Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

ledzeppelinick · 13-05-09

Δινεται η συναρτηση f με συνεχη παραγωγο στο [α,β] για την οποια ισχυει: $\int_{\alpha }^{\beta }f^2(x)dx + \int_{a}^{b}\left(f'(x) \right)^2 = f^2(a) - f^2(b)$ να αποδειξετε οτι:
α) $f'(x) + f(x) = 0$ για καθε $x\in [a,b]$
β) $\int_{a}^{b}\left(f'(x) \right)^2 = \int_{\alpha }^{\beta }f^2(x)dx = \frac{1}{2}(f^2(a) - f^2(b))$
γ)Αν $f(\frac{a+b}{2})={e}^{\frac{a+b}{2}}$ να βρειτε τον τυπο της f

John_Megadeth · 13-05-09

Ως team mate ειπα να ανεβασω εγω μια!
Εστω συναρτηση $f:[0,1]\rightarrow R$ η οποια ειναι συνεχης και τετοια ωστε $\int_{0}^{1}tf(t)dt=2$ και $\int_{0}^{1}{f}^{2}(t)dt=12$ .
Εστω επισης η συναρτηση $g:R\rightarrow R$ με τυπο $\int_{0}^{1}{[f(t)-xt]}^{2}dt$ για καθε $x\in R$ .
Να αποδειξετε οτι:i) $g(x)\geq 0$ για καθε $x\in R$ .
ii) $g(x)=\frac{1}{3}{x}^{2}-4x+12$ για καθε $x\in R$ .
iii) η g παρουσιαζει ολικο ελαχιστο το $g(6)=0$
iv) $f(t)=6t$ για καθε $t\in [0,1]$

ledzeppelinick · 13-05-09

σωστος ο παιχτης:no1::no1:

John_Megadeth · 14-05-09

Για την ασκηση του Νικου!
α) $\int_{a}^{b}{f}^{2}(x)dx+\int_{a}^{b}{(f'(x))}^{2}dt=\int_{a}^{b}2f(x)f'(x)dx\Leftrightarrow\int_{a}^{b}({f}^{2}(x)+2f(x)f'(x)+{(f'(x))}^{2})dx=0 \Leftrightarrow \int_{a}^{b}{(f(x)+f'(x))}^{2}dx=0$ αρα $f(x)+f'(x)=0$
β) $f(x)+f'(x)=0\Leftrightarrow f(x)=-f'(x)\Leftrightarrow {f}^{2}(x)={(f'(x))}^{2}\Leftrightarrow \int_{a}^{b}{f}^{2}(x)dx=\int_{a}^{b}{(f'(x))}^{2}dx$ και με αντικατασταση στην αρχικη σχεση εχουμε $2\int_{a}^{b}{f}^{2}(x)dx={f}^{2}(a)-{f}^{2}(b)\Leftrightarrow \int_{a}^{b}{f}^{2}(x)dx=\frac{1}{2}({f}^{2}(a)-{f}^{2}(b))$ αρα $\int_{a}^{b}{f}^{2}(x)dx=\frac{1}{2}({f}^{2}(a)-{f}^{2}(b))=\int_{a}^{b}{(f'(x))}^{2}dx$
γ) $f(x)+f'(x)=0\Leftrightarrow {e}^{x}f(x)+{e}^{x}f'(x)=0\Leftrightarrow {e}^{x}f(x)=c$ για $x=\frac{a+b}{2}$ εχουμε οτι ${e}^{{\frac{(a+b)}{4}}^{2}}=c$ αρα τελικα $f(x)={e}^{-x}{e}^{{\frac{(a+b)}{4}}^{2}}$

ledzeppelinick · 9 Απριλίου 2011

Φιλε μου γιαννη στο α) ερωτημα καλα αρχιζεις με την προεργασια στην αρχη αλλα ο καθηγητης μου το λυνει αλλιως και δεν ξερω αν γινεται να παρεις ως δεδομενη τη σχεση και να υψωσεις στο τετραγωνο.. στη λυση λεει πως υποθετουμε πως υπαρχει χο ανηκει [α,β] τ.ω. f(xo)+f'(xo) διαφορο του μηδενος. και επειδη f(xo)+f'(xo)>=0 για καθε χ ανηκει [α,β] θα ισχυει $\int_{a}^{b}(f(x)+f'(x))dx>0$ άτοπο. άρα f(x)+f'(x)=0
-----------------------------------------
και στο τελευταιο ερωτημα η λυση ειναι e^(-x+a+b).. δες ξανα τις πραξεις σου!:no1:

η λυση στην ασκηση του john!

Civilara · 14-05-09

Σωστό ή Λάθος;

Αν f συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε

|S(α,β)f(x)dx|<=S(α,β)|f(x)|dx για κάθε α,β στο Δ

[S(α,β)f(x)dx : Ορισμένο ολοκλήρωμα της f με κάτω όριο ολοκλήρωσης α και πάνω όριο ολοκλήρωσης β]

lolek · 14-05-09

το δ) ερώτημα πέρα από τον προφανή (και ολόσωστο) τρόπο που γράφει ο φίλος Νίκος λύνεται θέτοντας φ(χ)=ολοκρ απο 0 εώς Χ του tf(t)dt - 2t^3 για κάθε Χ ανήκει[0,1]
και μετά με ένα Rolle στο [0,1] είσαι εντάξει

Civilara · 14-05-09

Να αποδείξετε ότι για κάθε α>0 ,β>0 υπάρχει ξ>0 τέτοιο ώστε

(1+lnξ)*(β-α)=ln((β^β)/(α^α))

-----------------------------------------
Αν f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε

f΄(ξ)=((f(β)-f(α))/(β-α))

(Σαν άσκηση δίνω τω γνωστό θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού)

vasilis008 · 14-05-09

ελπίζω να μην πέσω πάλι σε καμιά παγίδα...είναι λάθος νομίζω διότι δεν ξέρουμε αν α<β.

Civilara · 14-05-09

Αρχική Δημοσίευση από vasilis008:
ελπίζω να μην πέσω πάλι σε καμιά παγίδα...είναι λάθος νομίζω διότι δεν ξέρουμε αν α<β.

Είσαι σωστός
-----------------------------------------
Σωστό ή Λάθος;

Αν f,g συνεχείς στο [α,β] με α<0<β τότε για κάθε x στο [α,β] ισχύει

S(0,x)[f(x-t)*g(t)-f(t)*g(x-t)]dt=0

lolek · 14-05-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Να αποδείξετε ότι για κάθε α>0 ,β>0 υπάρχει ξ>0 τέτοιο ώστε

(1+lnξ)*(β-α)=ln((β^β)/(α^α))

-----------------------------------------
Αν f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (α,β) τέτοιο ώστε

f΄(ξ)=((f(β)-f(α))/(β-α))

(Σαν άσκηση δίνω τω γνωστό θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού)

Έστω φ(χ) = χln(x) με χ>0 και μετά ΘΜΤ στο [α,β]

Όσο για το δεύτερο ένα απλό ΘΜΤ στην φ

Civilara · 15-05-09

Σωστό ή Λάθος;

Αν f παραγωγίσιμη στο [a,b] και ισχύει

$\left[f΄(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]\left[f΄(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]=0$

τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (a,b) ώστε f΄(ξ)=0.

LI@ · 15-05-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Σωστό ή Λάθος;

Αν f παραγωγίσιμη στο [a,b] και ισχύει

$left[f΄(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}right]left[f΄(b)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}right]=0$

τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (a,b) ώστε f΄(ξ)=0.

Λάθος
Το μονο που θα μπορουσαμε να συμπερανουμε είναι οτι υπαρχει ξ στο (a,β) τετοιο ωστε f''(ξ)=ο. Που και παλι δεν ειναι σωστο γιατι δεν λεει οτι η f είναι 2 φορες παρ/μη.

m3Lt3D · 15-05-09

Αρχική Δημοσίευση από geoste:
Σωστό ή Λάθος;

Αν f παραγωγίσιμη στο [a,b] και ισχύει

$left[f΄(a)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}right]left[f΄(b)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}right]=0$

τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (a,b) ώστε f΄(ξ)=0.

Λαθος.
Π.χ.παρε την f(x)=x.:no1:

ledzeppelinick · 15-05-09

παιδια μιας και τελειωσε η εκθεση ποσταρετε καμια καλη ασκ μαθ. κατ. για προπονηση!!!:no1::no1:

Korina 71 · 15-05-09

Έλα να ενεργοποιείται το team!!!:no1::no1:Ανεβαίνει άσκηση εντός ολίγου!

Civilara · 15-05-09

Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω={0, 1, 2, ..., 2ν} με ν ανήκει Ν*. Θεωρούμε τις πιθανότητες

P(k)=2^(-k), k=1, 2, 3, ..., 2ν

i) Να υπολογιστεί η πιθανότητα P(0).
ii) Να υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Α={2, 4, 6, ..., 2ν}

nikolas17 · 15-05-09

i) P(0) = 2^0 = 1

ii)(Έστω ν=6άρα έχουμε Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} και έστω Α = {2,4,6,8,10,12} δηλαδή P(A)=6/12 = 1/2)

Για Ω = {0,1,2,3,4,5,6,....,2ν} έχουμε Α = {2,4,6,...,2ν}

Άρα P(A)=1/2... ελπίζω να είναι σωστό. Βοήθησε με όμως βρε Geoste να το αιτιολογήσω μιας και είμαστε και από την ίδια πόλη κιόλας

Civilara · 15-05-09

ii) Έχουμε P(0)+P(1)+P(2)+...+P(2ν)=1 ->
-> P(0)=1-[P(1)+P(2)+...+P(2ν)]=1-S2ν

S2ν=P(1)+P(2)+...+P(2ν)=(1/2)+(1/(2^2))+...+(1/(2^ν))

Άθροισμα 2ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με α1=λ=1/2. Άρα

S2ν=(1/2)*(((1/2)^(2*ν)-1)/((1/2)-1))=1-(1/(2^(2*ν)))

Άρα P(0)=1-S2ν=(1/(2^(2*ν)))=2^(-2*ν)

ii) P(A)=P(2)+P(4)+...+P(2ν)=(1/(2^2))+(1/(2^4))+...+(1/(2^ν))=Σν

όπου Σν άθροισμα ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με β1=λ΄=1/4

P(A)=(1/4)*(((1/(2^2))^(ν)-1)/((1/(2^2))-1))=(2^(2*ν)-1)/(3*2^(2*ν))

nikolas17 · 15-05-09

Ευχαριστώ!:no1: Τελείως λάθος την είχα λύσει...:what::wow:

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος