Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

miv · 15-02-09

billaras, όσα λες είναι δεκτά. Σαφώς και η ισοδυναμία εξασφαλίζει διπλή κατεύθυνση στο όλο θέμα. Αλλά σου ξαναλέω ότι ακριβώς αυτό σου ζητάει η άσκηση να δείξεις. Ότι ισχύει η ισοδυναμία!
Αλλιώς θα σου έδινε μιας κατεύθυνσης απόδειξη να κάνεις.
-----------------------------------------
Η ισοδυναμία δεν ισχύει πάντα, είναι δεδομένο αυτό. Αν σου θέσουν μια πρόταση το μόνο που ισχύει πάντα είναι το αντιθετοαντίστροφο, όχι το αντίστροφο.
Και σου ξαναλέω, εδώ δεν πρόκειται περί καμίας θέσης. Ερώτημα είναι και εσύ είσαι υποχρεωμένος να αποδείξεις ότι οι προτάσεις είναι ισοδύναμες, είτε αν χρησιμοποιήσεις σύμβολο ισοδυναμίας, για του οποίου τη χρήση πρέπει να είσαι σίγουρος, είτε αν αποδείξεις ξεχωριστά το ευθύ και το αντίστροφο. Και σου λέω ότι σου προτείνω το δεύτερο γιατί ΔΕΝ είναι καθόλου σίγουρο ότι οι ισοδυναμίες που εσύ θα θεωρήσεις όντως θα στέκουν.

X-FILER · 15-02-09

ρε το λυσσαρι εχει μπερδεψει τις ασκησεις!!!εχει μεχρι το 3.4 και μετα παει κατευθειαν στο 4.5!ευχαριστω παιδια!!!

thewatcher · 15-02-09

Για x+y,y+z,x+z παίρνουμε ανισότητες Αριθμητικού-Γεωμετρικού μέσου άρα έχουμε:

$x+y\geq2\sqrt{xy}$
$y+z\geq2\sqrt{yz}$
$x+z\geq2\sqrt{xz}$

Πολ/ζουμε κατά μέλη και έχουμε αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε.

djimmakos · 15-02-09

Σωστός

Ορίστε ακόμα μια special for you by me:

Aν $a,b,c>0$ και $n \in N$ , να δειχθεί ότι:

$\frac{a^{2n}}{c^{3n}}+ \frac{b^{4n}}{a^n}+ \frac{c^{6n}}{b^{2n}}\geq a^n+ b^{2n}+c^{3n}$

thewatcher · 15-02-09

Αρχικά ονομάζουμε αυτή τη σχέση (1): $\frac{a}{a'}+\frac{b}{b'}+\frac{c}{c'}\geq\frac{{(a+b+c)}^{2}}{a'+b'+c'}$ , η οποία αποδεικνύεται εύκολα.

Από (1) στο πρώτο μέλος, έχουμε:
$\frac{a^{2n}}{c^{3n}}+ \frac{b^{4n}}{a^n}+ \frac{c^{6n}}{b^{2n}}\geq\frac{{({a}^{2n}+{b}^{4n}+{c}^{6n})}^{2}}{a^{n}+{b}^{2n}+{c}^{3n}}$

Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
$\frac{{({a}^{2n}+{b}^{4n}+{c}^{6n})}^{2}}{a^{n}+{b}^{2n}+{c}^{3n}}\geq a^n+ b^{2n}+c^{3n}$

$\Leftrightarrow {({a}^{2n}+{b}^{4n}+{c}^{6n})}^{2}\geq{(a^{n}+{b}^{2n}+{c}^{3n})}^{2}$

$\Leftrightarrow {a}^{2n}+{b}^{4n}+{c}^{6n}\geq a^{n}+{b}^{2n}+{c}^{3n}$

Το οποίο είναι προφανές, επειδή $a,b,c>0$

Η ισότητα ισχύει αν $a=b=c=1$

djimmakos · 15-02-09

Yπάρχει και πιο εύκολος τρόπος...
Βέβαια δεν ξέρω αν η (1) που έχεις ισχύει...

Αν κοιτάξεις σε προηγούμενο post μου έχω μια τέτοια ανίσωση αλλά ισχύει όταν οι αριθμητές είναι τετράγωνα.

Οπότε μάλλον δεν είναι σωστή η λύση σου...

thewatcher · 15-02-09

Χμμ έχεις δίκιο, τη μπέρδεψα... Θα το ξανασκεφτώ αργότερα μήπως βρω άλλη λύση.

djimmakos · 15-02-09

Αρχική Δημοσίευση από thewatcher:
Χμμ έχεις δίκιο, τη μπέρδεψα... Θα το ξανασκεφτώ αργότερα μήπως βρω άλλη λύση.

Take your time

thewatcher · 15-02-09

α σχεδόν ιδια είναι η λύση.

$\frac{a^{2n}}{c^{3n}}+ \frac{b^{4n}}{a^n}+ \frac{c^{6n}}{b^{2n}}\geq\frac{{({a}^{n}+{b}^{2n}+{c}^{3n})}^{2}}{a^{n}+{b}^{2n}+{c}^{3n}}$

το οποίο είναι ίσο με το 2ο μέλος

djimmakos · 15-02-09

Σωστός:p

Το μόνο που έπρεπε κάποιος να σκεφτεί είναι ότι $a^{2n}=(a^n)^2$ κ.ο.κ και θα είχε ξεκαθαρίσει:p

Boom · 15-02-09

Αν

α,β, γ, κ,λ∈&#56256;&#56412; με α ≠ β ≠ γ ≠ α (οι αριθμοί α, β, γ, ανά δυο είναι

διάφοροι) και ισχύουν:
α^3+ λα + κ = 0 (1), β^3 + λβ + κ = 0 (2), γ^3+ λγ + κ = 0 (3)

Δείξτε ότι

:
α+β+γ=0

thewatcher · 15-02-09

Πού τις βρήκες αυτές τις ασκήσεις;

Αρχική Δημοσίευση από theodora:
Αν

α,β, γ, κ,λ∈�� με α ≠ β ≠ γ ≠ α (οι αριθμοί α, β, γ, ανά δυο είναι

διάφοροι) και ισχύουν:
α^3+ λα + κ = 0 (1), β^3 + λβ + κ = 0 (2), γ^3+ λγ + κ = 0 (3)

Δείξτε ότι

:
α+β+γ=0

Γράψτο σε λατεχ καλύτερα...

Boom · 15-02-09

δεν ξερω να το χρησιμοποιω:p

djimmakos · 15-02-09

Αρχική Δημοσίευση από thewatcher:
Πού τις βρήκες αυτές τις ασκήσεις;

Γράψτο σε λατεχ καλύτερα...

Αυτή με τις ανισότητες γεωμετρικού - αριθμητικού μέσου κάπου την έχω δει αλλά δε θυμάμαι που

Την άλλη την έβγαλα μόνος μου

βιλλαρασ · 17-02-09

Αρχική Δημοσίευση από miv:
billaras, όσα λες είναι δεκτά. Σαφώς και η ισοδυναμία εξασφαλίζει διπλή κατεύθυνση στο όλο θέμα. Αλλά σου ξαναλέω ότι ακριβώς αυτό σου ζητάει η άσκηση να δείξεις. Ότι ισχύει η ισοδυναμία!
Αλλιώς θα σου έδινε μιας κατεύθυνσης απόδειξη να κάνεις.
-----------------------------------------
Η ισοδυναμία δεν ισχύει πάντα, είναι δεδομένο αυτό. Αν σου θέσουν μια πρόταση το μόνο που ισχύει πάντα είναι το αντιθετοαντίστροφο, όχι το αντίστροφο.
Και σου ξαναλέω, εδώ δεν πρόκειται περί καμίας θέσης. Ερώτημα είναι και εσύ είσαι υποχρεωμένος να αποδείξεις ότι οι προτάσεις είναι ισοδύναμες, είτε αν χρησιμοποιήσεις σύμβολο ισοδυναμίας, για του οποίου τη χρήση πρέπει να είσαι σίγουρος, είτε αν αποδείξεις ξεχωριστά το ευθύ και το αντίστροφο. Και σου λέω ότι σου προτείνω το δεύτερο γιατί ΔΕΝ είναι καθόλου σίγουρο ότι οι ισοδυναμίες που εσύ θα θεωρήσεις όντως θα στέκουν.

φιλε μου αφου δεν βλεπω ριζες και τα λοιπα θα ισχυει
και αφου ειναι πιο ευκολο ετσι γιατι να παιδευομαστε

τωρα αν δεν ξερεις να στησεις την ισοδυναμια=δεν ξερεις να μεταφρασης καποια συνθηκη...αρα ουτε με ευθεια μεθοδο θα μπορουσες...!!!

miv · 17-02-09

Γιατί αυτό μπορεί να είναι πιο εύκολο, αλλά κατά κανόνα ο τρόπος που σου προσφέρει επίλυση χωρίς σφάλμα ή μπλέξιμο είναι ο άλλος.
Η στήριξη της ισοδυναμίας δεν θα σου δίνεται, συνήθως, σε καμία συνθήκη και θα πρέπει να τη στηρίξεις μόνος σου, με ψάξιμο.
Δεν επιμένω, πάντως, με το τρίψιμο θα το διαπιστώσεις και μόνος σου.

lefteris94 · 17-02-09

ρε μιβ είσαι διάννοι εσύ ρε φίλε.,,,,,,,,,,

Φιλιον_Τερας · 17-02-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
$3x^2+6ax+3a^2 (i)$

αυτο παραγοντοποιηται(i killed it) αμεσως
$\left({\sqrt{3}}\right)^{2} {x}^{2} + 2\sqrt{3}\sqrt{3}ax + \left({\sqrt{3}}\right)^{2} {a}^{2} \Leftrightarrow {\left(\sqrt{3}x + \sqrt{3}a \right)}^{2}$
-----------------------------------------
η ισοδυναμια δεν ισχυει σε εξαιρετικες περιπτωσεις στους πραγματικους αριθμους
-----------------------------------------

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
Ωραία θα σου αποδείξω ότι 2=3...

Λοιπόν 2=3 <=> (αν πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη με το 0) 0=0 το οποίο ισχύει, έτσι δεν είναι;

Άρα 2=3 και σύμφωνα μ' αυτή τη λογική, 7=34, 6=23, 9=2 και όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους.

Τι καθόμαστε και ασχολούμαστε λοιπόν;

(ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΛΑΘΟΣ?)

το λαθος ειναι στο γεγονος οτι το μηδεν ειναι το ουδετερο στοιχειο του πολλαπλασιασμου.

miv · 17-02-09

Η μονάδα είναι ουδέτερο στοιχείο στον πολλαπλασιασμό.

Φιλιον_Τερας · 17-02-09

σωστα
το 0 στην προσθεση. βλακεια μου

Βοήθεια/Απορίες στην Άλγεβρα

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος