Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Rania. · 01-09-09

Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)\leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

blacksheep · 01-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

......

γραψτε λαθος,συγνωμη

Semfer · 01-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

Με θ. Fermat

$h(x)=f(x)-g(x)-x^2\leq h(1)$ για καθε x?R.

Αρα απο το θ. Fermat εχουμε

$h'(1)=0$

blacksheep · 01-09-09

εισαι σιγουρος οτι η κοπελα εχει κανει ακροτατα και Fermat?

ledzeppelinick · 01-09-09

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
......

ισχυει f'(x)<=g'(x) +2x

ΓΙΑ Χ=1 εχουμε f'(1)<=g'(1) +2

για χ=1 ομως ισχυει μονο η ισοτητα και οχι το >

αρα,η δοθεισα γινεται
f'(1) -g'(1)=2

:nono::nono: ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ να παραγωγισεις ανισοτητα!!!!
Θεωρουμε συναρτηση $h(x)=f(x)-g(x)-x^2$
παρατηρουμε ομως οτι $h(1)=0$ αφου απο υποθεση $f(1)-g(1)=1\Leftrightarrow h(1)=f(1)-g(1)-1^2=0$
και επισης ισχυει απο υποθεση:
$h(x)\geq 0\Leftrightarrow h(x)\geq h(1)$ (Ορισμος ελαχιστου)
Η h παρουσιαζει ακροτατο χτο χο=1 , ειναι παραγωγισιμη σ αυτο και επισης το χο=1 ειναι εσωτερικο σημειο του πεδιου ορισμου της! Τηρουνται λοιπον ολες οι προϋποθεσεις του Θ. Fermat και ετσι ισχυει $h'(1)=0\Leftrightarrow f'(1)-g'(1)-2\times (1)=0\Leftrightarrow f'(1)-g'(1)=2$ αφου η παραγωγος του $x^2$ ειναι $2x$

-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από blacksheep:
εισαι σιγουρος οτι η κοπελα εχει κανει ακροτατα και Fermat?

Λογικα αν εχει μπει στις παραγωγους θα εχει κανει Fermat.. :hmm:

Metal-Militiaman · 01-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο χ0=1, f(1)-g(1)=1 και για καθε χ ανηκει R ειναι $f(x)leq g(x) + {x}^{2}$ , να δειξετε οτι f΄(1)-g΄(1)=2.

Δεύτερος τρόπος σε περίπτωση που δεν έχεις διδακτεί το θεώρημα Fermat.

Αρχικά θέτουμε,για λόγους ευκολίας, $h(x)=f(x)-g(x)$
Άρα
$h(1)=f(1)-g(1)$ και $h(x)\leq {x}^{2}$

$\Rightarrow h(x)-1\leq{x}^{2}-1$

$\Rightarrow h(x)-h(1)\leq{x}^{2}-1$

Aν $x<1$ και $x\rightarrow {1}^{-}$ τότε

$\frac{h(x)-h(1)}{x-1}\geq x+1$ $\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow {1}^{-}}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}\geq \lim_{x\rightarrow {1}^{-}}x+1\Leftrightarrow {h '}_{-}(1)\geq 2 , (1)$

Aν $x>1$ και $x\rightarrow {1}^{+}$ τότε

$\frac{h(x)-h(1)}{x-1}\leq x+1$ $\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow {1}^{+}}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}\leq \lim_{x\rightarrow {1}^{+}}x+1\Leftrightarrow {h '}_{+}(1)\leq 2 , (2)$

όμως το όριο $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}$ υπάρχει ( από υπόθεση) άρα ${h '}_{-}(1)={h '}_{+}(1) , (3)$ (Αφού oι $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο 1)

Λόγω των $(1) , (2), (3) h '(1)=f '(1)-g'(1)=2$

ledzeppelinick · 01-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Δεύτερος τρόπος σε περίπτωση που δεν έχεις διδακτεί το θεώρημα Fermat.

Αρχικά θέτουμε,για λόγους ευκολίας, $h(x)=f(x)-g(x)$
Άρα
$h(1)=f(1)-g(1)$ και $h(x)leq {x}^{2}$

$Rightarrow h(x)-1leq{x}^{2}-1$

$Rightarrow h(x)-h(1)leq{x}^{2}-1$

Aν $x<1$ και $xrightarrow {1}^{-}$ τότε

$frac{h(x)-h(1)}{x-1}geq x+1$ $Leftrightarrow lim_{xrightarrow {1}^{-}}frac{h(x)-h(1)}{x-1}geq lim_{xrightarrow {1}^{-}}x+1Leftrightarrow {h '}_{-}(1)geq 2 , (1)$

Aν $x>1$ και $xrightarrow {1}^{+}$ τότε

$frac{h(x)-h(1)}{x-1}leq x+1$ $Leftrightarrow lim_{xrightarrow {1}^{+}}frac{h(x)-h(1)}{x-1}leq lim_{xrightarrow {1}^{+}}x+1Leftrightarrow {h '}_{+}(1)leq 2 , (2)$

όμως το όριο $lim_{xrightarrow 1}frac{h(x)-h(1)}{x-1}$ υπάρχει ( από υπόθεση) άρα ${h '}_{-}(1)={h '}_{+}(1) , (3)$ (Αφού oι $f$ και $g$ είναι παραγωγίσημες στο 1)

Λόγω των $(1) , (2), (3) h '(1)=f '(1)-g'(1)=2$

Νομιζω πως αυτος ειναι ο πιο σωστος τροπος γιατι ετσι παιρνεις τα ορια της παραγωγου στο 1 που ειναι πιο σωστο γιατι σου λεει οτι μονο εκει ειναι παραγωγισιμη!! Σ ευχαριστουμε πολυ

:thanks::no1:

Semfer · 01-09-09

και οι δυο τροποι ειναι σωστοι...

Rania. · 01-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Metal-Militiaman:
Δεύτερος τρόπος σε περίπτωση που δεν έχεις διδακτεί το θεώρημα Fermat.

Αρχικά θέτουμε,για λόγους ευκολίας, $h(x)=f(x)-g(x)$
Άρα
$h(1)=f(1)-g(1)$ και $h(x)leq {x}^{2}$

$Rightarrow h(x)-1leq{x}^{2}-1$

$Rightarrow h(x)-h(1)leq{x}^{2}-1$

Aν $x<1$ και $xrightarrow {1}^{-}$ τότε

$frac{h(x)-h(1)}{x-1}geq x+1$ $Leftrightarrow lim_{xrightarrow {1}^{-}}frac{h(x)-h(1)}{x-1}geq lim_{xrightarrow {1}^{-}}x+1Leftrightarrow {h '}_{-}(1)geq 2 , (1)$

Aν $x>1$ και $xrightarrow {1}^{+}$ τότε

$frac{h(x)-h(1)}{x-1}leq x+1$ $Leftrightarrow lim_{xrightarrow {1}^{+}}frac{h(x)-h(1)}{x-1}leq lim_{xrightarrow {1}^{+}}x+1Leftrightarrow {h '}_{+}(1)leq 2 , (2)$

όμως το όριο $lim_{xrightarrow 1}frac{h(x)-h(1)}{x-1}$ υπάρχει ( από υπόθεση) άρα ${h '}_{-}(1)={h '}_{+}(1) , (3)$ (Αφού oι $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο 1)

Λόγω των $(1) , (2), (3) h '(1)=f '(1)-g'(1)=2$

:thanks:
Δεν εχω κανει fermat, χτες μπηκαμε παραγωγους.

stratos_man · 01-09-09

Αρχική Δημοσίευση από ledzeppelinick:
Εστω $z=x+yi$ τοτε:
$left|(x+yi)(1-i)+2 right|=2Leftrightarrow left|x-xi+yi+y+2 right|=2Leftrightarrow |(x+y+2)+(y-x)i|=2Leftrightarrow sqrt{(x+y+2)^2+(y-x)^2}=2Leftrightarrow left[(x+y)+2 right]^2+(y-x)^2=4Leftrightarrow (x+y)^2+4(x+y)+4+y^2-2xy+x^2=4Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+4x+4y+y^2-2xy+x^2=0Leftrightarrow 2x^2+2y^2+4x+4y=0Leftrightarrow x^2+y^2+2x+2y=0Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2+2y+1=2Leftrightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=2$
Δηλαδη ο Γ.τ. των εικονων ειναι κυκλος με κεντρο Κ(-1,-1) και $varrho =sqrt{2}$

εκανα το λαθος εκει που εβγαλες το 2 απο την παρενθεση και το υψωσες ολο σε {

} εγω πηγαινα για ταυτοτητα.!!!! :jumpy:

leobakagian · 02-09-09

1.Άν z=1-i και w=(z-2)/(z^4) να δείξετε ότι 4|w|=|z|
2.Άν z*z(συζυγής)=1 να βρείτε το μέτρο του w=(z^2-iz)/(1+iz)

Rania. · 02-09-09

Ελα ρε συ τι σε ζοριζει σε αυτη. Το μετρο του z ειναι ριζα 2. Κανεις αντικατασταση οπου z=1-i στον w και βρισκεις το μετρο του. Λογικα θα το βρεις και αυτο 4 ριζα 2 και ολα καλα.
Αν περιμενεις και κανα δεκαλεπτο μπορω να στη γραψω κι ολας :p

Ωπ τωρα ειδα και το δευτερο. Σε ενα τεταρτακι στα εχω και τα δυο ετοιμα γραμμενα. μισο :p

Λοιπον, το i)

$w=\frac{z-2}{{z}^{4}} = \frac{1-i-2}{{(1-i)}^{4}} = \frac{-1-i}{[{(1-i)}^{2}]^{2}} = \frac{-1-i}{{(-2i)}^{2}} = \frac{-1-i}{-4} = \frac{1+i}{4} <=> |w| = \frac{|1+i|}{4} <=> |w| = \frac{\sqrt{2}}{4} <=> 4 |w| = \sqrt{2}$ όμως ριζα 2 ειναι το |z|, οποτε.

leobakagian · 02-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
Ελα ρε συ τι σε ζοριζει σε αυτη. Το μετρο του z ειναι ριζα 2. Κανεις αντικατασταση οπου z=1-i στον w και βρισκεις το μετρο του. Λογικα θα το βρεις και αυτο 4 ριζα 2 και ολα καλα.
Αν περιμενεις και κανα δεκαλεπτο μπορω να στη γραψω κι ολας :p

Ωπ τωρα ειδα και το δευτερο. Σε ενα τεταρτακι στα εχω και τα δυο ετοιμα γραμμενα. μισο :p

Ευχαριστώ πολύ...Λαθη μ@@@κειας... Έπαιρνα ότι |z|=α^2+β^2...Δέν χρειάζεται να τις γράψεις...θα τις βγάλω μόνος μου...Μην σε κουράζω τσάμπα...

Rania. · 02-09-09

χαχαχα πολυ αργα, το i το εγραψα ηδη. Δες το, μην νιωθω οτι το κανα τζαμπα. :p

leobakagian · 02-09-09

Αρχική Δημοσίευση από Rania.:
χαχαχα πολυ αργα, το i το εγραψα ηδη. Δες το, μην νιωθω οτι το κανα τζαμπα. :p

Το είδα...

Ευχαριστώ πολύ...

coheNakatos · 02-09-09

Αρχική Δημοσίευση από leobakagian:
1.Άν z=1-i και w=(z-2)/(z^4) να δείξετε ότι 4|w|=|z|
2.Άν z*z(συζυγής)=1 να βρείτε το μέτρο του w=(z^2-iz)/(1+iz)

2) $|w|=\frac{|{z}^{2}-iz|}{|1+iz|}=\frac{|z||z-i|}{|i||z-i|}\Leftrightarrow |w|=1$

kampi-kampi · 02-09-09

αυτος ο μπαρλας!!! γκρρρρ :mad:

1.εστω ο μιγαδικος z(διαφορος του 0).ν.δ.ο ο w=z/|z|+|z|/z ειναι πραγματικος
2.εστω zεC αν w=z+1/z ν.δ.ο wεR,zεR ή |z|=1
χελπ!

Rania. · 02-09-09

Για το 1 δοκιμασε να παρεις w=w(συζυγης)

coheNakatos · 02-09-09

Αρχική Δημοσίευση από kampi-kampi:
αυτος ο μπαρλας!!! γκρρρρ
1.εστω ο μιγαδικος z(διαφορος του 0).ν.δ.ο ο w=z/|z|+|z|/z ειναι πραγματικος
2.εστω zεC αν w=z+1/z ν.δ.ο wεR,zεR ή |z|=1
χελπ!

1) $w=\bar{w}\Leftrightarrow \frac{z}{|z|}+\frac{|z|}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|}+ \frac{|z|}{\bar{z}}$

πολλαπλασιαζεις με $z\bar{z}$ και καταληγεις $z+\bar{z}=\bar{z}+z$

2)ελπιζω να εννοεις αν weR νδο zeR ή |z|=1 ....

$w=\bar{w} \Leftrightarrow \frac{{z}^{2}+1}{z}= \frac{{\bar{z}}^{2}+1}{\bar{z}} \Leftrightarrow z{|z|}^{2}+\bar{z}={|z|}^{2}\bar{z}+z \Leftrightarrow {|z|}^{2}(z-\bar{z})-(z-\bar{z}) \Leftrightarrow ({|z|}^{2}-1)(z-\bar{z})=0$

Αρα $|z|=1$ ή $z\varepsilon R$

ledzeppelinick · 02-09-09

Αρχική Δημοσίευση από kampi-kampi:
αυτος ο μπαρλας!!! γκρρρρ
1.εστω ο μιγαδικος z(διαφορος του 0).ν.δ.ο ο w=z/|z|+|z|/z ειναι πραγματικος
2.εστω zεC αν w=z+1/z ν.δ.ο wεR,zεR ή |z|=1
χελπ!

1. Αρκει νδο $w=\bar{w}$ :
$w=\bar{w}\Leftrightarrow \frac{z}{|z|}+\frac{|z|}{z}=\frac{\bar{z}}{|\bar{z}|}+\frac{|\bar{z}|}{\bar{z}}\Leftrightarrow (|\bar{z}|=|z|)\Leftrightarrow \frac{z}{|z|}-\frac{\bar{z}}{|z|}=\frac{|z|}{\bar{z}}-\frac{|z|}{z}\Leftrightarrow \frac{z-\bar{z}}{|z|}=-|z|\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}} \right) \Leftrightarrow \frac{2Im(z)i}{|z|}=-|z|\left(2Im(\frac{1}{z}) \right)i$ και εστω $z=x+yi$ δηλαδη $2Im(z)i=2yi$ . Επισης $\frac{1}{z}=\frac{1}{x+yi}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i$
αρα $-2Im\left(\frac{1}{z} \right)=2\frac{y}{x^2+y^2}i$ ετσι η σχεση γινεται

$\frac{2y}{|z|}i=|z|2\frac{y}{x^2+y^2}i\Leftrightarrow 2yi=|z|^22\frac{y}{x^2+y^2}i\Leftrightarrow (|z|^2=x^2+y^2)\Leftrightarrow 2yi=2yi$
που ισχυει αρα $w\epsilon R$

2. Αν μιλαμε για τον ιδιο w τοτε απο ερωτημα 1. ο wεR και:
$w=z+\frac{1}{z}=x+yi+\frac{1}{x+yi}=x+yi+\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2})i=x(1+\frac{1}{x^2+y^2})+y(1-\frac{1}{x^2+y^2})i$
ομως wεR αρα ή $y=0$ ή $1-\frac{1}{x^2+y^2}=0\Leftrightarrow 1=\frac{1}{x^2+y^2}\Leftrightarrow x^2+y^2=1\Leftrightarrow |z|^2=1\Leftrightarrow |z|=1$
και οταν y=0 αφου z=x+yi τοτε και $z\epsilon R$

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος