1)εστω συναρτηση
=\sqrt{x-1})
και ενα σημειο της cf
αν Α ειναι το σημειο στο οποιο η cf τεμνει τον αξονα x'x και Β(3,0) να βρειτε το ρυθμο μεταβολης του εμβαδου του τριγονου ΜΑΒ ως προς x οταν x=2
Η συνάρτηση f με τύπο f(x)=SQRT(x-1) έχει πεδίο ορισμού το Df=[1,+oo).
Για να βρούμε σε ποια σημεία η Cf τέμνει τον άξονα x, λύνουμε την εξίσωση f(x)=0. Έχουμε:
f(x)=0 <=> SQRT(x-1)=0 <=> x-1=0 <=> x=1
Άρα η Cf τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Α(1,0). Το σημείο M(x,f(x)) είναι τυχαίο σημείο της Cf.
Θεωρούμε τα διανύσματα
ΑΒ=(3-1,0-0)=(2,0)
ΑΜ=(x-1,f(x)-0)=(x-1,f(x))=(x-1,SQRT(x-1))
Υπολογίζουμε την ορίζουσα των διανυσμάτων ΑΒ, ΑΜ:
det(ΑΒ,ΑΜ)=2*SQRT(x-1)-(x-1)*0=2SQRT(x-1)
Το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι συνάρτηση του x και προσδιορίζεται στη συνέχεια:
E(x)=(1/2)*|det(AB,AM)|=(1/2)*|2SQRT(x-1)| => E(x)=SQRT(x-1)=f(x) (τετραγωνικές μονάδες μήκους), x>=1
Η συνάρτηση Ε είναι συνεχής στο [1,+οο) και παραγωγίσιμη στο (1+οο) με πρώτη παράγωγο:
E΄(x)=1/(2SQRT(x-1)), x>1 (μονάδες μήκους)
Για x=2 προκύπτει
E΄(2)=1/2 μονάδες μήκους
2)δινονται τα σημεια Α(0,χ+1) και Β
)
με x>0
να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης ΑΒ και το υεμβαδον του τριγονου ΟΑΒ ως προς x οταν x=1
Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι συνάρτηση του x και υπολογίζεται παρακάτω:
d(x)=SQRT(((SQRT(x)-0)^2)+((0-(x+1))^2)) => d(x)=SQRT(x+((x+1)^2)) => d(x)=SQRT((x^2)+3x+1), x>0 (μονάδες μήκους)
Αν Ο(0,0) η αρχή των αξόνων, θεωρούμε τα διανύσματα
ΟΑ=(0,x+1)
ΟΒ=(SQRT(x),0)
Έχουμε
det(OA,OB)=0*0-(x+1)SQRT(x)=-(x+1)SQRT(x)
Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι συνάρτηση του x και υπολογίζεται παρακάτω:
E(x)=(1/2)*|det(OA,OB)|=(1/2)*|-(x+1)SQRT(x)| => E(x)=(1/2)*(x+1)SQRT(x), x>0 (τετραγωνικές μονάδες μήκους)
Οι συναρτήσεις d και E είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο (0,+οο) με πρώτες παραγώγους:
d΄(x)=(2x+3)/(2SQRT((x^2)+3x+1)), x>0 (αδιάστατη ποσότητα)
E΄(x)=(3x+1)/(4SQRT(x)), x>0 (μονάδες μήκους)
Για x=1 έχουμε
d΄(1)=SQRT(5)/2
E΄(1)=1 μονάδα μήκους
3) για τη συναρτηση f που οριζεται στο R ισχυουν
i)ειναι παραγωγισιμη
ιι)η γραφικη παρασταση τεμνει τον αξονα y'y στο 2
ιιι) η εφαπτομενη της cf στο παραπανω σημειο ειναι παραλληλη στον αξονα x'x
να βρειτε την εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης g(x)=x-f(lnx) στο Μ(1,g(1))
Η Cf τέμνει τον y΄y στο Α(0,2) => f(0)=2
Η εφαπτομένη της Cf στο Α είναι παράλληλη στον άξονα x΄x => f΄(0)=0
Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο:
g΄(x)=1-(f΄(lnx)/x), x>0
Για x=1 έχουμε:
g(1)=1-f(ln1)=1-f(0)=1-2=-1
g΄(1)=1-(f΄(ln1)/1)=1-f΄(0)=1-0=1
Εφαπτομένη της Cg στο Μ(1,g(1))
y-g(1)=g΄(1)(x-1) <=> y=g΄(1)x+g(1)-g΄(1) <=> y=x-2