαφορετικη απο τις λυσεις των lostg,variax.

επισης θελω να παρατηρησω το εξης: απο τη δευτερη ανισοτητα επεται οτι η μεση τιμη της συναρτησης στο [α,β] ειναι μικροτερη η ιση απο το ημιαθροισμα της μεγιστης και της ελαχιστης τιμης στο [α,β].

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.