Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

JKaradakov · 02-01-13

Για της δικές μου τπτ;

Frwws · 02-01-13

Για την πρώτη σου άσκηση:
Βάζουμε στη δοθείσα σχέση όπου χ=ο και γίνεται:
|z-1|f(O) + |iz-1|f(1)=|z - i| + |iz-1| (1)
και ύστερα βάζουμε όπου χ=1 και γίνεται:
|z-1|f(1) + |iz-1|f(ο)=|z - i| + |iz-1| (2)

Από 1,2 |z-1|f(O) + |iz-1|f(1)=|z-1|f(1) + |iz-1|f(ο)
|z-1|f(O) - |z-1|f(1) = |iz-1|f(ο) - |iz-1|f(1
(f(O) - f(1))|z - 1| = |iz-1|(f(O) - f(1))
f 1-1 άρα f(O) διάφορο του f(1)
άρα |z - 1| = |iz-1|

και στη 2η άσκηση νομίζω ότι αφού |z|=1 <=> α^2 + β^2 =1
χρησιμοποιείς αυτη τη σχέση και αντικαθιστάς

Frwws · 02-01-13

και στην 3η άσκηση δεν κατάλαβα το |z| είναι το |z|min ?

Vicky13 · 02-01-13

Να αποδείξετε οτι η συνάρτησή f(x)=ln(2x^3+ρίζα x^2+1) -x έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο [0,+άπειρο)

JKaradakov · 02-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Frwws:
Για την πρώτη σου άσκηση:
Βάζουμε στη δοθείσα σχέση όπου χ=ο και γίνεται:
|z-1|f(O) + |iz-1|f(1)=|z - i| + |iz-1| (1)
και ύστερα βάζουμε όπου χ=1 και γίνεται:
|z-1|f(1) + |iz-1|f(ο)=|z - i| + |iz-1| (2)

Από 1,2 |z-1|f(O) + |iz-1|f(1)=|z-1|f(1) + |iz-1|f(ο)
|z-1|f(O) - |z-1|f(1) = |iz-1|f(ο) - |iz-1|f(1
(f(O) - f(1))|z - 1| = |iz-1|(f(O) - f(1))
f 1-1 άρα f(O) διάφορο του f(1)
άρα |z - 1| = |iz-1|

και στη 2η άσκηση νομίζω ότι αφού |z|=1 <=> α^2 + β^2 =1
χρησιμοποιείς αυτη τη σχέση και αντικαθιστάς

Ευχαριστώ για την πρώτη αλλά στην δεύτερη αυτό κάνω αλλά δεν μπορώ να βρω κάποια σχέση μεταξύ του x και του α έτσι ώστε να μέινει μόνο το α. :hmm:

Αρχική Δημοσίευση από Frwws:
και στην 3η άσκηση δεν κατάλαβα το |z| είναι το |z|min ?

Όχι είναι |z|. :whistle:

Aris90 · 02-01-13

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Τέμνονται στο Α(χο,yo) και f(xo)=g(xo) ==> f(xo)=f(xo).ημ(αxo) ==> ημ(αxo)=1 αφού f(xo)<>0 Τότε συν(αχο)=0
Επίσης g'(x)=f'(x)ημ(αχ)+α.f(x).συν(αχ) και στο σημείο Α(χo,yo) έχω g'(xο)=f'(xο)ημ(αχο)+α.f(xο).συν(αχο) ==>g'(xο)=f'(xο).1+α.f(xο).0==>
g'(xο)=f'(xο) Άρα έχουν τον ίδιο συντελεστή κατεύθυνσης στο Α(χο,yo) και επειδή διέρχονται από το Α, ταυτίζονται.

δεν ειμαι σιγουρος οτι καταλαβα τι ακριβως εκανες μπορεις να μου το εξηγησεις λιγο πιο αναλυτικα :redface:

vimaproto · 02-01-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Για πείτε καμία ιδέα για τα παρακάτω:

2. Δίνεται ο μιγαδικός $z=\alpha +\beta i$ , $(\alpha ,\beta \in R)$ με $|z|=1$ και η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(x)=|2x+z|+|x+z|$
α) να γραφεί ο τύπος της f ως συνάρτηση του α

${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}=1\\f(x)=|2x+z|+|x+z| \Rightarrow f(\alpha )=|2\alpha +z|+|\alpha +z|\\f(\alpha )=|2\alpha +\alpha +bi|+|\alpha +\alpha +\beta i|=|\3\alpha +\beta i|+|2\alpha +\beta i|=\\=\sqrt{{\left( 3\alpha\right) }^{2}+{{\beta }^{2}}}+\sqrt{{\left(2\alpha \right)}^{2}+{\beta }^{2}}=\sqrt{9{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}+\sqrt{4{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}=\\=\sqrt{8{\alpha }^{2}+1}+\sqrt{3{\alpha }^{2}+1}<br />$

sokratis lyras · 03-01-13

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:

Για πείτε καμία ιδέα για τα παρακάτω:

2. Δίνεται ο μιγαδικός $z=\alpha +\beta i$ , $(\alpha ,\beta \in R)$ με $|z|=1$ και η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(x)=|2x+z|+|x+z|$
α) να γραφεί ο τύπος της f ως συνάρτηση του α

${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}=1\\f(x)=|2x+z|+|x+z| \Rightarrow f(\alpha )=|2\alpha +z|+|\alpha +z|\\f(\alpha )=|2\alpha +\alpha +bi|+|\alpha +\alpha +\beta i|=|\3\alpha +\beta i|+|2\alpha +\beta i|=\\=\sqrt{{\left( 3\alpha\right) }^{2}+{{\beta }^{2}}}+\sqrt{{\left(2\alpha \right)}^{2}+{\beta }^{2}}=\sqrt{9{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}+\sqrt{4{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}=\\=\sqrt{8{\alpha }^{2}+1}+\sqrt{3{\alpha }^{2}+1}<br />$

Click για ανάπτυξη...

Η άσκηση δεν ζητάει το παραπάνω.Η άσκηση είναι απλή
$f(x)=/displaystyle/sqrt{(2x+a)^2+b^2}+/sqrt{(x+a)^2+b^2}$ .Αντικαθιστούμε το b και τέλος.

sokratis lyras · 03-01-13

Αρχική Δημοσίευση από vimaproto:
Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:

Για πείτε καμία ιδέα για τα παρακάτω:

2. Δίνεται ο μιγαδικός $z=\alpha +\beta i$ , $(\alpha ,\beta \in R)$ με $|z|=1$ και η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(x)=|2x+z|+|x+z|$
α) να γραφεί ο τύπος της f ως συνάρτηση του α

${\alpha }^{2}+{\beta }^{2}=1\\f(x)=|2x+z|+|x+z| \Rightarrow f(\alpha )=|2\alpha +z|+|\alpha +z|\\f(\alpha )=|2\alpha +\alpha +bi|+|\alpha +\alpha +\beta i|=|\3\alpha +\beta i|+|2\alpha +\beta i|=\\=\sqrt{{\left( 3\alpha\right) }^{2}+{{\beta }^{2}}}+\sqrt{{\left(2\alpha \right)}^{2}+{\beta }^{2}}=\sqrt{9{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}+\sqrt{4{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}}=\\=\sqrt{8{\alpha }^{2}+1}+\sqrt{3{\alpha }^{2}+1}<br />$

Click για ανάπτυξη...

Η άσκηση δεν ζητάει το παραπάνω.Η άσκηση είναι απλή
$f(x)=\displaystyle\sqrt{(2x+a)^2+b^2}+\sqrt{(x+a)^2+b^2}$ .Αντικαθιστούμε το b και τέλος.

Aris90 · 03-01-13

ειναι τα πρωτα προβλημα που λυνω και δεν εχω ιδεα τι πρεπει να κανω

1)εστω συναρτηση $f(x)=\sqrt{x-1}$ και ενα σημειο της cf
αν Α ειναι το σημειο στο οποιο η cf τεμνει τον αξονα x'x και Β(3,0) να βρειτε το ρυθμο μεταβολης του εμβαδου του τριγονου ΜΑΒ ως προς x οταν x=2

2)δινονται τα σημεια Α(0,χ+1) και Β $(\sqrt{x},0)$ με x>0
να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης ΑΒ και το υεμβαδον του τριγονου ΟΑΒ ως προς x οταν x=1

3) για τη συναρτηση f που οριζεται στο R ισχυουν
i)ειναι παραγωγισιμη
ιι)η γραφικη παρασταση τεμνει τον αξονα y'y στο 2
ιιι) η εφαπτομενη της cf στο παραπανω σημειο ειναι παραλληλη στον αξονα x'x

να βρειτε την εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης g(x)=x-f(lnx) στο Μ(1,g(1))

για της συο πρωτες δεν εχω ιδεα τι πρεπει να κανω

για την τριτη πιστευω με ενα καλο tip θα καταφερω
να τη λυσω γιατι δεν πρεπει να ειναι τοσο δυσκολη
ευχαριστω εκ των προτερων

JKaradakov · 03-01-13

Αρχική Δημοσίευση από sokratis lyras:
Η άσκηση δεν ζητάει το παραπάνω.Η άσκηση είναι απλή
$f(x)=\displaystyle\sqrt{(2x+a)^2+b^2}+\sqrt{(x+a)^2+b^2}$ .Αντικαθιστούμε το b και τέλος.

Αφού ζητάει τον τύπο της f σε συναρτηση με το α. Εσύ το έχει σε συνάρτηση του x με ένα παράγοντα α. :hmm:

Aris90 · 03-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
ειναι τα πρωτα προβλημα που λυνω και δεν εχω ιδεα τι πρεπει να κανω

1)εστω συναρτηση $f(x)=\sqrt{x-1}$ και ενα σημειο της cf
αν Α ειναι το σημειο στο οποιο η cf τεμνει τον αξονα x'x και Β(3,0) να βρειτε το ρυθμο μεταβολης του εμβαδου του τριγονου ΜΑΒ ως προς x οταν x=2

2)δινονται τα σημεια Α(0,χ+1) και Β $(\sqrt{x},0)$ με x>0
να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης ΑΒ και το υεμβαδον του τριγονου ΟΑΒ ως προς x οταν x=1

3) για τη συναρτηση f που οριζεται στο R ισχυουν
i)ειναι παραγωγισιμη
ιι)η γραφικη παρασταση τεμνει τον αξονα y'y στο 2
ιιι) η εφαπτομενη της cf στο παραπανω σημειο ειναι παραλληλη στον αξονα x'x

να βρειτε την εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης g(x)=x-f(lnx) στο Μ(1,g(1))

για της συο πρωτες δεν εχω ιδεα τι πρεπει να κανω
για την τριτη πιστευω με ενα καλο tip θα καταφερω
να τη λυσω γιατι δεν πρεπει να ειναι τοσο δυσκολη
ευχαριστω εκ των προτερων

`
ξερει καπιος τι πρρεπει να κανω?

antonisd95 · 03-01-13

@Aris90
Είμαι λίγο τεμπέλης για να γράψω σε latex ή να κάνω πράξεις.
Λοιπόν, στις πρώτες πρέπει να έχεις κατανοήσει την έννοια του ρυθμού μεταβολής.Οι 2 ασκήσεις είναι σχεδόν ίδιες.Οπότε θα σου δώσω κάποια τιπσ για την δεύτερη και την τρίτη.
Για την δεύτερη:
Ξέρεις το Α, ξέρεις το Β, (ως προς χ), ξέρεις και το 0.
Βρες την απόσταση ΑΒ και το εμβαδόν του ΟΑΒ, ως προς χ, και μετά πάρε παράγωγο για χ=1.(αφού πρώτα κατανοήσεις την έννοια της παραγώγου).
Και στην πρώτη κάνεις το ίδιο, βρες τον τύπο του εμβαδού ως προς χ.(εύκολο αφού έχεις τον τύπο της f)
Για την τρίτη:
Πήγαινε να βρεις κανονικά την εφαπτόμενη και όπου κολλήσεις θα σου βγει από τα δεδομένα της άσκησης.
φ(0)=2
Επίσης η εφαπτόμενη της φ στο (0,2) είναι παράλληλη στην χ'χ, άρα φ'(0)=0.
(αυτά θα σου χρειαστούν για να βρεις την εφαπτόμενη.Πήγαινε με τον συνηθισμένο τρόπο: g(x)-g(x0)=g'(x0)(x-xo) όπου χ0 το σημείο που θες.)

sokratis lyras · 03-01-13

Αρχική Δημοσίευση από JKaradakov:
Αφού ζητάει τον τύπο της f σε συναρτηση με το α. Εσύ το έχει σε συνάρτηση του x με ένα παράγοντα α.

Η άσκηση ζητάει να βρούμε την f σε συνάρτηση με το α.Δηλαδή ο τύπος της να περιέχει και το α.Αντικαθιστώντας το b^2 με $1-a^2$ τελειώσαμε.Με άλλα λόγια $f(x)=\displaystyle\sqrt{(2x+a)^2+(a-1)^2}+\sqrt{(x+a)^2+(a-1)^2}$

Just a sweetie!! · 03-01-13

Γεια σας :-) να κάνω μια χαζή μάλλον ερώτηση? Όταν έχουμε [f(x)]^2=x^2 δεν μπορούμε να συμπεράνουμε οτι f(x)=x για κάθε x του πεδίου ορισμού της f, η f(x)=-x αντίστοιχα.. Αν έχουμε [f(x)]^3=x^3 ισχύει η ίδια απαγόρευση? Η μπορούμε να πούμε οτι ο τύπος της f είναι f(x)=x? :-/

Aris90 · 03-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
ειναι τα πρωτα προβλημα που λυνω και δεν εχω ιδεα τι πρεπει να κανω

1)εστω συναρτηση $f(x)=\sqrt{x-1}$ και ενα σημειο της cf
αν Α ειναι το σημειο στο οποιο η cf τεμνει τον αξονα x'x και Β(3,0) να βρειτε το ρυθμο μεταβολης του εμβαδου του τριγονου ΜΑΒ ως προς x οταν x=2

2)δινονται τα σημεια Α(0,χ+1) και Β $(\sqrt{x},0)$ με x>0
να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης ΑΒ και το υεμβαδον του τριγονου ΟΑΒ ως προς x οταν x=1

3) για τη συναρτηση f που οριζεται στο R ισχυουν
i)ειναι παραγωγισιμη
ιι)η γραφικη παρασταση τεμνει τον αξονα y'y στο 2
ιιι) η εφαπτομενη της cf στο παραπανω σημειο ειναι παραλληλη στον αξονα x'x

να βρειτε την εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης g(x)=x-f(lnx) στο Μ(1,g(1))

για της συο πρωτες δεν εχω ιδεα τι πρεπει να κανω
για την τριτη πιστευω με ενα καλο tip θα καταφερω
να τη λυσω γιατι δεν πρεπει να ειναι τοσο δυσκολη
ευχαριστω εκ των προτερων

θα ηθελα αν γινεται τις λυσεις απο τις δυο πρωτες ασκησεις γιατι απο το πρωι παλευω μεχρι τωρα και δεν εχω καταφερει τιποτα.......

Civilara · 03-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
1)εστω συναρτηση $f(x)=\sqrt{x-1}$ και ενα σημειο της cf
αν Α ειναι το σημειο στο οποιο η cf τεμνει τον αξονα x'x και Β(3,0) να βρειτε το ρυθμο μεταβολης του εμβαδου του τριγονου ΜΑΒ ως προς x οταν x=2

Η συνάρτηση f με τύπο f(x)=SQRT(x-1) έχει πεδίο ορισμού το Df=[1,+oo).

Για να βρούμε σε ποια σημεία η Cf τέμνει τον άξονα x, λύνουμε την εξίσωση f(x)=0. Έχουμε:

f(x)=0 <=> SQRT(x-1)=0 <=> x-1=0 <=> x=1

Άρα η Cf τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Α(1,0). Το σημείο M(x,f(x)) είναι τυχαίο σημείο της Cf.

Θεωρούμε τα διανύσματα

ΑΒ=(3-1,0-0)=(2,0)
ΑΜ=(x-1,f(x)-0)=(x-1,f(x))=(x-1,SQRT(x-1))

Υπολογίζουμε την ορίζουσα των διανυσμάτων ΑΒ, ΑΜ:

det(ΑΒ,ΑΜ)=2*SQRT(x-1)-(x-1)*0=2SQRT(x-1)

Το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι συνάρτηση του x και προσδιορίζεται στη συνέχεια:

E(x)=(1/2)*|det(AB,AM)|=(1/2)*|2SQRT(x-1)| => E(x)=SQRT(x-1)=f(x) (τετραγωνικές μονάδες μήκους), x>=1

Η συνάρτηση Ε είναι συνεχής στο [1,+οο) και παραγωγίσιμη στο (1+οο) με πρώτη παράγωγο:

E΄(x)=1/(2SQRT(x-1)), x>1 (μονάδες μήκους)

Για x=2 προκύπτει

E΄(2)=1/2 μονάδες μήκους

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
2)δινονται τα σημεια Α(0,χ+1) και Β $(\sqrt{x},0)$ με x>0
να βρειτε το ρυθμο μεταβολης της αποστασης ΑΒ και το υεμβαδον του τριγονου ΟΑΒ ως προς x οταν x=1

Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι συνάρτηση του x και υπολογίζεται παρακάτω:

d(x)=SQRT(((SQRT(x)-0)^2)+((0-(x+1))^2)) => d(x)=SQRT(x+((x+1)^2)) => d(x)=SQRT((x^2)+3x+1), x>0 (μονάδες μήκους)

Αν Ο(0,0) η αρχή των αξόνων, θεωρούμε τα διανύσματα

ΟΑ=(0,x+1)
ΟΒ=(SQRT(x),0)

Έχουμε

det(OA,OB)=0*0-(x+1)SQRT(x)=-(x+1)SQRT(x)

Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι συνάρτηση του x και υπολογίζεται παρακάτω:

E(x)=(1/2)*|det(OA,OB)|=(1/2)*|-(x+1)SQRT(x)| => E(x)=(1/2)*(x+1)SQRT(x), x>0 (τετραγωνικές μονάδες μήκους)

Οι συναρτήσεις d και E είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο (0,+οο) με πρώτες παραγώγους:

d΄(x)=(2x+3)/(2SQRT((x^2)+3x+1)), x>0 (αδιάστατη ποσότητα)
E΄(x)=(3x+1)/(4SQRT(x)), x>0 (μονάδες μήκους)

Για x=1 έχουμε

d΄(1)=SQRT(5)/2
E΄(1)=1 μονάδα μήκους

Αρχική Δημοσίευση από Aris90:
3) για τη συναρτηση f που οριζεται στο R ισχυουν
i)ειναι παραγωγισιμη
ιι)η γραφικη παρασταση τεμνει τον αξονα y'y στο 2
ιιι) η εφαπτομενη της cf στο παραπανω σημειο ειναι παραλληλη στον αξονα x'x

να βρειτε την εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης g(x)=x-f(lnx) στο Μ(1,g(1))

Η Cf τέμνει τον y΄y στο Α(0,2) => f(0)=2
Η εφαπτομένη της Cf στο Α είναι παράλληλη στον άξονα x΄x => f΄(0)=0

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R τότε η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,+οο) με πρώτη παράγωγο:

g΄(x)=1-(f΄(lnx)/x), x>0

Για x=1 έχουμε:

g(1)=1-f(ln1)=1-f(0)=1-2=-1
g΄(1)=1-(f΄(ln1)/1)=1-f΄(0)=1-0=1

Εφαπτομένη της Cg στο Μ(1,g(1))

y-g(1)=g΄(1)(x-1) <=> y=g΄(1)x+g(1)-g΄(1) <=> y=x-2

baggos12 · 03-01-13

Αρχική Δημοσίευση από Just a sweetie!!:
Γεια σας :-) να κάνω μια χαζή μάλλον ερώτηση? Όταν έχουμε [f(x)]^2=x^2 δεν μπορούμε να συμπεράνουμε οτι f(x)=x για κάθε x του πεδίου ορισμού της f, η f(x)=-x αντίστοιχα.. Αν έχουμε [f(x)]^3=x^3 ισχύει η ίδια απαγόρευση? Η μπορούμε να πούμε οτι ο τύπος της f είναι f(x)=x? :-/

Φυσικά και μπορείς να το πεις. Στην πρώτη περίπτωση, αν πας να λύσεις ως προς f(x) βγάζεις δύο λύσεις (+-) οπότε έχεις θέμα. Στη δεύτερη περίπτωση o σωστός τρόπος γραφής είναι
${f}^{3}(x) = {x}^{3} \Leftrightarrow {f}^{3}(x) - {x}^{3} = 0 \Leftrightarrow (f(x) - x) ({f}^{2}(x) +xf(x)+f(x))=0 \Leftrightarrow f(x) = x$
Μία λύση άρα είσαι good to go.

IasonasM · 03-01-13

Όταν έχουμε [f(x)]^2=x^2 δεν μπορούμε να συμπεράνουμε οτι f(x)=x για κάθε x του πεδίου ορισμού της f, η f(x)=-x αντίστοιχα..

σίγουρα;
η ισοδυναμία "(για κάθε x e A, [f(x)]^2=[g(x)]^2 ) <=> (για κάθε x e A, f(x)=g(x) ) ή (για κάθε x e A, f(x)=-g(x) ) "
δεν είναι λάθος;
(η σωστή δεν είναι "(για κάθε x e A, [f(x)]^2=[g(x)]^2 ) <=> (για κάθε x e A, f(x)=g(x) ή f(x)=-g(x) ) " ; )

ξαροπ · 3 Ιανουαρίου 2013

Νομίζω πως κάπου δεν έχει δίκιο. Πάρε την απεικόνιση της παραβολής $y = x^2$ και την απεικόνιση μιας τυχαίας συνάρτησης f που να την τέμνει σε m σημεία $x_1 <...<x_m$ .

Θεώρησε τότε τη συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το σύνολο { $x_1, ..., x_m }$ } και $g(x) = f(x)$ . Τότε όντως ισχύει ότι για κάθε x στο πεδίο ορισμού της g, $[g(x)]^2 = x^2$ αλλά προφανώς η g δεν είναι αναγκαστικά η $y = x, y = -x$ .

Με κάθε επιφύλαξη πάντα...
Edit άκυρο, τώρα είδα ότι έλεγε "στο πεδίο ορισμού της".
Αλλά γενικά να τα προσέχουμε αυτά τα πράγματα...

Επίσης, οι παραπάνω ισοδυναμίες σου ή είναι ίδιες ή κάτι δεν βλέπω.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος