Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

[Dias]

Τότε για ποιο λόγο ανακοινώνεται στην αρχή της σχολικής χρονιάς η διδακτέα ύλη; Οι οδηγίες πρέπει να τηρούνται πιστά από τους διδάσκοντες, οι οποίοι πρέπει να δίνουν στους μαθητές κατάλληλες ασκήσεις εμβάθυνσης και καλλιέργειας της μαθηματικής σκέψης, αλλά πάντα εντός της διδακτέας ύλης και όχι να επιδιώκουν να τους εντυπωσιάζουν βάζοντας ασκήσεις εκτός ύλης (συνηθισμένη τακτική πολλών φροντιστών και, δυστυχώς, κάποιων καθηγητών σχολείων).

Δεν συμφωνώ στο να είναι ο καθηγητής απλός διεκπεραιωτής εγκυκλίων (τις οποίες τις πιο πολλές φορές έχουν γράψει καρεκλοκένταυροι που έχουν δεκαετίες να μπουν σε σχολική τάξη). Ο σωστός δάσκαλος πρέπει να οσμίζεται τον παλμό της τάξης του και να προχωρά και λίγο πιο πέρα από τα στενά όρια της "διδακτέας ύλης". Δεν είπαμε να διδάξει επικαμπύλια ολοκληρώματα στην Α' λυκείου, όμως μπορεί λιγάκι να ξεφεύγει από τις στενές οδηγίες του στυλ "η παράγραφος τάδε και η εφαρμογή δείνα να μη διδαχθούν". Πολλές φορές οι "παραλείψεις" που προτείνονται κατακερματίζουν ανόητα το αντικείμενο. Δύο παραδείγματα από τη Φυσική: Ο μαθητής της Β λυκείου μαθαίνει τον ορισμό της αντίστασης αγωγού, αλλά η παράγραφος που εξηγεί από τι εξαρτάται η αντίσταση είναι "εκτός". Άλλο; Στην Α λυκείου η ισορροπία πολλών δυνάμεων είναι "εκτός", καθώς και κάθε τι σχετικό με κεκλιμένο επίπεδο. Όμως αυτά θα χρειαστούν πάρα πολύ στις επόμενες τάξεις. Ευτυχώς οι πιο πολλοί καθηγητές αγνοούν τις οδηγίες αυτές και τα διδάσκουν. (Προφανώς όμως δεν τα βάζουν στις εξετάσεις). Ο καθηγητής δεν μπορεί να αποτελεί πειθήνιο όργανο των γραφειοκρατών, αλλά θα είναι σωστός δάσκαλος όταν παίρνει την πρωτοβουλία να ωφελήσει τους μαθητές του.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 8 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[flamingo]

Μα τι λέμε εδώ τώρα, ότι θα ωφελήσει το μαθητή και θα διευρύνει τους ορίζοντές του ο καθηγητής εκείνος που θα διδάξει ανισότητες με πιθανότητες στην Α λυκείου και μάλιστα παραμονές των εξετάσεων; Δεν υπάρχουν τόσα και τόσα θέματα εμβάθυνσης στα 7 ολόκληρα κεφάλαια της διδακτέας ύλης; Ας σοβαρευτούν κάποιοι ή τουλάχιστον, ας περιοριστούν στο αντικείμενό τους και ας μην εκφέρουν γνώμη επί παντός επιστητού, χωρίς να έχουν ιδέα για άλλα αντικείμενα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 8 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Καλησπέρα! Παιδιά, λύνω ασκήσεις από το βοήθημα για την εξίσωση χ^ν=α και έχω κολλήσει σε μία.. κοίταξα και πίσω την λύση αλλά δεν καταλαβαίνω τι έχει κάνει.. η εξίσωση είναι 49χ^8=7^18.. μπορεί κάποιος να βοηθήσει;;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

το 49 μπορεις να το γραψεις 7^2 οποτε αν διαιρεσεις με 7^2 θα εχεις x^8=7^18/7^2 (α^β/α^μ=α^β-μ) Αρα x^8=7^16 αρα χ=+-8ριζα7^16

επειδη ριζαβ=β^1/2 το χ θα ισουται με +-7^16/8=+-7^2=+-49

αν δεν σε βολευει αυτος ο τροπος πηγαινε τα ολα στο α μελος και βγαλε κοινο παραγοντα το 7^2
Δηλαδη θα εχεις 7^2(χ^8-7^16)=0=> χ^8=7^16<=>χ=+-8ριζα7^16 κλπ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Σε ευχαριστώ Άγγελε!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Παρακαλω αν εχεις προβλημα και παλι λογω πραξεων μπορεις να θεσεις το χ^8=υ^4=y^2 (αν και δεν θα το συνιστουσα)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Agnwsth]

Όχι, μια χαρά τα κατάφερα.. απλά επειδή τα κάνω πρώτη φορά "δεν έβλεπα".. τώρα "βλέπω" .. αν καταλαβαίνεις τι εννοώ :p

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Αγγελος Κοκ]

Όχι, μια χαρά τα κατάφερα.. απλά επειδή τα κάνω πρώτη φορά "δεν έβλεπα".. τώρα "βλέπω" .. αν καταλαβαίνεις τι εννοώ :p

ναι χαχαχ ειναι συνηθες φαινομενο στις θετικες επιστημες

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[fotinipapa]

Καλησπέρα σας
Λοιπόν πηγαίνω ά λυκειου και θα ηθελα να βελτιώθω στα μαθηματικά.Δεν είναι ότι δεν είμαι καλή και ότι έχω κενά,αφού διάβαζα στο γυμνασιο ειδικά στη γ γυμνασιου ,απλώς δεν ειμαι μαθηματικό μυαλό.Θα χαρακτηριζα τον εαυτο μου ανθρωπο των ανθρωπιστικων μαθηματων.Στην α λυκειου γράψαμε ενα διαγνωστικο προειδοποιήμενο τεστ,για το οποίο είχα καταβάλλει μεγάλη προσπάθεια στην προετοιμασία.Ελυσα πολλα συστήματα,έκανα ασκήσεις παραγοντοποιησης,εξισώσεις β βαθμου,ταυτοτητες,ρητές αλγεβρικες παραστασεις
Παρόλα αυτά λόγω απροσεξιας (συγκεκριμένα υπήρχε ένα συστήμα,και για να το λύσω το αντέγραψα σε πρόχειρο αλλα το αντέγραψα λάθος όποτε το έλυσα και λάθος,γεγονός για το οποίο έχασα 2.5 μονάδες,οπότε και έγραψα 17.5/20)Εκνευριστηκα παρα πολυ επειδη δεν ήθελα η μαθηματικός που έχω να σχηματίσει αρνητική άποψη για έμενα,ακόμη κι αν δ εν εχει επίπτωση το διαγνωστικό στη βαθμολογία μου.
Εν πάση περιπτώσει θα ηθελα να γίνω καλύτερη απο τι ειμαι στα μαθηματικά και να αποκτήσω τη λεγόμενη μαθηματική σκέψη αν είναι δυνατό,ώστε του χρόνου να επιλέξω θετική κατεύθυνση
Οι προτάσεις σας για το πως να βελτιώθω στα μαθηματικα θ μου ηταν ποκυ χρησιμες
Ευχαριστώ εκ των προτερων

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Elliot 01]

Καλησπέρα σας
Λοιπόν πηγαίνω ά λυκειου και θα ηθελα να βελτιώθω στα μαθηματικά.Δεν είναι ότι δεν είμαι καλή και ότι έχω κενά,αφού διάβαζα στο γυμνασιο ειδικά στη γ γυμνασιου ,απλώς δεν ειμαι μαθηματικό μυαλό.Θα χαρακτηριζα τον εαυτο μου ανθρωπο των ανθρωπιστικων μαθηματων.Στην α λυκειου γράψαμε ενα διαγνωστικο προειδοποιήμενο τεστ,για το οποίο είχα καταβάλλει μεγάλη προσπάθεια στην προετοιμασία.Ελυσα πολλα συστήματα,έκανα ασκήσεις παραγοντοποιησης,εξισώσεις β βαθμου,ταυτοτητες,ρητές αλγεβρικες παραστασεις
Παρόλα αυτά λόγω απροσεξιας (συγκεκριμένα υπήρχε ένα συστήμα,και για να το λύσω το αντέγραψα σε πρόχειρο αλλα το αντέγραψα λάθος όποτε το έλυσα και λάθος,γεγονός για το οποίο έχασα 2.5 μονάδες,οπότε και έγραψα 17.5/20)Εκνευριστηκα παρα πολυ επειδη δεν ήθελα η μαθηματικός που έχω να σχηματίσει αρνητική άποψη για έμενα,ακόμη κι αν δ εν εχει επίπτωση το διαγνωστικό στη βαθμολογία μου.
Εν πάση περιπτώσει θα ηθελα να γίνω καλύτερη απο τι ειμαι στα μαθηματικά και να αποκτήσω τη λεγόμενη μαθηματική σκέψη αν είναι δυνατό,ώστε του χρόνου να επιλέξω θετική κατεύθυνση
Οι προτάσεις σας για το πως να βελτιώθω στα μαθηματικα θ μου ηταν ποκυ χρησιμες
Ευχαριστώ εκ των προτερων

Κατά την άποψη μου ο πιο αποτελεσματικός τρόπος για να βελτιωθείς είναι να λύνεις πολλές ασκήσεις. Ξεκίνα με τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου, έπειτα με μια αναζήτηση στο διαδίκτυο θα βρεις αρκετές μαθηματικές ιστοσελίδες που προσφέρουν μια πληθώρα ασκήσεων. Αν δεν σε καλύψουν τα παραπάνω ή θες πιο μεθοδικό διάβασμα (εφόσον έχεις την οικονομική δυνατότητα φυσικά) μπορείς να αγοράσεις ένα βοήθημα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 7 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aggelosst9]

8x^5 = 2^18
Εδώ τί κάνουμε;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 190013]

Ένα χιντ: Το 2^18 γράφεται 8^6

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aggelosst9]

Ευχαριστώ πολύ klean αλλά τελικά έκανα το 8 2^3 και το πήγα από εκεί.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 190013]

Μια χαρά, αυτές οι ασκήσεις είναι για να παίζεις με τις δυνάμεις.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aggelosst9]

Παιδιά να ρωτήσω, ας πούμε έχουμε την ανίσωση |3x-5|+2 < 7 (εντελώς τυχαίο). Μεταφέρουμε το 2 από δίπλα και μετά κάνουμε την ιδιότητα -χ < |χ| < χ ή κατευθείαν;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[fotinipapa]

Ναι μεταφέρεις το 2 από την άλλη και γινεται:
|3χ-5|<5 και κανείς την ιδιότητα που είπες,ώσπου να απομονωθεί ο Χ ( -5< 3χ-5<5 συνεπάγεται 0< 3χ<10 συνεπάγεται 0<χ<10/3)

(Για τις καρδιές φταίει το < με το 3 δίπλα διπλα)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aggelosst9]

Χαχαχα ευχαριστώ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aggelosst9]

Αν η ανίσωση αχ+β ≥ 0, με α,β χεR, έχει λύσεις τα χεR με x ≤ 4, να λύσετε την ανίσωση αχ² + β < 0.
Μήπως μπορεί κανείς να μου το εξηγήσει κανείς όσο γίνεται απλά, γιατί είδα τη λύση στο βοήθημα και δεν την πολυκατάλαβα.

Και αυτό αν θα μπορούσε κάποιος
Δίνεται το τριώνυμο αχ² + βχ + γ με ρίζες ρ1 και ρ2 για τις οποίες είναι ρ1 < 0 < ρ2. Αν ισχύει αχ² + βχ + γ > 0 ⇔ χ ανήκει (ρι,ρ2) να βρείτε τα πρόσημα των α,γ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Samael]

Αν η ανίσωση αχ+β ≥ 0, με α,β χεR, έχει λύσεις τα χεR με x ≤ 4, να λύσετε την ανίσωση αχ² + β < 0.
Μήπως μπορεί κανείς να μου το εξηγήσει κανείς όσο γίνεται απλά, γιατί είδα τη λύση στο βοήθημα και δεν την πολυκατάλαβα.

Και αυτό αν θα μπορούσε κάποιος
Δίνεται το τριώνυμο αχ² + βχ + γ με ρίζες ρ1 και ρ2 για τις οποίες είναι ρ1 < 0 < ρ2. Αν ισχύει αχ² + βχ + γ > 0 ⇔ χ ανήκει (ρι,ρ2) να βρείτε τα πρόσημα των α,γ.

Για το πρωτο μπορεις να σκεφτεις ως εξης.
αχ+β>=0 για καθε χ<=4 αρα για χ = 4 θα ειναι 4α+β=0 => β=-4α (σχεση 1) (Προκειται για την οριακη συνθηκη,και εφοσον η συναρτηση μπορει να ειναι ειτε θετικη ειτε μηδενικη,στην οριακη συνθηκη πρεπει να ειναι 0 ωστε επειτα να γινει αρνητικη και να μην ικανοποιειται ο περιορισμος μας).
Επειτα προκυπτει για το αχ²+β = 0 οτι εχει διακρινουσα θετικη(Αλιμονο δηλαδη εαν δεν ηταν διοτι μας ζητα να λυσουμε για ποια χ ειναι αρνητικη ,οποτε Δ=0,Δ<0 δεν περιμεναμε καθως τοτε θα ψαχναμε για το προσημο του α και θα τελειωναμε και οχι ενα συνολο των πραγματικων) καθως :

Δ = β²-4αγ = 0²-4αβ = -4α*(-4α) = 16α² >0(σχεση 2) για καθε χ Ε R λογω της (1).
Επειτα παιρνεις τον γνωστο τυπο και θα βρεις

χ1,2 = -β+-sqrt(Δ)/2α = 8α+-2α .(αντικαθιστας οπου το Δ το αποτελεσμα της σχεσης 2 που θα βγει ως 4|α|,το απολυτο μπορεις να το ξεφορτωθεις εαν θες καθως ο τυπος ηδη προνοεί με το +- που εχει εκ φυσεως,αρα μας καλυπτει.)

Τωρα εστω οτι ηταν α>0,τοτε για χ = 0 απο την αχ+β=y εχουμε β=y.
Ομως επειδη το 0<4 θα πρεπει να ισχυει αχ+β>0.
Αλλα β = -4α = y.
Συνεπως y<0. Ατοπο βεβαια αρα ειναι α<0.
Τελικα η ανισωση εχει λυση :

χ<8α-2α η χ>8α+2α

Ισως να μπορεις να βρεις και αλλιως το προσημο του α πιο ευκολα,απλα ετσι μου ηρθε τωρα οποτε δεν το πολυψαχνω παραπανω,πειραματισου ομως δεν βλαπτει(Ενας αλλος εξισου σωστος τροπος θα ελεγα ειναι να σκεφτεις οτι αφου η συναρτηση καθως τα χ τρεχουν προς το -οο παραμενει πανω απο το 0 τοτε πρεπει να ειναι γνησιως φθινουσα.Επειδη ειναι γραμμη και γνησιως φθινουσα ο συντελεστης διευθυνσης ειναι α<0.)

Οσο για την δευτερη,εχεις αχ²+βχ+γ >0 για καθε ρ1<χ<ρ2.
Αρα εφοσον η δευτεροβαθμια εχει δυο πραγματικες ριζες θα εχει Δ>0 και επειδη ειναι θετικη αναμεσα στις ριζες,α<0.
Επισης οι ριζες ειναι ετεροσημες αρα p=γ/α=ρ1*ρ2<0.
Ομως εχουμε ηδη βρει οτι το α<0 αρα ειναι γ>0.

Ελπιζω να βοηθησα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[aggelosst9]

Αρα εφοσον η δευτεροβαθμια εχει δυο πραγματικες ριζες θα εχει Δ>0 και επειδη ειναι θετικη αναμεσα στις ριζες,α<0.

Αυτό θα μπορούσες να το εξηγήσεις λίγο;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.