Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

ultraviolence · 09-05-15

1)Το οτι μια συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο πως μπορούμε να το αξιοποιήσουμε σε ασκήσεις?
2)Το ίδιο και για το σύνολο τιμών

PiDefiner · 09-05-15

Αρχική Δημοσίευση από ultraviolence:
1)Το οτι μια συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο πως μπορούμε να το αξιοποιήσουμε σε ασκήσεις?
2)Το ίδιο και για το σύνολο τιμών

Θα προσπαθήσω να σου απαντήσω. Φαντάζομαι καταλαβαίνεις πως οι απαντήσεις μου δεν είναι και 100% αξιόπιστες
1) Αν διατηρεί σταθερό πρόσημο και ξέρεις μια τιμή της, προσδιορίζεις το ακριβές της πρόσημο. Αυτό μπορεί να σε βοηθήσει π.χ. για να υπολογίσεις ένα εμβαδό, ή για να πεις ότι δεν υπάρχει ρίζα στο διάστημα που διατηρεί πρόσημο, ή να προσδιορίσεις τη μονοτονία της παράγουσας, ή την κυρτότητα της δεύτερης παράγουσας (υπάρχει τέτοιος όρος;

). Γενικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε οτιδήποτε περιλαμβάνει πρόσημο. Εδώ κάπως μπλέκεται και το αντίστροφο του Bolzano, αν δεν κάνω λάθος; Δεν είμαι σίγουρος, οπότε δεν το αναλύω παραπάνω μη καταλήξω να λέω μπούρδες.
2)Το σύνολο τιμών αξιοποιείται κυρίως για τον προσδιορισμό πλήθους ριζών (αν έχεις δει Γ θέματα πανελληνίων, είναι σχετικά συχνό). Από εκεί και πέρα, το μόνο που θυμάμαι να με ώθησε να χρησιμοποιήσω σύνολο τιμών ήταν για την εύρεση αντίστροφης, ώστε να ξέρω το π.ο. της. Δεν μου έρχεται κάποια άλλη χρήση τώρα.

ultraviolence · 09-05-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Θα προσπαθήσω να σου απαντήσω. Φαντάζομαι καταλαβαίνεις πως οι απαντήσεις μου δεν είναι και 100% αξιόπιστες
1) Αν διατηρεί σταθερό πρόσημο και ξέρεις μια τιμή της, προσδιορίζεις το ακριβές της πρόσημο. Αυτό μπορεί να σε βοηθήσει π.χ. για να υπολογίσεις ένα εμβαδό, ή για να πεις ότι δεν υπάρχει ρίζα στο διάστημα που διατηρεί πρόσημο, ή να προσδιορίσεις τη μονοτονία της παράγουσας, ή την κυρτότητα της δεύτερης παράγουσας (υπάρχει τέτοιος όρος; ). Γενικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε οτιδήποτε περιλαμβάνει πρόσημο. Εδώ κάπως μπλέκεται και το αντίστροφο του Bolzano, αν δεν κάνω λάθος; Δεν είμαι σίγουρος, οπότε δεν το αναλύω παραπάνω μη καταλήξω να λέω μπούρδες.
2)Το σύνολο τιμών αξιοποιείται κυρίως για τον προσδιορισμό πλήθους ριζών (αν έχεις δει Γ θέματα πανελληνίων, είναι σχετικά συχνό). Από εκεί και πέρα, το μόνο που θυμάμαι να με ώθησε να χρησιμοποιήσω σύνολο τιμών ήταν για την εύρεση αντίστροφης, ώστε να ξέρω το π.ο. της. Δεν μου έρχεται κάποια άλλη χρήση τώρα.

Ώστε ετσι η διατήρηση προσημου.. :hmm:

Για το σύνολο τιμών και γω αυτό κάνω,το χρησιμοποιω δηλαδή για να βρω το πεδίο ορισμού της αντιστροφής.
Σε υπερευχαριστω

Guest 856924 · 10-05-15

ηθελα μια διευκρινση για το πληθος ριζων πως το βρισκουμε

PiDefiner · 10-05-15

Αρχική Δημοσίευση από arnold:
ηθελα μια διευκρινση για το πληθος ριζων πως το βρισκουμε

Εξαρτάται από τα στοιχεία της άσκησης. Συνήθως το σύνολο τιμών είναι ο καλύτερος τρόπος (αφού πρώτα έχεις βρει τη μονοτονία). Από εκεί και πέρα μπορεί να αποδείξεις ότι είναι μοναδική με Bolzano και μονοτονία ή με Rolle και μονοτονία ή με προφανή και μονοτονία. Επίσης, στο Rolle παίζει πολύ το "έστω ότι έχει τρεις->παίρνω Rolle->άτοπο->άρα έχει το πολύ δύο" κλπ.

DumeNuke · 10-05-15

Αρχική Δημοσίευση από arnold:
ηθελα μια διευκρινση για το πληθος ριζων πως το βρισκουμε

Πρέπει να γνωρίζεις τα βασικά:

Πολυώνυμα n-οστού βαθμού έχουν το πολύ n ρίζες. Δηλαδή, μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει από 0 έως 2 ρίζες. Μια εξίσωση 4ου βαθμού έχει από 0 έως 4 ρίζες κ.ο.κ.

Η λογαριθμική έχει 1 ρίζα. Η εκθετική καμία. Το ημίτονο και το συνημίτονο βρίσκουν ρίζα κάθε φορά που η γωνία τους μεταβάλλεται κατά π (180 μοίρες). Εφαπτομένη, συνεφαπτομένη το ίδιο.

Διαφορετικά, ισχύουν αυτά που είπε ο PiDefiner:
Βρίσκεις πώς μεταβάλλεται η μονοτονία της συνάρτησης. Σε κάθε διάστημα που διατηρεί μονοτονία, έχει καμία ή μία ρίζα. Άρα, αν κατά διαστήματα, η μονοτονία της συνάρτησης αλλάζει 4 φορές πρόσημο (+-+-), τότε έχει το πολύ 4 ρίζες. Μπορεί και λιγότερες, αλλά όχι περισσότερες.

Προσοχή:
Σε περίπτωση μη συνεχούς συνάρτησης, πχ κλαδωτής, σε σημεία ασυνέχειας:
(0,3)U(3,6)U(6,10)U(10,15)
με πρόσημα παραγώγων (+-++)
πάλι μπορεί να έχουμε το πολύ 4 ρίζες. Παρόλο που στο 3ο και 4ο διάστημα είναι γνησίως αύξουσα, και άμα βρεις ρίζα στο 3ο διάστημα το λογικό είναι να μην έχεις ρίζα στο 4ο, κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Η συνάρτηση από το 3ο στο 4ο διάστημα δεν είναι συνεχής. Άμα ήταν συνεχής, ναι, θα είχαμε το πολύ 3 ρίζες.

Γενικά, σπας τη συνάρτηση σε διαστήματα που είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και διατηρεί πρόσημο η παράγωγος. Αφού τη χωρίσεις σε διαστήματα, κοιτάς σε έκαστο διάστημα αν υπάρχει ρίζα. Στο τέλος μετράς τις ρίζες που βρήκες και βγάζεις το πλήθος τους.

PiDefiner · 12-05-15

Ξανακάνω επανάληψη τη θεωρία, και ήθελα να ρωτήσω σχετικά με την πιστότητα στο βιβλίο. Όπως και με τα άλλα μαθήματα, έχω την τάση να αλλάζω λίγες λεπτομέρειες των ορισμών. Πριν μου πείτε ότι είναι ορισμοί και πρέπει να είναι όπως στο βιβλίο, αφήστε με να δώσω μερικά παραδείγματα:
1. Πότε δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες;
Δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες όταν:
-Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α.
-Ισχύει f(x)=g(x) για κάθε x στο Α.
Τι θα έγραφα εγώ:
Δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες όταν:
-Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού.
-Ισχύει f(x)=g(x) για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού τους
2. Στον ορισμό την μονοτονίας, άλλαξα το "οποιοδήποτε x1,x2" με "κάθε x1,x2".
3. Στο ορισμό των ακροτάτων το βιβλίο αρχίζει λέγοντας:
"Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:"
Εγώ άρχισα λέγοντας "Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Αυτή θα λέμε ότι:"

Αυτές είναι οι λεπτομέρειες που δεν μπορώ να μάθω. Ξέρω ότι θα μου πείτε πως εφόσον δεν είναι όπως στο βιβλίο δίνω βάση για να μου κόψουν μονάδες, αλλά δεν πιστεύω πως δεν μπορώ να τα μάθω καλύτερα. Πόσες είναι οι πιθανότητες να χάσω όλο τον ορισμό αν το γράψω κάπως έτσι;

kleop · 12-05-15

Αφου τα λες σωστα και με τα δικα σου λογια,γιατι να σου κοψουν;Το θεμα ειναι να βγαζουν νοημα αυτα που γραφεις.Και γω θυμαμαι δεν τα ειχα γραψει πιστα και δεν μου εκοψαν τιποτα.Σιγα μην παρεξηγηθουν αν δεν πεις οτι το πεδιο ορισμου ειναι το Α..

PiDefiner · 12-05-15

Αρχική Δημοσίευση από kleop:
Αφου τα λες σωστα και με τα δικα σου λογια,γιατι να σου κοψουν;Το θεμα ειναι να βγαζουν νοημα αυτα που γραφεις.Και γω θυμαμαι δεν τα ειχα γραψει πιστα και δεν μου εκοψαν τιποτα.Σιγα μην παρεξηγηθουν αν δεν πεις οτι το πεδιο ορισμου ειναι το Α..

Δεν ξέρω γιατί να μου κόψουν, γιατί δεν ξέρω πως βαθμολογούν.

Το μόνο που ξέρω από αυτά που μας λένε οι καθηγητές όλη τη χρονιά είναι ότι στο Α θέμα, αν έχεις γράψει μισή απόδειξη ή μισό ορισμό τα χάνεις όλα, δεν παίρνεις "μερικά".

Edit: Αυτό το "με δικά σου λόγια" που λες, το βλέπουν μερικοί - καθηγητές και μαθητές- και αφρίζουν :whistle:

Vold · 12-05-15

Έτσι κι αλλιώς οι διαφοροποιήσεις που έκανες είναι απλές οπότε δεν βρίσκω κιόλας τον λόγο να τις κάνεις.
Άσε που απ' ότι πρόσεξα στο πρώτο με τον τρόπο σου γράφεις περισσότερα

3-4 γραμμές είναι η διατύπωση ενός ορισμού/θεωρήματος, γτ να μπαίνετε σε αυτή τη διαδικασία ;

PiDefiner · 12-05-15

Αρχική Δημοσίευση από Νίκος Συμιδαλάς:
Έτσι κι αλλιώς οι διαφοροποιήσεις που έκανες είναι απλές οπότε δεν βρίσκω κιόλας τον λόγο να τις κάνεις.
Άσε που απ' ότι πρόσεξα στο πρώτο με τον τρόπο σου γράφεις περισσότερα
3-4 γραμμές είναι η διατύπωση ενός ορισμού/θεωρήματος, γτ να μπαίνετε σε αυτή τη διαδικασία ;

Δεν κατάλαβες.

Δεν το κάνω επίτηδες, απλά το αλλάζω χωρίς να το καταλαβαίνω. Τώρα προφανώς και θα θυμάμαι τα λάθη σε αυτά τα 3 παραδείγματα που ανέφερα, αλλά δεν εκείνη την ώρα δεν αποκλείεται πάλι να αλλάξω τίποτα τέτοιο. Δεν είναι ότι δεν τα ξέρω ή ότι το αλλάζω για να ταιριάζει περισσότερο με το δικό μου λόγο.
Νομίζω πως ο εγκέφαλός μου δεν με συμπαθεί. :redface:

ultraviolence · 12-05-15

Αν πιάνουν και από αυτά λάθη τι να πω..Δε ξέρω με τι συνείδηση πέφτουν για ύπνο

Είναι πρακτικά αδύνατο να θυμάσαι τα πάντα αυτολεξεί..εχουμε και τα θεωρητικά μαθήματα

blackorgrey · 12-05-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
1. Πότε δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες;
Δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες όταν:
-Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α.
-Ισχύει f(x)=g(x) για κάθε x στο Α.
Τι θα έγραφα εγώ:
Δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες όταν:
-Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού.
-Ισχύει f(x)=g(x) για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού τους
2. Στον ορισμό την μονοτονίας, άλλαξα το "οποιοδήποτε x1,x2" με "κάθε x1,x2".
3. Στο ορισμό των ακροτάτων το βιβλίο αρχίζει λέγοντας:
"Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:"
Εγώ άρχισα λέγοντας "Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Αυτή θα λέμε ότι:"

Αυτές είναι οι λεπτομέρειες που δεν μπορώ να μάθω. Ξέρω ότι θα μου πείτε πως εφόσον δεν είναι όπως στο βιβλίο δίνω βάση για να μου κόψουν μονάδες, αλλά δεν πιστεύω πως δεν μπορώ να τα μάθω καλύτερα. Πόσες είναι οι πιθανότητες να χάσω όλο τον ορισμό αν το γράψω κάπως έτσι;

Καλά με τα παραδείγματα που γράφεις δεν νομίζω να υπάρχει περίπτωση να χάσεις ούτε ένα μόριο,γιατί ουσιαστικά λες το ίδιο ακριβώς πράγμα δεν αλλάζεις κάτι ουσιαστικό που να αποτελεί λάθος.Τώρα εντάξει αν τύχει και πέσεις σε καμιά περίπτωση τρελού υπάρχει η πιθανότητα 1 στο εκατομμύριο να χάσεις 1 μόριο αλλά ως εκεί

PiDefiner · 12-05-15

Αρχική Δημοσίευση από blackorgrey:
Καλά με τα παραδείγματα που γράφεις δεν νομίζω να υπάρχει περίπτωση να χάσεις ούτε ένα μόριο,γιατί ουσιαστικά λες το ίδιο ακριβώς πράγμα δεν αλλάζεις κάτι ουσιαστικό που να αποτελεί λάθος.Τώρα εντάξει αν τύχει και πέσεις σε καμιά περίπτωση τρελού υπάρχει η πιθανότητα 1 στο εκατομμύριο να χάσεις 1 μόριο αλλά ως εκεί

Οκ, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις!

Πάντως εγώ νόμιζα πως για ορισμό και απόδειξη είτε τα πιάνεις όλα, είτε τίποτα

PiDefiner · 13-05-15

Υπάρχει κάποιο site να διαβάσω ασκήσεις και μεθοδολογίες για τον ρυθμό μεταβολής; Οι μόνες ασκήσεις που έχω κάνει είναι μερικά προβλήματα από το σχολείο, που δεν τα έχω καταλάβει και πολύ.

Achilleas1997 · 13-05-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Υπάρχει κάποιο site να διαβάσω ασκήσεις και μεθοδολογίες για τον ρυθμό μεταβολής; Οι μόνες ασκήσεις που έχω κάνει είναι μερικά προβλήματα από το σχολείο, που δεν τα έχω καταλάβει και πολύ.

Ειχα ψαξει αρκετα παλιοτερα και δεν βρηκα κατι ικανοποιητικο (τυπου για να βρω το ρυθμο μεταβολης γωνιας κανω αυτο κτλ). Στο σχολειο καναμε τον ρυθμο μεταβολης κανονικα, στο φροντιστηριο με κανονα της αλυσιδας και τελικα δεν ξερω κανεναν απο τους δυο τροπους...

PiDefiner · 13-05-15

Αρχική Δημοσίευση από Achilleas1997:
Ειχα ψαξει αρκετα παλιοτερα και δεν βρηκα κατι ικανοποιητικο (τυπου για να βρω το ρυθμο μεταβολης γωνιας κανω αυτο κτλ). Στο σχολειο καναμε τον ρυθμο μεταβολης κανονικα, στο φροντιστηριο με κανονα της αλυσιδας και τελικα δεν ξερω κανεναν απο τους δυο τροπους...

Εμείς στο φροντιστήριο δεν κάναμε τίποτα. Όπως και από χάραξη

Για τον κανόνα της αλυσίδας μόλις πριν λίγο διάβασμα στο βιβλίο. Αλλά δεν θα έλεγα ότι κατάλαβα τι είναι...

eyb0ss · 13-05-15

Αρχική Δημοσίευση από PiDefiner:
Εμείς στο φροντιστήριο δεν κάναμε τίποτα. Όπως και από χάραξη
Για τον κανόνα της αλυσίδας μόλις πριν λίγο διάβασμα στο βιβλίο. Αλλά δεν θα έλεγα ότι κατάλαβα τι είναι...

Δεν έχω δει ποτέ τον κανόνα αλυσίδας σε εξετάσεις, δεν είναι και πολύ δύσκολη έννοια και βοηθάει σε σύνθετη παραγώγιση.
Πχ Ξέρεις ότι $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$ , αυτό σε συμβολισμό του Leibniz γράφεται ως $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ όπου $y=f(x)$ και $u=g(x)$ . Προφανώς είναι $\frac{du}{dx}=g'(x)$ (Συμςβολισμοί Leibniz και Lagrange αντίστοιχα).
Δεν θα ανησυχούσα για αυτό, η μόνη φορά που εμφανίζεται στην αντικατάσταση στα ολοκληρώματα όπου μπορείς να το εφαρμόσεις και χωρίς να ξέρεις τι είναι.
Όταν έχεις ένα ολοκλήρωμα της μορφής $\int_a^bf(g(x))g'(x)dx$ αντικαθιστάς $u=g(x)$ και κατά συνέπεια θα είναι $\frac{du}{dx}=g'(x) \Rightarrow du=g'(x)dx$ και το ολοκλήρωμα γίνεται $\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$ , έτσι προκύπτει η μέθοδος της αντικατάστασης, αλλά κανείς δεν θα σου πει ότι είναι λάθος να πας κατευθείαν στο $du=g'(x)dx$ όπως άλλωστε σας διδάσκουν.
Βέβαια, όταν το κάνεις αυτό συμπεριφέρεσαι στο $\frac{du}{dx}$ ως ένα απλό κλάσμα το οποίο δεν ισχύει πάντοτε, είναι λίγο περίπλοκο και δεν προσφέρει κάτι για τις πανελλαδικές, οπότε ξέχνα το.
Πρόταση μου: Μάθε το απ'έξω για να είσαι καλυμμένος στη θεωρία, δεν πρόκειται να σου χρησιμεύσει στα Β,Γ,Δ θέματα.

PiDefiner · 13 Μαΐου 2015

Ευχαριστώ, mathguy. Θα το διαβάσω αναλυτικά όταν έχω χρόνο.
Ασκήσεις με περιοδικές συναρτήσεις έχετε κάνει; Είναι τραβηγμένο να μπουν;
Γενικά τώρα που κάνω επανάληψη τις ασκήσεις του σχολείου, βλέπω ότι μας έκανε ασκήσεις που δεν μπαίνουν (κυρίως συναρτησιακές που θέλουν κολπάκια για να βγουν και θεωρητικές) - τουλάχιστον δεν έχω εντοπίσει κάποιες στα θέματα 2009-2014 που έχω λύσει.

Vold · 13-05-15

Είναι αρκετά τραβηγμένο αλλά καλό είναι να τους ρίξεις μια ματιά ώστε να καταλάβεις την διαδικασία πάνω κάτω...

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Guest 856924

Επισκέπτης

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος