Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

mostel · 23-04-08

Θα ασχοληθώ με το 3ο ερώτημα , που παρεπτιπτόντως είναι ωραίο .

Τα πρώτα δύο είναι σχετικά εύκολα !

Ισχύει :

$[f(x)-x]^2\geq 0$

Άρα :

$\int_0^1[f(x)-x]^2\geq 0$

$\int_0^1f^2(x)dx -\int_0^12xf(x)dx +\int_0^1x^2dx\geq<br /> 0$

$\int_0^1f^2(x)dx\geq 2\int_0^1xf(x)dx -\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1\geq 2\cdot\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=1$ (η τελευταία ανισοτική σχέση προκύπτει από το ερώτημα ii).

Άλλο ερώτημα θα μπορούσε να 'ναι να δειχθεί ότι $f(1) =2$ ... (Θεώρημα Fermat στην αρχική)

galois01 · 23-04-08

@sentenced κάτι λείπει στην εκφώνηση κοίτα το λίγο ξανά.

_sentenced_ · 23-04-08

τι να σου πω...και μένα έτσι μου την έδωσαν και πελάγωσα, σεν ξέρω τι να κάνω, λες γι αυτό? θα ρωτήσω

mostel · 28-04-08

Αυτή ισχύει μόνο αν η f είναι κυρτή . (Ανισότητα Jensen για δύο όρους)

Αν είναι κοίλη, ισχύει η αναστροφή αυτής (διαφορειτκή φορά στην ανίσωση).

Π.χ.

Πάρε την lnx που στρέφει τα κοίλα κάτω στο R .

Έχουμε :

$\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)>\frac{\ln a +\ln b}{2}$

$\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)>\frac{1}{2}\cdot \ln ab$

$\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)>\ln(ab)^{\frac{1}{2}}$

$\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)>\ln\sqrt{ab}$

$a+b>\sqrt{ab}$

Που ισχύει αφού:

$a+b\geq 2\sqrt{ab} >\sqrt{ab}$

Απόδειξη της $a+b\geq2\sqrt{ab}$ :

$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2 -2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\geq 0$

$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq 0$

που ισχύει .

Άρα η άσκηση είναι λάθος δοσμένη και αφήστε που δεν είναι για Β' Λυκείου !

Γιώργος · 28-04-08

Συν ότι λείπει το 1ο ερώτημα που ζητάει να αποδείξεις την ανισότητα Jensen. Στις Πανελλήνιες δεν θα δοθεί ΠΟΤΕ κάτι τέτοιο μόνο του, αλλά θα έχει ένα 1ο ερώτημα για να σε καθοδηγήσει.

Υ.γ.: Επειδή έχει ύλη Γ' Λυκείου το μεταφέρω στη Γ' Λυκείου, σόρρυ.

_sentenced_ · 28-04-08

είπα και γω...
οκ πάντως ευχαριστώ...

stelmar87 · 05-05-08

Ρε παιδια μηπως εχετε τις απαντήσεις στα θέματα των επαναλητικών πανελλαδικών της Γ Λυκείου για τα μαθηματικά????

Scandal · 07-05-08

Λίγο help με την παρακάτω.

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: [α,β]->R για τις οποίες ισχύουν:

οι f,g είναι συνεχείς στο [α,β], όπου α>0
οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο (α,β)
f(α)=f(β)=0
f(x)g(x)=/0 για κάθε xε(α,β)

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε $\frac{f'( \xi)}{f( \xi)} + \frac{g'( \xi)}{g( \xi)}= \frac{1}{\xi}$

Η πλάκα είναι ότι κάποτε την είχα λύσει και την είχα σημειώσει σαν σοσ επειδή με είχε δυσκολέψει.

-petros

mostel · 07-05-08

Θεώρησε τη συνάρτηση :

$H(x)=\frac{f(x)g(x)}{x}$

και κάνε Rolle

Στέλιος

hrstav59 · 07-05-08

εφαρμοσε Rolle για τη συνάρτηση [φ(χ)=f(χ)*g(χ)/χ στο διαστημα [α,β]

Scandal · 07-05-08

Thanks!

Η αλήθεια είναι πως γνώριζα από τις υποδείξεις ότι πρέπει να κάνω Rolle σε αυτή τη βοηθητική, όμως δεν ξέρω πώς ακριβώς προκύπτει.

-petros

mostel · 07-05-08

Όπου $\xi$ βάζω $x$ ...

Και έχουμε :

$\frac{f'(x)}{g(x)}+\frac{g'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x}$

Ξεφορτώνομαι τα $f(x), g(x)$ στους παρανομαστές πολ/ζοντας με $f(x)\cdot g(x)$ και έχουμε :

$g(x)f'(x)+g'(x)f(x)=\frac{g(x)f(x)}{x}$

$xg(x)f'(x)+xg'(x)f(x)=g(x)f(x)$

$x\left[g(x)f'(x)+g'(x)f(x)\right]=g(x)f(x)$

$x\left[f(x)g(x)\right]' - (x)'g(x)f(x)=0$

Ή

$\frac{x\left[f(x)g(x)\right]' - (x)'g(x)f(x)}{x^2}=0$

$\left[\frac{f(x)g(x)}{x}\right]'=0$

( μπορώ να διαιρέσω με $x^2$ μιας και κινείται μεταξύ του $[a,b]$ , με $a>0$ ).

Άρα κάνω Rolle στην $H(x)=\frac{f(x)g(x)}{x}$ !

Στέλιος

Scandal · 07-05-08

:no1::no1::no1::no1::no1::no1::no1:

-petros

kritikos · 07-05-08

Λύστε στο C την εξίσωση
$z^3-3z^2+3z-28=0$

mostel · 08-05-08

Διαφορά κύβων ;

$z^3-3z^2+3z-1 -27 = 0$

$(z-1)^3 - 3^3 = 0$

Xρησιμοποιούμε την

$a^3 -b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

κλπ

Στέλιος

go2jimmys · 09-05-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Διαφορά κύβων ;

$z^3-3z^2+3z-1 -27 = 0$

$(z-1)^3 - 3^3 = 0$

Xρησιμοποιούμε την

$a^3 -b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

κλπ

Στέλιος

Σωστός!!!
και εγω το προσεξα

riemann80 · 11-05-08

εστω α ενας πραγματικος αριθμος.να αποδειξετε οτι δεν υπαρχει θετικη συνεχης συναρτηση $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ ωστε

$<br /> \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 1,\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)} dx = a,\int\limits_0^1 {x^2 f\left( x \right)} dx = a^2 <br />$

nefertiti · 12-05-08

ρε παιδια μήπως ξέρετε που μπορώ να βρώ τις απαντήσεις του ιουλίου στα
μαθηματικα των επαναληπτικών εξετάσεων??

nefertiti · 12-05-08

ασε τιποτα,κανεις δεν εχει και εγω τα ψαχνω

dal_kos · 12-05-08

Εδω:
https://www.kelafas.gr/Panellinies07/themata07_6.htm

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Διαχειριστής

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διαχειριστής

Πολύ δραστήριο μέλος

Διαχειριστής

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος