Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

[Ricky]

Από οποιαδήποτε τρία μή συνεθυθειακά σημεία μπορεί να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη ένας κύκλος ή να βρεθεί η εξίσωσή του (αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες και των τριών σημείων).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Αν β διάνυσμα διάφορο του μηδενικού και α είναι μοναδιαίο και η εξίσωση Ια+χβΙ=1 έχει διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι α κάθετο στο β.

α̅(α₁,α₂) , β̅(β₁,β₂) , |α̅| = 1 => α₁²+α₂² = 1 , α̅ + χβ̅ = (α₁+χβ₁, α₂+χβ₂)
|α̅ + χβ̅|= 1 => (α₁+χβ₁)²+ (α₂+χβ₂)² = 1 => . . . =>
=> (β₁²+β₂²)χ² + 2(α₁β₁+α₂β₂)χ + (α₁²+α₂²) = 1 =>
=> (β₁²+β₂²)χ² + 2(α₁β₁+α₂β₂)χ = 0
Διπλήρίζα: Δ=0 => . . . => α₁β₁+α₂β₂ = 0 => α̅ ⊥ β̅

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[OoOkoβοldOoO]

ρε σεις εγώ το κάνω κάπως αλλιώς. Περιμένετε λίγο γιατί σκανάρω το τετράδιο με τη λύση μου μπας και μπορέσω να το ανεβάσω να σας τη δείξω...

View attachment 33796
Πλιζ δες τε λίγο στην 87 άσκηση μέχρι εκεί που έκανα επειδή με αυτόν τον τρόπο ξερω να τη λύνω...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Παιδιά 3 σημεία ορίζουν πάντα κύκλο;

3 μη συνευθειακά σημεία ορίζουν πάντα κύκλο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ricky]

View attachment 33796
Πλιζ δες τε λίγο στην 87 άσκηση μέχρι εκεί που έκανα επειδή με αυτόν τον τρόπο ξερω να τη λύνω...

Θα σε μαλώσω... Στην άσκηση 87 που γράφεις στο συνημμένο, στην 3η σειρά, το απόλυτο είναι ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ. Η σχέση που γράφεις δεν ισχύει. Ισχύει η σχέση με τη ρίζα που γράφω στο link του googledocs.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vavlas]

3 μη συνευθειακά σημεία ορίζουν πάντα κύκλο.

Ένα απο αυτά τα σημεία θα είναι το κέντρο του.
Σωστά;
Αν όμως τα άλλα δυο σημεία δεν απέχουν την ίδια απόσταση από το κέντρο,πως ορίζεται ο κύκλος;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[OoOkoβοldOoO]

Γιατί άμα το υψώσω στο τετράγωνο δεν φεύγει το απόλυτο;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Ricky]

Ένα απο αυτά τα σημεία θα είναι το κέντρο του.
Σωστά;
Αν όμως τα άλλα δυο σημεία δεν απέχουν την ίδια απόσταση από το κέντρο,πως ορίζεται ο κύκλος;

Όταν λέμε ότι 3 μη συνευθειακά σημεία ορίζουν ένα κύκλο εννοούμε ότι η περιφέρεια του κύκλου διέρχεται από τα 3 αυτά σημεία. Για την ακρίβεια, ο κύκλος θα είναι ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που ορίζεται από τα 3 σημεία.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Γιατί άμα το υψώσω στο τετράγωνο δεν φεύγει το απόλυτο;

Η ιδιότητα που χρησιμοποιείς ισχύει. Καλά πάς μέχρι που φτάνεις στο τριώνυμο. Δεν χρειάζεται όμως να ανακατέψεις το συνθ ούτε το -β/2α. Διπλή ρίζα σημαίνει Δ = 0 ...και βγήκε!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[OoOkoβοldOoO]

Α είπα μήπως κι εδώ θα τρωγα ξύλο...πλάκα κάνω! 1000thanks!!!!!!!!!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Dias]

Α είπα μήπως κι εδώ θα τρωγα ξύλο...πλάκα κάνω! 1000thanks!!!!!!!!!!!

Είπαμε: καρότο και μαστίγιο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[OoOkoβοldOoO]

Το καρότο τι σημαίνει; Δεν κατάλαβα...Μήπως παραπέμπει στο γνωστό παιδικό τραγουδάκι;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[vavlas]

Όταν λέμε ότι 3 μη συνευθειακά σημεία ορίζουν ένα κύκλο εννοούμε ότι η περιφέρεια του κύκλου διέρχεται από τα 3 αυτά σημεία. Για την ακρίβεια, ο κύκλος θα είναι ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που ορίζεται από τα 3 σημεία.

Ευχαριστώ.
Αυτό με κάλυψε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[..anna maraki..]

Θελω λιγο μια βοήθεια σε δυο ασκησεις...Για δειτε λίγο

1)Εστω οτι για τα διανύσματα α, β ισχυουν οτι ΙαΙ=1 και προβα β= -2α
Να βρειτε το γινομενο α*β
Να βρειτε το διανυσμα χ τετοιο ωστε χ//(α-β) και α καθετο στο (χ-2β)
Αν γωνια (α,β)=120 και ΑΒ=β να βρειτε το ΙΑΒΙ και το γεωμετρικο τόπο των σημειων Μ για τα οποια ισχυει ΜΑ*ΜΒ=1

2)Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με Α(3,-1) Β (7,2) Γ(-5/7,-2) και ΑΜ διαμεσος.
Να βρειτε τη γωνια των διανυσματων ΑΒ,ΑΜ
να βρειτε το σημειο Ρ στον αξονα χ'χ ωστε το τριγωνο ΑΡΒ να ειναι ορθογωνιο στο Ρ
Να βρειτε την προβολη του ΑΜ στο ΑΒ
Αν μπορειτε βοηθήστε με λιγάκι...Εστω και ενα ερώτημα...Οτι μπορειτε...τις χρειάζομαι μεχρι αυριο το πρωι και δεν μπορω να τις λυσω...

Τα γραμματα ειναι διανυσματα(απλα δεν μπορω να βαλω)
ΑΑ!! οι ασκησεις αυτες ειναι απο την ελληνοεκδοτικη στη σελίδα 103 για οποιον έχει το βιβλιο...
Καντε κατι!!! Σας παρακαλώ!!!!!!!!!!!!!!
Ευχαριστω!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

1)Εστω οτι για τα διανύσματα α, β ισχυουν οτι ΙαΙ=1 και προβα β= -2α
Να βρειτε το γινομενο α*β
Να βρειτε το διανυσμα χ τετοιο ωστε χ//(α-β) και α καθετο στο (χ-2β)
Αν γωνια (α,β)=120 και ΑΒ=β να βρειτε το ΙΑΒΙ και το γεωμετρικο τόπο των σημειων Μ για τα οποια ισχυει ΜΑ*ΜΒ=1

i) αβ=απροβαβ=α(-2α)=-2α²=-2|α|²=-2

ii) α κάθετο (x-2β) => α(χ-2β)=0 => αχ-2(αβ)=0 => αχ=2(αβ) => αx=-4

x//(α-β) => υπάρχει λ ανήκει R τέτοιο ώστε χ=λ(α-β)

Άρα α[λ(α-β)]=-4 => λ[α(α-β)]=-4 => λ(α²-αβ)=-4 => λ(|α|²-αβ)=-α => 3λ=-4 => λ=-4/3

Επομένως x=-(4/3)(α-β)

iii) αβ=|α||β|συν(α,β) => |β|=αβ/[|α|συν(α,β)] => |β|=4

Θεωρώ δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Αxy με αρχή το Α(0,0) τέτοιο ώστε ο άξονας x να έχει τη διεύθυνση του α και το α να έχει φορά προς τα θετικά του άξονα x. Η ευθεία που διέρχεται από τα Α και Β σχηματίζει γωνία φ=120° ως προς τον άξονα x. Το σημείο Β(χΒ, yB) έχει συντεταγμένες:

xB=|AB|συνφ => χΒ=-2
yB=|AB|ημφ => yB=2sqrt(3)

Αν Μ(x,y) τότε MA=(-x,-y) και MB=(-2-x, 2sqrt(3)-y), οπότε

MA MB=1 => x(x+2)+y(y+2sqrt(3))=1 => x²+y²+2x+(2sqrt(3))y-1=0

Η παραπάνω εξίσωση έχει τη μορφή x²+y²+Ax+By+Γ=0 όπου Α=2, Β=2sqrt(3) και Γ=-1.

Α²+Β²-4Γ=20>0 => Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρο Κ(-Α/2, -Β/2) => Κ (-1, -sqrt(3)) και ακτίνας ρ=(sqrt(Α²+Β²-4Γ))/2=sqrt(5)

Για να ξεφορτωθούμε το σύστημα συντεταγμένων Αxy το οποίο εισάγαμε αυθαίρετα, θα εκφράσουμε το ΚΑ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β. Έχουμε ΚΑ=(1,sqrt(3)), α=(1,0) αφού έχει τα θετικά του x και μέτρο 1 και β=ΑΒ=(-2,2sqrt(3)). Θεωρώ τους ακεραίους κ, μ ώστε ΚΑ=κα+μβ=(κ-2λ, 2sqrt(3)λ). Άρα κ-2λ=1 και 2sqrt(3)λ=sqrt(3). Συνεπώς λ=1/2 και κ=2.
Άρα ΚΑ=2α+(1/2)β => ΑΚ=-2α-(1/2)β

Συνεπώς το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ τέτοιο ώστε ΑΚ=-2α-(1/2)β και ακτίνας ρ=sqrt(5).

2)Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με Α(3,-1) Β (7,2) Γ(-5/7,-2) και ΑΜ διαμεσος.
Να βρειτε τη γωνια των διανυσματων ΑΒ,ΑΜ
να βρειτε το σημειο Ρ στον αξονα χ'χ ωστε το τριγωνο ΑΡΒ να ειναι ορθογωνιο στο Ρ
Να βρειτε την προβολη του ΑΜ στο ΑΒ

i) Το Μ(xM, yM) είναι μέσο της ΒΓ, οπότε

xM=(7-(5/7))/2=22/7 και yM=(2-2)/2=0. Άρα Μ(22/7,0)

ΑΒ=(4,3) |ΑΒ|=5
ΑΜ=(1/7,1) |ΑΜ|=(5/7)sqrt(2)

AB AM=(4/7)+3=25/7

συν(AB,AM)=(ΑΒ ΑΜ)/(|ΑΒ||ΑΜ|)=sqrt(2)/2=συν(π/4) => (ΑΒ ΑΜ)=π/4 αφού 0<=(ΑΒ ΑΜ)<π

ii) Ρ(α,0) αφού ανήκει στον άξονα x.
ΡΑ=(3-α,-1)
ΡΒ=(7-α,2)

ΡΑ ΡΒ=α²-10α+19

Τα διανύσματα ΡΑ και ΡΒ είναι κάθετα οπότε

ΡΑ ΡΒ=0 => α²-10α+19=0 => α1=5+sqrt(6), α2=5-sqrt(6)

Τα σημεία Ρ, Α, Β δεν πρέπει να είναι συνευθειακά, οπότε πρέπει τα διανύσματα ΡΑ και ΡΒ να μην είναι συγγραμμικά που σημαίνει det(ΡΑ,ΡΒ) διάφορο του 0

det(ΡΑ,ΡΒ)=13-3α διάφορο του 0 => α διάφορο του 13/3. Άρα και για τις 2 λύσεις α1, α2 τα σημεία Ρ, Α, Β δεν είναι συγγραμμικά, οπότε είναι και οι 2 δεκτές. Συνεπώς υπάρχουν 2 σημεία Ρ:

Ρ1(5+sqrt(6),0)
Ρ2(5-sqrt(6),0)

iii) Η προβολή του ΑΜ sto AB είναι παράλληλη στο ΑΒ. Επομένως υπάρχει πραγματικός αριθμός λ τέτοιος ώστε
προβΑΒ ΑΜ=λΑΒ=(4λ,3λ)

(προβΑΒ ΑΜ) ΑΜ=ΑΒ ΑΜ=25/7
(προβΑΒ ΑΜ) ΑΜ=4λ(1/7)+(3λ)1=(25/7)λ

Άρα 25/7=(25/7)λ => λ=1

Συνεπώς προβΑΒ=ΑΒ=(4,3)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Raze]

-Να βρεθεί ο ''ν'' Ε(ανήκει) ΙΝ* (θετικοί ακέραιοι πλην του μηδενός) ώστε η εξίσωση σφ2χ= √3 να έχει ακριβώς 8 λύσεις στο διάστημα [0,νΠ]
=======================================

σφ2χ =√3
σφ2χ = σφ π/6
2χ= κπ + π/6
χ = κπ/2 + π/12 κ.Ε.Ζ

τώρα να πάρω για τις 8 τιμές του χ και να λύσω ως προς ''κ'' ? (0,1,2,3,4,5,6,7)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 278211]

νομίζω πως η λύση δεν εξαρτάται από την τιμή ρίζα3...

με τη λογική πάντως είναι:
αφού η σφχ=ρίζα3 έχει 1 λύση στο διάστημα [0.π] άρα η σφ2χ=ρίζα3 έχει 2 λύσεις στο διάστημα [0,π].
άρα η σφ2χ=ρίζα3 έχει 8 λύσεις στο διάστημα [0,π][π,2π][2π,3π][3π,4π] δηλαδή στο διάστημα [0,4π] άρα ν=4

αλγεβρικά δεν ξέρω πώς να το εκφράσω, γιατί δεν ξέρω πως θ τ γράψω στον υπολογιστή!

είναι σωστό;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Civilara]

Θα αφήσω την απόδειξη για εξάσκηση. Η λύση είναι ν=4 και οι 8 λύσεις τις εξίσωσης είναι x=π/12, 7π/12, 13π/12, 19π/12, 25π/12, 31π/12, 37π/12, 43π/12

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[teol20]

Παιδια τα δουλεψα πανω πανω απο 40 λεπτά και δεν μου βγαιναν με τίποτα!
Τα ριζικά just ignore them.Κάτι βλακείες που σκέφτηκα είναι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Χαρουλιτα]

φροντηστηριακες ειναι αυτες οι ασκησεις???

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.