Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

MADlen · 27-12-09

Ευχαριστώ, πραγματικά ήταν απλό.
Κάτι ακόμα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,2] για την οποία ισχύουν:
f(1)=f(2) - 7/3, f '(1)>4, να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχει τουλ. ένα κ στο (1,2), τέτοιο ώστε $f' (\kappa ) = {\kappa }^{2}$
β) Υπάρχει τουλ. ένα λ στο (1,2), τέτοιο ώστε $f' (\lambda ) = 4{\lambda }$

Το πρώτο βγαίνει με rolle αν θέσουμε $g(x) = f(x)-\frac{1}{3}{x}^{3}$ .
Το δεύτερο θα έβγαινε πολύ ωραία με bolzano αν μας έλεγε ότι η f ' είναι συνεχής, και θέταμε h(x)=f '(x) - 4x. Δε μας το λέει όμως. Πώς βγαίνει λοιπόν;

Και
Δίνεται συνάρτηση f 2 φορές παραγωγίσιμη στο [1,e] με $f(1)=2$ , $f(e)=e+1$ και σύνολο τιμών το [-1,4]
Να αποδείξετε ότι:
α)Υπάρχουν τουλ. δύο τιμές ${x}_{1} , {x}_{2} \epsilon \left(1,e \right)$ με ${x}_{1}\neq {x}_{2}$ ώστε $f'\left({x}_{1} \right)=f'\left({x}_{2} \right)=0$
β)Υπάρχει τουλ. ένα ${x}_{0}\epsilon \left(1,e \right): f''\left({x}_{0} \right)=0$
γ)Υπάρχει τουλ. ένα $\xi \epsilon \left(1,e \right): f\left(\xi \right)\left[f'\left(\xi \right)-4{f}^{4}\left(\xi \right) \right]={x}_{0}\xi$

Θέλω βοήθεια στο γ ερώτημα. Τα δύο πρώτα έχουν βγει.

asap · 27-12-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Την ελυσα τη δευτερη.
Παραγωγισε και τα 2 μελη ως προς χ, και κοιταξε πως μπορεις να κανεις αντικατασταση απο την αρχικη σχεση.
Μετα θεσε ψ=0 και θα βγαλεις μια σχεση οπου θα δεις οτι αρκει να δειξεις f'(0)=f(0) που βγαινει ευκολα.
Η τελικη σου σχεση θα βγει f(x)=f'(x) που απο συνεπειες ΘΜΤ, σου δινει f(x)=ce^x. Ξερεις οτι f(1)=e, αρα e=ce <=> c=1, αρα f(x)=e^x.

Δεν μου βγάινει,εκτος και αν κανω λαθος την παραγωγο,αυτή είναι->
f'(x)f(y)=f'(x+y)

Rania. · 27-12-09

Σωστη ειναι.
Κανε αντικατασταση το f(y) απο την αρχικη σχεση και μετα ακολουθησε τα βηματα που σου δινω.
Επισης την εχει λυσει και στην πισω σελιδα ο Σταυρος, δες τη δικη του λυση αν σε διευκολυνει.

lowbaper92 · 27-12-09

Αρχική Δημοσίευση από MADlen:
Θεωρούμε τη συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [1,2] για την οποία ισχύουν:
f(1)=f(2) - 7/3, f '(1)>4, να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχει τουλ. ένα κ στο (1,2), τέτοιο ώστε $f' (kappa ) = {kappa }^{2}$
β) Υπάρχει τουλ. ένα λ στο (1,2), τέτοιο ώστε $f' (lambda ) = 4{lambda }$

Το πρώτο βγαίνει με rolle αν θέσουμε $g(x) = f(x)-frac{1}{3}{x}^{3}$ .
Το δεύτερο θα έβγαινε πολύ ωραία με bolzano αν μας έλεγε ότι η f ' είναι συνεχής, και θέταμε h(x)=f '(x) - 4x. Δε μας το λέει όμως. Πώς βγαίνει λοιπόν;

Με Bolzano στο [1,κ] βγαινει..αποκλείεται να βγανει αλλιως,γι'αυτο αλλωστε σου δινει το f'(1)>4

cyclops · 27-12-09

Γεια σας και χρονια πολλα εχω δυο σοβαρα προβληματα με δυο ασκησεις
1) Εστω η συναρτηση f:R->R με f(0)=0.Αν f '(1)=3 να βρειτε
$\lim_{+apeiro}xf\left(\frac{1}{x} \right)=f '(0)$

2) Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο Χο=1 και ισχυει f^2(x)+g^2(x)=2x^2 για καθε $X\in R$ ΝΔΟ $[f'(0)]^2+[g'(0)]^2=2$

riemann80 · 27-12-09

2) βοηθεια...απεδειξε πρωτα (ευκολα) οτι f(0)=g(0)=0.μετα διαιρεσε με χ (διαφορο του 0 ) και παρε το οριο στο 0.

blacksheep · 27-12-09

1)θετεις το 1/χ=ψ οταν το χ τεινει στο +απειρο το ψ τεινει στο ο
οποτε θα σου βγει limf(y)/y=limf(y)-f(0)/y-0=f'(0)

2)εχεις ηδη μια βοηθεια αν δεν μπορεσεις πες μου.
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από riemann80:
2) βοηθεια...απεδειξε πρωτα (ευκολα) οτι f(0)=g(0)=0.μετα διαιρεσε με χ (διαφορο του 0 ) και παρε το οριο στο 0.

Να σας ρωτησω κατι.
Η εκφωνηση της ασκησης δε θα πρεπε να λεει παραγωγισιμες f,g στο χ0=0?και οχι στο χ0=1

exc · 27-12-09

2) βοηθεια...απεδειξε πρωτα (ευκολα) οτι f(0)=g(0)=0.μετα διαιρεσε με χ (διαφορο του 0 ) και παρε το οριο στο 0.

Αυτό δεν είναι βοήθεια... Είναι η λύση...
Αλήθεια πάντως υπάρχει άλλος τρόπος να λυθεί;
---

1)θετεις το 1/χ=ψ οταν το χ τεινει στο +απειρο το υ τεινει στο ο
οποτε θα σου βγει limf(y)/y=limf(y)-f(0)/y-0=f'(0)

Η άσκηση ζητά να βρεις την f'(0). Για λύσε την για εξάσκηση.

riemann80 · 27-12-09

ναι πρεπει να ναι παραγωγισιμες στο 0 ,οχι στο 1

blacksheep · 27-12-09

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Αυτό δεν είναι βοήθεια... Είναι η λύση...
Αλήθεια πάντως υπάρχει άλλος τρόπος να λυθεί;
---
Η άσκηση ζητά να βρεις την f'(0). Για λύσε την για εξάσκηση.

Ουπς.Δε ζηατει να δειξουμε αυτο/?
Βασικα φταιει λιγο και η διατυπωση.

MADlen · 28-12-09

Πόσο κάνει το $\lim_{x\rightarrow +\propto } {\left( \frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{3}}}\right)^{{x}^{2}}$ ?

Θα μπορούσε να γίνει $\lim_{x\rightarrow +\propto } {\left( \frac{{x}^{3}\left(1-\frac{4}{{x}^{2}} \right)}{{x}^{3}}\right)}^{{x}^{2}}<br />$ , να φύγουν τα ${x}^{3}$ και να μείνει $\lim_{x\rightarrow +\propto } \left(1-\frac{4}{{x}^{2}} \right)={1}^{+\propto }$

Αλλά ${1}^{+\propto }$ κάνει 1?

ledzeppelinick · 28-12-09

Αρχική Δημοσίευση από MADlen:
Πόσο κάνει το $lim_{xrightarrow +propto } {left( frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{3}}}right)^{{x}^{2}}$ ?

Θα μπορούσε να γίνει $lim_{xrightarrow +propto } {left( frac{{x}^{3}left(1-frac{4}{{x}^{2}} right)}{{x}^{3}}right)}^{{x}^{2}}<br />$ , να φύγουν τα ${x}^{3}$ και να μείνει $lim_{xrightarrow +propto } left(1-frac{4}{{x}^{2}} right)={1}^{+propto }$

Αλλά ${1}^{+propto }$ κάνει 1?

Αυτό το όριο είναι απροσδιόριστη μορφή που δεν μπορεί να λυθεί με λυκειακές γνώσεις!!

exc · 28-12-09

Όντως είναι κάτι που δεν διδάσκεται στο λύκειο -από ό,τι θυμάμαι- παρόλα αυτά δεν είναι κάτι δύσκολο.
Καταρχάς να πω (στον προ-προηγούμενο) ότι είναι λάθος να βρεις το όριο που βρίσκεται εντός της δύναμης και μετά να το υψώσεις στη δύναμη και να βρεις το τελικό όριο.

Πρέπει να κάνεις το εξής:
$y=(\frac{x^3-4x}{x^3})^{x^2}=(1-4x^{-2})^{x^2}\\lny=x^2ln(1-x^{-2})=\frac{ln(1-x^{-2})}{x^{-2}}$

Εφαρμόζεις τον κανόνα Hospital για να βρεις το $\frac{ln(1-x^{-2})}{x^{-2}}$ και θα βρεις εδώ ότι ισούται με -4. Άρα:

$lny=-4\\y=e^{-4}$

@nastasia · 28-12-09

μπορει καποιος να με βοηθησει να βρω την αντιστροφη της : f(x)=συν2x-x
???
εχω αποδειξει οτι αντιστρεφεται... xε(0,π/2)

dianechristy · 28-12-09

Αρχική Δημοσίευση από @nastasia:
μπορει καποιος να με βοηθησει να βρω την αντιστροφη της : f(x)=συν2x-x
???
εχω αποδειξει οτι αντιστρεφεται... xε(0,π/2)

ειναι συν(2χ-χ) ή συν2χ -χ?

agrotismonos · 28-12-09

Λογικά είναι συν2x -x αλλιώς θα ήταν εύκολο... Έχουμε κανέναν μαθηματικό;

Chris1993 · 28-12-09

Λογικά το 2ο που είπες θα είναι !

agrotismonos · 28-12-09

μη μου πεις εσύ Β λυκείου ότι κάνεις αντίστροφες

Chris1993 · 28-12-09

Η απλή λογική είναι !
Είναι σαν να είχε πχ να βρεθεί το π.ο : $\sqrt{2x - x}$ δηλαδή $\sqrt{x}$ !
Δεν μου κάθεται καλά

Σαν άσκηση !
Ενώ η συν2x - x , φαίνεται πιο πολύπλοκη !
Αλλά και πάλι θα έγραφε συν(2x - x) , διαφορετικά !
Είναι ξεκάθαρο νομίζω !

MADlen · 28-12-09

Βγαίνει με λυκειακές γνώσεις. Αφού το έβγαλα.

Γίνεται $\lim_{x\rightarrow +\propto } {\left( \frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{3}}}\right)^{{x}^{2}} = \lim_{x\rightarrow +\propto } {e}^{{x}^{2}\ln \frac{{x}^{3}-4x}{{x}^{3}}}$

και μετά από υπολογισμούς βγαίνει ${e}^{-4}$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος