Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

ηράκλειος · 17-09-07

ποιός μπορεί να λύσει στους ακέριαιους την εξίσωση : 12x + κ*κ - κ = 333 ;

mostel · 17-09-07

Αρχική Δημοσίευση από ηράκλειος:
ποιός μπορεί να λύσει στους ακέριαιους την εξίσωση : 12x + κ*κ - κ = 333 ;

Πρόσεξε ότι:

$k^2 -k = 333-12x\leftrightarrow k(k-1)=2m+1$

(αφού περιττός - άρτιος = περιττός)

Όμως $k(k-1)=2n$ (γινόμενο δυο διαδοχικών αριθμών πάντα άρτιος). Έτσι έχουμε περιττός = άρτιος , αρά δεν έχει λύσεις στο $\mathbf{Z}$ .

ηράκλειος · 18-09-07

είσαι μεγάλος Στυλιανέ !!!

exc · 02-10-07

Συγγνώμη βρε παιδιά... Το 333-12χ γιατί είναι περιττός;

Το 333 είναι περιττός. Το 12χ είναι περιττός:
Έχουμε δύο περιττούς τους 2μ+1 και 2ν+1. Και τους αφαιρούμε: (2μ+1)-(2ν+1)=2μ-2ν=2(μ-ν) που είναι άρτιος. Άρα "περιττός" - "περιττός" = "άρτιος".

Συνεπώς τελικά φτάνουμε σε έναν άρτιο που είναι ίσος με έναν άλλον άρτιο. Έτσι δεν είναι;

Εννοείται πως περιμένω απάντηση από όποιονδήποτε ξέρει και όχι αποκλειστικά από το "mostel".

mostel · 02-10-07

To 12x δεν ειναι περιττος. Οποιοσδηποτε αρτιος πολ/σμενος με ακεραιο δινει αρτιο.

Η αποδειξη:

2κ*2μ προφανες

2κ*(2μ+1)=2(2κμ+κ)

qed.

Αρα εχεις περιττος - αρτιος .

Και ειμαι ο mostel

exc · 03-10-07

Α ναι. Τώρα κατάλαβα. Thx.

Όταν είπα πριν το(ν) "mostel" είχα ξεχάσει το ν...

ηράκλειος · 06-10-07

κάποιος μου έκανε μια απορία για την άσκηση : αν α + β = αβ όπου α , β θετικοί νδο : α > 1 και β > 1 . Δεν την βρίσκω όμως που είναι γραμμένη στο Forum..... τέλος πάντων . (η άσκηση δεν αναφέρεται σε ακεραίους...αλλά σε θετικούς.. μπορείς όμως να μ βρείς ένα ζευγάρι ακεραίων α ,β ,εκτός του α = β = 2 , που να ικανοποιόυν την ισότητα ;

mostel · 06-10-07

Για θετικούς ακεραίους η μοναδική λύση είναι η α=β=2..

1η Λύση

Για α=β=1, δεν ισχύει...

επομένως $(a-1)(b-1)\geq1$

Από εδώ προκύπτει όμως ότι $a+b\geq ab$

Η ισότητα ισχύει αν $a=b=2$

2η Λύση

Έστω $\gcd(a,b)=k$ με $k>0$

Τότε υπάρχουν ακέραιοι, θετικοί, τέτοιοι ώστε $a=km, b=kn$
με $\gcd(m,n)=1$

Έχουμε δλδ:

$km+kn=k^2mn\rightarrow m+n=kmn$

Δηλαδή

$\frac{m+n}{mn}=k$

Άρα $mn|(m+n)$

Δηλαδή:

$mn|m(m+n)-mn\rightarrow mn|m^2$

Παρομοίως $mn|n^2$

Άρα $mn|\gcd(m^2,n^2)$

Όμως $\gcd(m^n,n^n)=\gcd(m,n)^n$

Άρα $mn|(m,n)\rightarrow mn|1$

Έτσι προκύπτει ότι $m=n=1$

Δηλαδή:

$km+kn=k^2mn\rightarrow 2k=k^2$

Από εδώ $k=0$ ή $k=2$ . Για $k=0$ όμως έχουμε άτοπο. Άρα $k=2$ .

Δηλαδή τελικά:

$a=kn=2\cdot1=2$

$b=km=2\cdot1=2$

and we are done

EDIT:

Δεν είδα ότι μιλούσες για θετικούς ακέραιους στο προηγούμενό σου post, για αυτό και τώρα έκανα edit το post μου.

ηράκλειος · 06-10-07

Η 2η λύση σου είναι υπέροχη! Θέλω όμως να σου πω 3 πράγματα:
α) Η άσκηση δεν αναφέρεται σε θετικούς ακεραίους αλλά σε θετικούς , μόνο το περιεχόμενο της παρένθεσης αποδείχθηκε η ανισότητα που ζητάω όμως , όχι !
β) στην 1η λύση γράφεις : (α-1)(β-1)>1 όμως : (α-1)(β-1) = αβ -α -β + 1 = αβ -(α+β)+1 = 1 (αφού έχουμε υποθέση ότι αβ = α + β)
γ) περιμνω την λύση της ανισότητας
δ) περιμένω άσκησή σου!!! Για σου!!!!

το γ και το δ αποτελούν 1 πράγμα!!!!!

mostel · 06-10-07

Δεν έπιασες την πρώτη λύση... κανονικά ισχύει $(a-1)(b-1)\geq1$ , αφού για $a=b=1$ δεν ισχύει... σκέψου π.χ. τους αριθμούς: α = 4, β=3, το γινόμενο είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του ένα...

Τώρα επειδή από την υπόθεση ισχύει $a+b=ab$ , ψάχνουμε πότε ισχύει η ισότητα.

Θύμησέ μου λίγο την αρχική άσκηση όμως, γιατί την έχω ξεχάσει και το ποστ σου έχει σβηστεί!

Δες και μία άλλη θεωρία αριθμών:

Έστω $p\geq5$ ένας πρώτος αριθμός. Αν $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{p}=\frac{a}{b}$ , τότε να δειχθεί ότι $p^4|(ap-b)$ .

bobiras11 · 19-10-07

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Για θετικούς ακεραίους η μοναδική λύση είναι η α=β=2..
1η Λύση
[...]
2η Λύση
[...]

Δηλαδή τελικά:
[...]
and we are done

EDIT:
Δεν είδα ότι μιλούσες για θετικούς ακέραιους στο προηγούμενό σου post, για αυτό και τώρα έκανα edit το post μου.

Ποπο.. Δεν κατάλαβα τίποτα. Αλλά φάνηκες πολύ διαβασμένος

ούτε καθηγητής φίλε..

mostel · 23-10-07

----------- Προηγούμενό μου post -----------
Δες και μία άλλη θεωρία αριθμών:

Έστω $p\geq5$ ένας πρώτος αριθμός. Αν $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{p}=\frac{a}{b}$ , τότε να δειχθεί ότι $p^4|(ap-b)$ .

-----------------------------------------------

Για τη λύση χρησιμοποιείς το κριτήριο του Wolstenholme, το οποίο λέει:

Εάν $p$ πρώτος με $p\geq5$ , τότε ο αριθμητής του κλάσματος $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{p-1}$ , διαιρείται από το $p^2$ .

Ε, μετά η άσκηση απλουστεύει

Ευχαριστώ τον φίλο Αλέξανδρο Συγγελάκη (Hellenic Mathematical Society trainer) για το feedback :no1:

mostel · 29-11-07

Δίνονται οι ευθείες:

$\epsilon_1:\ y = (1453\cdot k^{2008}+2)x + 1821$

$\epsilon_2:\ y = (\sin2007\lambda - \sqrt{3}\cos2007\lambda)x + 1940$

Το $k$ είναι πραγματικός αριθμός. Για ποια τιμή του $k$ οι ευθείες είναι παράλληλες;

Υπενθύμιση: cos = συν και sin = ημ

Undead · 01-12-07

Anarki · 10-12-07

Λεπόν έκανα μια ασκησούλα εδώ στην Θεωρία Υπολογισμού και κατέληξα σε ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα το οποίο πρέπει να αποδείξω οτι δεν ισχύει. Δεν ξέρω αν έχει λύση βέβαια

. Την παρέδωσα σήμερα την άσκηση, λεπτομέρεια ήταν αυτό. Στις 19 σελίδες δεν κάνει ιδιαίτερη διαφορά αν λείπει μια μικρή απόδειξη

.
Ορίστε:

$\forall n,m \in N,\hspace{4 pt}\exists p \in N,\hspace{4 pt} q \in N^*:\hspace{4 pt} p + mq = n + n^2$

Ξαναλέω, πρέπει να δειχτεί οτι δεν ισχύει το παραπάνω και δεν ξέρω αν λύνεται.
Ψηθείτε

.

mostel · 10-12-07

Ισχύει.

Αντιπαράδειγμα:

$m,n=0$

Αν $p=0$

Anarki · 10-12-07

Κάτσε να το εκφράσω αλλιώς:

$\exists n,m \in N,\hspace{4 pt}\forall p \in N,\hspace{4 pt} q \in N^*:\hspace{4 pt} p + mq \neq n + n^2$

Με τον εξής επιπλέον περιορισμό που δεν έγραψα απο πάνω:

$\exists n:\hspace{4 pt}p+q=n^2+n$

bobiras11 · 14-12-07

Ουστ ρε!! Τι 1453 μην στροφάρω τώρα? :mad:

Α και μήπως μπορεί κάποιος να γράψει αναλυτικά τι γίνεται μετά με την ισότητα
1453κ^2008+2=ημ2007λ-(ρίζα)3συν2007λ ? Βασικά το λ είναι μέσα στη γωνία?

mostel · 14-12-07

Ναι, μέσα στη γωνία.. !

Πρόσεξε ότι το πρώτο μέλος είναι πάντα μεγαλύτερο ίσο του 2 ενώ το δεύτερο μικρότερο ή ίσο (πολλαπλασίασε με 2 και διαίρεσε με 1/2 για να το φέρεις στη μορφή ημ(α-β))

Στέλιος

Anarki · 14-12-07

Περιμένω ακόμα κάποιου είδους λύση ε

.

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος