Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

azzuro · 19-05-09

Tωρα τι καντηλια να ριξεις; διαβαζεις σα το μαλακα ενα χρονο και θα χασεις μοναδες απο αυτα; να πανε να γαμηθουν τα ζωα. (Συγνωμη παιδια το ειχα αναγκη

)

nikolas17 · 20-05-09

Υπερβολή? Εγώ στης γενικής ξέρεις τι έκανα? f'(x) = [e^x / (x^2 + 1)]' (πχ) πιo αναλυτικά δεν γίνεται νομίζω

πρεπει να πεις f συνεχης στο [α,β]. παραγωγισιμη στο (α,β) , f(a) = f(b) αρα η εφ ικανοποιει τις υποθεσεις του θεωρηματος Ρολ

ΝΑΙ! Εσυ τι λες να γράψεις, ΘR άρα f'(xo)=0?

Συμβουλή : ΟΣΟ πιο αναλυτικά μπορείς τόσο το καλύτερο!!!

azzuro · 20-05-09

Ε τοσο καιρο ετσι τα γραφω :xixi:
Το προβλημαδεν ειναι οτι βαριεμαι, αλλα το οτι θα παρει πολυ χρονο... τουλαχιστον αν βαλεις αστερακια και εξηγησεις συντομογραφιες πιανει;

_ann_ · 03-06-09

ηθελα να ρωτησω αν υπαρχουν η εχουν αποσυρθει κ που θα βρω βοηθηματα μαθηματικων κατευθ.γ λυκειου που εχουν και τους πινακες και τριγωνομετρικη μορφη μιγαδικων μεσα..

statakos · 03-06-09

Πίνακες θα βρείς σίγουρα σε βιβλίο/βοήθημα γραμμικής άλγεβρας.

Civilara · 03-06-09

Αρχική Δημοσίευση από _ann_:
ηθελα να ρωτησω αν υπαρχουν η εχουν αποσυρθει κ που θα βρω βοηθηματα μαθηματικων κατευθ.γ λυκειου που εχουν και τους πινακες και τριγωνομετρικη μορφη μιγαδικων μεσα..

Υπάρχουν.
1) Εκδόσεις Σαββάλα: Στεργίου-Νάκης. 1ο τεύχος, μπλε εξώφυλλο. Επανακυκλοφόρησε το 2001 βγάζοντας έξω τους πίνακες. Ίσως να βρεις κάποιο αντίτυπο από τα παλιά.
2) Εκδόσεις Σαββάλα: Τζιρώνης-Τζουβάρας. 4 τεύχη. Νομίζω ότιοι πίνακες είναι στο 1ο τεύχος αλλά δεν είμαι απόλυτα σίγουρος

Ψάξε για βιβλία υπο απόσυρση μαθηματικών 1ης και 4ης δέσμης.

_ann_ · 03-06-09

ευχαριστω..θα κοιταξω..

bladen · 09-06-09

Γειά σας!!Είμαι φοιτητής και επειδή τα έχω ψιλοξεχάσει αυτά που έκανα στο λύκειο θα ήθελα την βοήθεια σας στην παρακάτω άσκηση:

Να μελετηθεί η f(x)= $x^{2}$ lnx ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα της.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων για όποια βοήθεια προκύψει.

miv · 09-06-09

Θα παραγωγίσεις γινόμενο.

Boom · 09-06-09

παραγωγιζεις την φ(χ) με τον κανονα του πολλαπλασιασμου και θα εχεις φ'(χ)=2χlxn+x=x(2lnx+1) με χ ε (0,+00)
μηδενιζεις την φ'(χ)=0+=>χ(2lnx+1)=0=>lnx=-1/2=>x=e^(-1/2)
κανεις πινακακι για την φ' ποπυ εχει μια ριζα και εκει παρουσιαζει ακροτατο,θα δεις τι ειναι συμφωνα με το πως θα σου ββγει,δηλ αν βγει γν αυξουσα,γν φθινοουσα τοτε ειναι μεγιστο

Civilara · 09-06-09

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής $(\alpha ,{x}_{0})$ τότε υπάρχει το πλευρικό όριο $\lim_{x\rightarrow {x}_{{0}^{-}}}f(x)$ .

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής $({x}_{0},\beta )$ τότε υπάρχει το πλευρικό όριο $\lim_{x\rightarrow {x}_{{0}^{+}}}f(x)$ .

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής $(\alpha ,{x}_{0})\bigcup ({x}_{0},\beta )$ τότε υπάρχουν τα πλευρικά όρια
$\lim_{x\rightarrow {x}_{{0}^{-}}}f(x)$ και $\lim_{x\rightarrow {x}_{{0}^{+}}}f(x)$ .

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής $({x}_{0},+\propto )$ τότε υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }f(x)$ .

Σωστό ή Λάθος;

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής $(-\propto{x}_{0})$ τότε υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow -\propto }f(x)$ .

m3Lt3D · 10-06-09

Λαθος.

αντιπαραδειγμα: f(x)=cos(1/x) με xo=0.

Civilara · 10-06-09

Είσαι μάγκας

Civilara · 18-06-09

Δεν υπάρχει γιατί αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο R τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο R τέτοιο ώστε f(ξ)<0.

m3Lt3D · 18-06-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Δεν υπάρχει γιατί αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο R τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο R τέτοιο ώστε f(ξ)<0.

Αποδειξη;

Civilara · 18-06-09

Επειδή η f είναι κοίλη (και παραγωγίσιμη) στο R, τότε η πρώτη παράγωγος f' είανι γνησίως φθίνουσα στο R που σημαίνει ότι για κάθε ${x}_{1},{x}_{2}\epsilon R$ με ${x}_{1}<{x}_{2}$ ισχύει $f\left( {x}_{1}\right)>f\left( {x}_{2}\right)$

$x<{x}_{0}\Rightarrow f'(x)>f'\left( {x}_{0}\right)$
$x>{x}_{0}\Rightarrow f'(x)<f'\left( {x}_{0}\right)$

Άρα $f'(x)>f'\left( {x}_{0}\right)$ για κάθε $x\epsilon \left(-\propto ,{x}_{0} \right)$ και $f'(x)<f'\left( {x}_{0}\right)$ για κάθε $x\epsilon \left({x}_{0},+\propto \right)$ όπου ${x}_{0}\epsilon R$

Θεωρώ την συνάρτηση $g(x)=f(x)-xf'\left( {x}_{0}\right)-f\left({x}_{0} \right)+{x}_{0}f'\left( {x}_{0}\right)$

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R αφού είναι και η f και ισχύει $g(x)=f'(x)-f'\left( {x}_{0}\right)$ για κάθε $x\epsilon R$

Για $x<{x}_{0}$ είναι $g'(x)>0$ και για $x>{x}_{0}$ είναι $g'(x)<0$

Η g είναι συνεχής στο $(-\propto ,{x}_{0}]$ , παραγωγίσιμη στο $(-\propto ,{x}_{0})$ και ισχύει $g'(x)>0$ για κάθε $x\epsilon (-\propto ,{x}_{0})$ . Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\propto ,{x}_{0}]$

Η g είναι συνεχής στο $[{x}_{0},+\propto)$ , παραγωγίσιμη στο $({x}_{0},+\propto)$ και ισχύει $g'(x)<0$ για κάθε $x\epsilon ({x}_{0},+\propto)$ . Συνεπώς η g είναι γνησίως φθίνουσα στο $[{x}_{0},+\propto)$ .

Άρα η g παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο ${x}_{0}$

$g(x)\leq g({x}_{0})\Rightarrow f(x)\leq xf'({x}_{0})+f({x}_{0})-{x}_{0}f'({x}_{0})$ για κάθε $x\epsilon R$ , που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία της εφαπτομένης της στο σημείο $\left( {x}_{0},f({x}_{0})\right)$ με μοναδικό κοινό σημείο το σημείο επαφής.

Αν υπάρχει ένα $\xi \epsilon R$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0$ τότε αυτό είναι μοναδικό καθώς η f' είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και 1-1. Τότε
$x<\xi \Rightarrow f'(x)>f'(\xi )\Rightarrow f'(x)>0$
$x>\xi \Rightarrow f'(x)<f'(\xi )\Rightarrow f'(x)<0$

Δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση ισχύει $f'(x)>0$ για $x<\xi$ και $f'(x)<0$ για $x>\xi$

Άρα στην αυτή περίπτωση υπάρχουν ${\xi }_{1},{\xi }_{2}\epsilon R$ με ${\xi }_{1}<\xi<{\xi }_{2}$ τέτοια ώστε $f'({\xi }_{1})>0$ και $f'({\xi }_{2})<0$

Αν $f'(x)\neq 0$ για κάθε $x\epsilon R$ , τότε δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν ${x}_{1},{x}_{2}\epsilon R$ με ${x}_{1}<{x}_{2}$ τέτοια ώστε $f'({x}_{1})<0<f'({x}_{2})$ γιατί τότε σύμφωνα με το θεώρημα Darboux θα υπήρχε τουλάχιστον ένα $\xi \epsilon ({x}_{1},{x}_{2})$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=0$

(είτε είναι συνεχής είτε δεν είναι συνεχής η πρώτη παράγωγος της f στο $[{x}_{1},{x}_{2}]$ ισχύει αυτό. Το θεώρημα Darboux δεν το διδάσκεστε στο λύκειο)

Άρα σε αυτήν την περίπτωση η πρώτη παράγωγος f' της f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο R. Δηλαδή ισχύει είτε f'(x)>0 για κάθε $x\epsilon R$ είτε f'(x)<0 για κάθε $x\epsilon R$

Σε κάθε περίπτωση, υπάρχει ${x}_{0}\epsilon R$ τέτοιο ώστε $f'({x}_{0})\neq 0$ , οπότε είτε $f'({x}_{0})>0$ είτε $f'({x}_{0})<0$

Η εφαπτομένη της γαρφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο $<img src=$ " /> παριστάνεται από την εξίσωση y=h(x) όπου h συνάρτηση με τύπο $h(x)=xf'({x}_{0})+f({x}_{0})-{x}_{0}f'({x}_{0})$

Αν $f'({x}_{0})>0$ τότε έχουμε
$h(x)<0\Rightarrow xf'({x}_{0})+f({x}_{0})-{x}_{0}f'({x}_{0})<0\Rightarrow x<\alpha$ όπου

$\alpha =\frac{{x}_{0}f'({x}_{0})-f({x}_{0})}{f'({x}_{0})}$

Συνεπώς υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε $h(x)<0$ για κάθε $x\epsilon \left(\alpha -\delta,\alpha \right)$

Συνεπώς επειδή $f(x)\leq h(x)$ για κάθε $x\epsilon R$ και $h(x)<0$ για κάθε $x\epsilon \left(\alpha -\delta,\alpha \right)$ τότε $f(x)<0$
για κάθε $x\epsilon \left(\alpha -\delta,\alpha \right)$

Αν $f'({x}_{0})<0$ τότε έχουμε
$h(x)<0\Rightarrow xf'({x}_{0})+f({x}_{0})-{x}_{0}f'({x}_{0})<0\Rightarrow x>\alpha$ όπου

$\alpha =\frac{{x}_{0}f'({x}_{0})-f({x}_{0})}{f'({x}_{0})}$

Συνεπώς υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε $h(x)<0$ για κάθε $x\epsilon \left(\alpha,\alpha+\delta \right)$

Συνεπώς επειδή $f(x)\leq h(x)$ για κάθε $x\epsilon R$ και $h(x)<0$ για κάθε $x\epsilon \left(\alpha,\alpha+\delta \right)$ τότε $f(x)<0$
για κάθε $x\epsilon \left(\alpha,\alpha+\delta \right)$

Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει διάστημα Δ στο οποίο ισχύει f(x)<0 για κάθε
$x\epsilon \Delta$

Civilara · 19-06-09

Σωστό ή Λάθος;

Αν f συνεχής στο (α,β), παραγωγίσιμη στο $\left(\alpha ,{x}_{0} \right)\bigcup \left({x}_{0},\beta \right)$ και υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$ και δεν είναι πεπερασμένο τότε υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f'(x)$ και ισχύει $\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}f'(x)=\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$ .

m3Lt3D · 19-06-09

ωραιος. μερικα τυπογραφικα λαθακια που ειναι ασημαντα.

Αυτη η υποθεση υπαρχει σε ασκηση σε φροντιστηριακο βιβλιο.Αθλιο ε;

Civilara · 19-06-09

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
ωραιος. μερικα τυπογραφικα λαθακια που ειναι ασημαντα.

Αυτη η υποθεση υπαρχει σε ασκηση σε φροντιστηριακο βιβλιο.Αθλιο ε;

Είναι όντως άθλιο. Βέβαια δεν μπορεί να πέσει ακριβώς έτσι στις εξετάσεις αν πέσει. Είτε θα δίνουν ότι η f είναι κυρτή και 2 φορές παραγωγίσιμη στο R με f''(x)>0 είτε ότι η f είναι κυρτή και έχει συνεχή παράγωγο στο R. Αυτό γιατί δεν διδάσκεται στο λύκειο το θεώρημα του Darboux. Ωστόσο ισχύει πάντα ακόμη και αν η f' δεν είναι συνεχής στο R.

paganini666 · 24-06-09

Ο Bombelli χρειασθηκε σε ενα προβλημα να βρει μιγαδικους αριθμους

ωστε

1 Να επαληθευσετε οτι ο

ειναι λυση του προβληματος
2 Να βρειτε τους αλλους μιγαδικους που ειναι επισης λυσεις του προβληματος.

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Επιφανές μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος