Βοήθεια/Απορίες στη Γεωμετρία

[Iliaso]

ΥΓ να μαθεις να τρελενεσαι για μαθηματικα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Levi]

Μα ειναι απλο!
Τα σημεια ανηκουν στην ευθεια και οχι η ευθεια στα σημεια!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vardis]

ΣΑΣ ΠΑΡΑΚΑΛΩ ΠΑΙΔΙΑ ΑΥΡΙΟ ΕΧΩ ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΛΛΑ ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΔΕ ΒΛΕΠΩ ΝΑ ΤΟ ΛΥΝΩ. το προβλημα λέει: μια δεξαμενη ,η μια βρυση τη γεμιζει σε 4ωρες κ μια αλλη βρυση σε 10 ωρες.
ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ: Αν ανοιξουμε κ τις δυο βρυσες συγχρονως σε ποση ωρα θα γεμισει?
2ο: Α ανοιξουμε συγχρονως κ μια τριτη βρυση που την αδειαζει σε 12 ωρες σε ποσες ωρες τη γεμιζει?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ναυσικά]

εχμ σιγουρα σας τοβαλε στη γεωμετρια αυτο?γτ μαλλον για αλγεβρα μου φαινεται δεν φερνεις καμμια παραλληλη για να δεις την ωρα που τρεχει η βρυση...:xixi:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[chrischar]

Μπορείς να το σκεφτείς ως εξής.
Έστω χ η χωρητικότητα της δεξαμενής.
Τότε η πρώτη βρύση κάθε ώρα γεμίζει χ/4 της δεξαμενής και η δεύτερη γεμίζει χ/10 κάθε ώρα.
Άρα αν τρέχουν και οι δυο μαζί γεμίζουν χ/4 + χ/10 = 14/40 * χ.
Άρα γεμίζουν όλη την δεξαμενή σε 40/14 = 2 ώρες 51 λεπτά περίπου.
Τώρα εάν έχεις και τρίτη βρύση που αδειάζει με ρυθμό χ/12 κάθε ώρα,
τότε έχεις ανίστοιχα χ/4 + χ/10 - χ/12 = 16/60 *χ.
Αρα 60/16 = 3 ωρες 45 λεπτα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Kostakisss]

Παιδιά γραφω αυριο γεωμετρια διαγωνισμα και δεν τα παω και τοσο καλα με μαθηματικα-γεωμετρια (ποτε δεν μου αρεσαν).
Μπορει κανεις να πει κανα θέμα που του ετυχε αμα εγραψε η καμια ΣοΣ ασκηση ?
Στο 1ο Κεφαλαιο..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[djimmakos]

Το πρώτο κεφάλαιο δεν είναι αυτό που μιλάει για την ιστορία της γεωμετρίας;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Iliaso]

μν γινεσαι κακος ... το 2ο θα εννοει...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ηλίας]

Τις παλεύω 3 μέρες αλλά τίποτα.

η Πρώτη: Αν οι διχοτόμοι 2 γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσες, να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

και η άλλη: Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=ελ. Πάνω στο ΑΒ παίρνουμε τμήμα ΑΜ=2λ. Με πλευρές τις ΑΜ και ΜΒ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΜΓ και ΜΒΔ προς το ίδιο μέρος του ΑΒ. Φέρνουμε τη ΓΔ και τη ΓΗ κάθετη της ΑΒ. Να αποδειχτεί ότι ΓΗ=ΓΔ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[kiriakoskiriakos]

1)παίρνεις τις διχοτόμους ΒΔ και ΓΕ και αποδεικνύεις ότι τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΒΕΓ είναι ίσα με κριτήρια.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ναυσικά]

το πρόβλημα ειναι ότι τα κριτηρια θεωρητικα δεν τα ξερουμε στην α λυκειου....κι εγω τοκανα το λαθος και με διορθωσε(ξεχ.σε. θα πρεπε να πω)αλλα οκ...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nfk]

Δεν γράψαμε για να σου πω....

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlitos]

Γεία σας , είμαι νέο μέλος και θα ήθελα τη βοήθεια σας στις απλές γεωμετρικές κατασκευές. Συγκεκριμένα ο καθηγητής μας μας έχει βάλει να παρουσιάσουμε στον πίνακα μία κάθε ομάδα από αυτές που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο ! Εμένα μου έχει αναθέσει στη σελ. 68 το << να κατασκευασθεί η εφαπτομένη ενός κύκλου (Ο,ρ) σε ένα σημείο του Α .

Μπορεί καποιός να το αναλύσει (κατασκευή , απόδειξη , διευρεύνηση )

Υστερόγραφο : Και αν δεν μπόρει κάποιος να βρεί ένα site που τα εξηγεί αναλυτικά.

Ευχαριστώ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[papas]

Λοιπον,αρχικα,η εφαπτομενη ειναι η ευθεια που τεμνει τον κυκλο σε ενα κοινο σημειο,το σημειο επαφης.

Πως κατασκευαζουμε μια εφαπτομενη

1)Φερνουμε την ακτινα που αντιστοιχει στο σημειο επαφης.
2)Φερνω καθετη στην ακτινα στο σημειο επαφης.

Η καθετη ευθεια ειναι η εφαπτομενη.

Τα αλλα,αν τα θυμιθω θα τα σημειωσω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Chris1993]

Γεία σας , είμαι νέο μέλος και θα ήθελα τη βοήθεια σας στις απλές γεωμετρικές κατασκευές. Συγκεκριμένα ο καθηγητής μας μας έχει βάλει να παρουσιάσουμε στον πίνακα μία κάθε ομάδα από αυτές που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο ! Εμένα μου έχει αναθέσει στη σελ. 68 το << να κατασκευασθεί η εφαπτομένη ενός κύκλου (Ο,ρ) σε ένα σημείο του Α .

Μπορεί καποιός να το αναλύσει (κατασκευή , απόδειξη , διευρεύνηση )

Υστερόγραφο : Και αν δεν μπόρει κάποιος να βρεί ένα site που τα εξηγεί αναλυτικά.

Ευχαριστώ

Λοιπον φτιαχνεις εναν κυκλο με κεντρο Ο και ακτινα ΟΑ επεκτεινεις την ΟΑ ωστε ΟΑ = ΑΒ .. μετα φερεις τη μεσοκαθετο του ΟΒ που ειναι και η εφαπτομενη του κυκλου γιατι ειναι καθετη στην ακτινα στο ακρο της Α.

Κατασκευη ειναι ολες εκεινες οι ενεργειες που οδηγουν στην σχεδιαση του σχηματος .

Αποδειξη ειναι η επιβεβαιωση οτι το σχημα που κατασκευαστηκε εχεις ως στοιχεια τα δοσμενα.

Διερεύνηση ειναι η αναγραφη ολων εκεινων των συνθηκων , που πρεπει να ικανοποιουν τα δεδομενα , ωστε το προβλημα να εχει λυση . Επισης στη διερεύνηση εξεταζεται το πληθος των λυσεων του προβληματος .

Στη συγκεκριμενη εφαρμογη ... κατασκευη , αποδειξη , διερευνηση παρουσιαζονται ενοποιημμένα !

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlitos]

Στη συγκεκριμενη εφαρμογη ... κατασκευη , αποδειξη , διερευνηση παρουσιαζονται ενοποιημμένα !

Ευχαριστώ chris , αλλά είναι που δυσκολεύομαι στην απόδειξη και στη διερεύνηση. :what:

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Pavlitos]

Sorry για το διπλο ποστ , αλλα μπορει καποιος να μου εξηγησει αναλυτικα στη συγκεκριμενη ασκηση την αποδειξη και την διερευνηση; Ειναι επειγον.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Chris1993]

Sorry για το διπλο ποστ , αλλα μπορει καποιος να μου εξηγησει αναλυτικα στη συγκεκριμενη ασκηση την αποδειξη και την διερευνηση; Ειναι επειγον.

Μα σου εξηγησα πως σε αυτη τη συγκεκριμενη εφαρμογη η κατασκευη , η αποδειξη και η διερευνηση παρουσιαζονται ενοποιημμενα !!
Μεσα στη λυση δλδ υπαρχουν και τα 3 μαζι και οχι το καθε - ενα ξεχωριστα !
Αλλα να δουμε τι θα πουν και οι αλλοι χρηστες!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[βιλλαρασ]

η γεωμετρια ειναι ενα μαθημα που ποτε ειμαι εξαιρετικος ποτε ετσι και ετσι

οποτε ηθελα να μαθω τη δικια σας μεθοδο
προσωπικα πιστυω πως το καλυτερο ειναι να ξεκινας απο το ζητουμενο και να το μεταφερεις στα δεδομενα σου...γιατι αν κανεις το αναποδο θα μπλεξεις με πολλα στοιχεια και θα χαθεις

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Shadowfax]

Γεωμετρία, η επιστήμη με όλη τη σημασία της λέξης. Σύνθεση, ανάλυση, απόδειξη, επαλήθευση, γενίκευση. Μέθοδοι που χρησιμοποιούνται από όλες τις επιστήμες, πιθανώς όμως όχι με τόση διεξοδική αυστηρότητα όπως σε αυτή*. Είναι πραγματικά το μάθημα που καλλιεργεί συνολικά το νου και τον προετοιμάζει να αντιμετωπίσει όχι μόνο προβλήματα Μαθηματικών αλλά και προβλήματα άλλων μαθημάτων, προβλήματα της ζωής γενικότερα. Προσωπικά, είναι το αγαπημένο μου μάθημα το οποίο δυστυχώς δεν εξετάζεται Πανελλαδικά, καταλαβαίνεις πιστεύω εύκολα το γιατί. Δεν είναι τυχαίο άλλωστε πως όταν εξεταζόταν ακόμη τα ποστοστά αποτυχίας ξεπερνούσαν ακόμα και αυτά της Άλγεβρας.

Anyway, μετά από αυτή τη μικρή, για το μάθημα, εισαγωγή θα ήθελα να διευκρινίσω κάποια πράγματα. Το θέμα της συζήτησης δεν υφίσταται ουσιαστικά. Γιατί; Απλά, στη Γεωμετρία δεν υπάρχει η ʽʼγενική μεθοδολογίαʼʼ την οποία συναντούμε, δυστυχώς, σε άλλα μαθήματα. Όποιος μιλά για ʽʼσωστό και μη τρόπο επίλησηςʼʼ, για ʽʼεύκολο/δύσκολο τρόπο επίλυσηςʼʼ, για ʽʼαποδεκτό και μη τρόπο επίλυσηςʼʼ*, καλύτερα να κάτσει και να ασχοληθεί με το μάθημα από την αρχή για να καταλάβει την ουσία και το νόημά του. Ουσιαστικά θέλω να καταλήξω στο ότι η Γεωμετρία παρέχει την απόλυτη ελευθερία στον τρόπο επίλυσης των ασκήσεων, αρκεί επαναλαμβάνω η λύση μας να ʽʼπατάʼʼ σε βάσιμη θεωρία, να είναι όπως μου αρέσει συχνά να λέω επιστημονικά αποδεκτή. Έτσι λοιπόν εξʼ αρχής η νοοτροπία ʽʼας συζητήσουμε για τις μεθόδους μαςʼʼ είναι λανθασμένη. Ο ίδιος άλλωστε θα έχεις διαπιστώσει πως όχι μόνο η διαδικασίες κυμαίνονται ανάλογα με την άσκηση αλλά και πως ο καθένας δουλεύει διαφορετικά. Για παράδειγμα, όπου βρω άσκηση στην οποία είναι εύκολο να εφαρμόσω την ʽʼεις άτοπον απαγωγήʼʼ την εφαρμόζω, μου αρέσει σαν μέθοδος. Άλλοι πάλι προτιμούν να πηγαίνουν από ʽʼάλλο μονοπάτιʼʼ. Δεκτό. Δε μπορώ να τους πω τίποτα όπως και αυτοί δε μπορούν να μου πουν τίποτα όσο οι τρόποι μας είναι επιστημονικά τεκμηριωμένοι. Αυτό ουσιαστικά είναι και το στοιχείο που μας κάνει να ερωτευόμαστε τη Γεωμετρία: η δυσκολία, η ελευθερία και η αυστηρότητα που παρουσιάζει. (δες τις τρεις αυτές λέξεις και πες μου ποιό άλλο μάθημα συνδυάζει αρμονικά τόσο διαφορετικές έννοιες).
ʽΕπειτα λοιπόν και από τις διαυρκινήσεις θα έπρεπε κανονικά να κλείσω, μιας και όπως τόνισα πριν το θέμα της συζήτησης είναι ουτοπικό. Ωστόσο, μου αρέσει να συζητώ με ανθρώπους που ενδιαφέρονται. Γιʼ αυτό και θα παραθέσω κάποιες ʽʼτεχνικέςʼʼ με τις οποίες μου αρέσει να δουλεύω σε ορισμένες ασκήσεις. Εδώ να σημειώσω πως οι τεχνικές αυτές προέρχονται από την προσωπική μου μελέτη και εμπειρία. Δεν προήλθαν ούτε από ξερή μεθοδολογία ενός καθηγητή, ούτε και από ʽʼεγχειρίδιαʼʼ επίλυσης ασκήσεων. Εν ολίγοις μπορεί να βοηθούν ή να μπερδεύουν κόσμο.

1) Προτιμώ σε κάθε κεφάλαιο να λύνω τις ασκήσεις με τη θεωρία του κεφαλαίου. Θα έχεις παρατηρήσει πως πολλές φορές υπάρχουν ασκήσεις που λύνονται και με θεωρία προηγούμενων κεφαλαίων. Ας σκεφτούμε όμως πως οι συγκεκριμένες βρίσκονται εκεί που βρίσκονται για να μας βοηθήσουν να αφομοιώσουμε και να κατανοήσουμε την καινούρια θεωρία.

2) Κατά την ενασχόλησή μου όλη την προηγούμενη εβδομάδα με τις ασκήσεις εμπέδωσης, με τις αποδεικτικές καθώς και με τα σύνθετα θέματα του κεφαλαίου 4 (σελ. 88-88) έβγαλα αρκετά συμπεράσματα τόσο για τις μεθόδους που με βοηθούν όσο και για τη χρησιμότητα της πλήρους επίγνωσης της θεωρίας. Επίσης δούλεψα αρκετά το θέμα του χρόνου και της ορθής χρήσης αυτού. Σε αυτές τις ασκήσεις λοιπόν συνήθιζα να μαζεύω όλα τα γνωστά στοιχεία που προκύπτουν από τις υποθέσεις των ασκήσεων ή από αποδείξεις και έπειτα χρησιμοποιούσα όσα χρειαζόμουν. Καταλαβαίνεις πως αυτή η τακτική και χρονοβόρα ήταν και μερικώς ʽʼάχρηστηʼʼ με την έννοια πως δε χρησιμοποιούσα τελικά όλα τα στοιχεία που μάζευα. Υιοθέτησα λοιπόν μια ενδιαφέρουσα τακτική, αρκετά γνωστή: Θέλεις να αποδείξεις πως μία σχέση α ισχύει; Πάρʼ την, ʽʼμετέτρεψέʼʼ την σε μία ισχύουσα νέα σχέση β και έτσι απόδειξε απλά πως, εφόσον ισχύει η β, ισοδύναμα ισχύει και η α. Είναι εξαιρετική μέθοδος η οποία εξοικονομεί χρόνο και ʽʼενέργειαʼʼ για τις υπόλοιπες ασκήσεις. Τσέκαρε τις 2,3,4,5,7 Αποδ. σελ. 87, 2 σύνθετα σελ. 88.

3) Μόλις λύσω κάποιες ασκήσεις συνηθίζω να επανέρχομαι και να τις ξαναλύνω το σαββατοκύριακο. Απλά γιατί έχοντας καθαρό μυαλό και αγνοώντας την προηγούμενη μέθοδο οδηγούμαι πολλές φορές σε νέο τρόπο επίλυσης ο οποίο μπορεί να είναι συντομότερος, απλούστερος και ʽʼπρακτικότεροςʼʼ για μένα.

Αυτά είναι μόνο τρία από τα πολλά στοιχεία του τρόπου που εγώ τουλάχιστον αντιμετωπίζω τις ασκήσεις. Μπορείς σαφώς να εκφράσεις την άποψή του, να ʽʼδιορθώσειςʼʼ και να αντιπροτείνεις. Γιʼ αυτό άλλωστε βρίσκομαι εδώ, για συζήτηση. Όπως και να ʽχει φίλε μου σε συμβουλεύω να συνεχίσεις την ενασχόλησή σου με αυτό το εκπληκτικό μάθημα, με το μάθημα που έχει άνετα τη δυνατότητα να καλλιεργήσει και να ενισχύσει τη λογική και κριτική μας σκέψη.
Farewell.

*τουλάχιστον στο επίπεδο που βρίσκομαι εγώ τώρα
**εννοείται πως απαραίτητη προϋπόθεση είναι η επιστημονική ορθότητα του τρόπου επίλυσης

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.