Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

ηράκλειος · 2007-09-17T13:11:06+0300

ποιός μπορεί να λύσει στους ακέριαιους την εξίσωση : 12x + κ*κ - κ = 333 ;

mostel · 2007-09-17T16:16:22+0300

Αρχική Δημοσίευση από ηράκλειος:
ποιός μπορεί να λύσει στους ακέριαιους την εξίσωση : 12x + κ*κ - κ = 333 ;

Πρόσεξε ότι:

$k^2 -k = 333-12x\leftrightarrow k(k-1)=2m+1$

(αφού περιττός - άρτιος = περιττός)

Όμως $k(k-1)=2n$ (γινόμενο δυο διαδοχικών αριθμών πάντα άρτιος). Έτσι έχουμε περιττός = άρτιος , αρά δεν έχει λύσεις στο $\mathbf{Z}$ .

ηράκλειος · 2007-09-18T13:43:00+0300

είσαι μεγάλος Στυλιανέ !!!

exc · 2 Οκτωβρίου 2007 στις 21:23

Συγγνώμη βρε παιδιά... Το 333-12χ γιατί είναι περιττός;

Το 333 είναι περιττός. Το 12χ είναι περιττός:
Έχουμε δύο περιττούς τους 2μ+1 και 2ν+1. Και τους αφαιρούμε: (2μ+1)-(2ν+1)=2μ-2ν=2(μ-ν) που είναι άρτιος. Άρα "περιττός" - "περιττός" = "άρτιος".

Συνεπώς τελικά φτάνουμε σε έναν άρτιο που είναι ίσος με έναν άλλον άρτιο. Έτσι δεν είναι;

Εννοείται πως περιμένω απάντηση από όποιονδήποτε ξέρει και όχι αποκλειστικά από το "mostel".

mostel · 2 Οκτωβρίου 2007 στις 23:30

To 12x δεν ειναι περιττος. Οποιοσδηποτε αρτιος πολ/σμενος με ακεραιο δινει αρτιο.

Η αποδειξη:

2κ*2μ προφανες

2κ*(2μ+1)=2(2κμ+κ)

qed.

Αρα εχεις περιττος - αρτιος .

Και ειμαι ο mostel

exc · 3 Οκτωβρίου 2007 στις 15:21

Α ναι. Τώρα κατάλαβα. Thx.

Όταν είπα πριν το(ν) "mostel" είχα ξεχάσει το ν...

ηράκλειος · 6 Οκτωβρίου 2007 στις 12:50

κάποιος μου έκανε μια απορία για την άσκηση : αν α + β = αβ όπου α , β θετικοί νδο : α > 1 και β > 1 . Δεν την βρίσκω όμως που είναι γραμμένη στο Forum..... τέλος πάντων . (η άσκηση δεν αναφέρεται σε ακεραίους...αλλά σε θετικούς.. μπορείς όμως να μ βρείς ένα ζευγάρι ακεραίων α ,β ,εκτός του α = β = 2 , που να ικανοποιόυν την ισότητα ;

mostel · 6 Οκτωβρίου 2007 στις 13:00

Για θετικούς ακεραίους η μοναδική λύση είναι η α=β=2..

1η Λύση

Για α=β=1, δεν ισχύει...

επομένως $(a-1)(b-1)\geq1$

Από εδώ προκύπτει όμως ότι $a+b\geq ab$

Η ισότητα ισχύει αν $a=b=2$

2η Λύση

Έστω $\gcd(a,b)=k$ με $k>0$

Τότε υπάρχουν ακέραιοι, θετικοί, τέτοιοι ώστε $a=km, b=kn$
με $\gcd(m,n)=1$

Έχουμε δλδ:

$km+kn=k^2mn\rightarrow m+n=kmn$

Δηλαδή

$\frac{m+n}{mn}=k$

Άρα $mn|(m+n)$

Δηλαδή:

$mn|m(m+n)-mn\rightarrow mn|m^2$

Παρομοίως $mn|n^2$

Άρα $mn|\gcd(m^2,n^2)$

Όμως $\gcd(m^n,n^n)=\gcd(m,n)^n$

Άρα $mn|(m,n)\rightarrow mn|1$

Έτσι προκύπτει ότι $m=n=1$

Δηλαδή:

$km+kn=k^2mn\rightarrow 2k=k^2$

Από εδώ $k=0$ ή $k=2$ . Για $k=0$ όμως έχουμε άτοπο. Άρα $k=2$ .

Δηλαδή τελικά:

$a=kn=2\cdot1=2$

$b=km=2\cdot1=2$

and we are done

EDIT:

Δεν είδα ότι μιλούσες για θετικούς ακέραιους στο προηγούμενό σου post, για αυτό και τώρα έκανα edit το post μου.

ηράκλειος · 6 Οκτωβρίου 2007 στις 19:58

Η 2η λύση σου είναι υπέροχη! Θέλω όμως να σου πω 3 πράγματα:
α) Η άσκηση δεν αναφέρεται σε θετικούς ακεραίους αλλά σε θετικούς , μόνο το περιεχόμενο της παρένθεσης αποδείχθηκε η ανισότητα που ζητάω όμως , όχι !
β) στην 1η λύση γράφεις : (α-1)(β-1)>1 όμως : (α-1)(β-1) = αβ -α -β + 1 = αβ -(α+β)+1 = 1 (αφού έχουμε υποθέση ότι αβ = α + β)
γ) περιμνω την λύση της ανισότητας
δ) περιμένω άσκησή σου!!! Για σου!!!!

το γ και το δ αποτελούν 1 πράγμα!!!!!

mostel · 6 Οκτωβρίου 2007 στις 20:48

Δεν έπιασες την πρώτη λύση... κανονικά ισχύει $(a-1)(b-1)\geq1$ , αφού για $a=b=1$ δεν ισχύει... σκέψου π.χ. τους αριθμούς: α = 4, β=3, το γινόμενο είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του ένα...

Τώρα επειδή από την υπόθεση ισχύει $a+b=ab$ , ψάχνουμε πότε ισχύει η ισότητα.

Θύμησέ μου λίγο την αρχική άσκηση όμως, γιατί την έχω ξεχάσει και το ποστ σου έχει σβηστεί!

Δες και μία άλλη θεωρία αριθμών:

Έστω $p\geq5$ ένας πρώτος αριθμός. Αν $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{p}=\frac{a}{b}$ , τότε να δειχθεί ότι $p^4|(ap-b)$ .

bobiras11 · 2007-10-19T20:40:23+0300

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Για θετικούς ακεραίους η μοναδική λύση είναι η α=β=2..
1η Λύση
[...]
2η Λύση
[...]

Δηλαδή τελικά:
[...]
and we are done

EDIT:
Δεν είδα ότι μιλούσες για θετικούς ακέραιους στο προηγούμενό σου post, για αυτό και τώρα έκανα edit το post μου.

Ποπο.. Δεν κατάλαβα τίποτα. Αλλά φάνηκες πολύ διαβασμένος

ούτε καθηγητής φίλε..

mostel · 2007-10-23T19:13:48+0300

----------- Προηγούμενό μου post -----------
Δες και μία άλλη θεωρία αριθμών:

Έστω $p\geq5$ ένας πρώτος αριθμός. Αν $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{p}=\frac{a}{b}$ , τότε να δειχθεί ότι $p^4|(ap-b)$ .

-----------------------------------------------

Για τη λύση χρησιμοποιείς το κριτήριο του Wolstenholme, το οποίο λέει:

Εάν $p$ πρώτος με $p\geq5$ , τότε ο αριθμητής του κλάσματος $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{p-1}$ , διαιρείται από το $p^2$ .

Ε, μετά η άσκηση απλουστεύει

Ευχαριστώ τον φίλο Αλέξανδρο Συγγελάκη (Hellenic Mathematical Society trainer) για το feedback :no1:

mostel · 2007-11-29T14:01:10+0200

Δίνονται οι ευθείες:

$\epsilon_1:\ y = (1453\cdot k^{2008}+2)x + 1821$

$\epsilon_2:\ y = (\sin2007\lambda - \sqrt{3}\cos2007\lambda)x + 1940$

Το $k$ είναι πραγματικός αριθμός. Για ποια τιμή του $k$ οι ευθείες είναι παράλληλες;

Υπενθύμιση: cos = συν και sin = ημ

Undead · 2007-12-01T00:39:22+0200

Anarki · 2007-12-10T19:05:52+0200

Λεπόν έκανα μια ασκησούλα εδώ στην Θεωρία Υπολογισμού και κατέληξα σε ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα το οποίο πρέπει να αποδείξω οτι δεν ισχύει. Δεν ξέρω αν έχει λύση βέβαια

. Την παρέδωσα σήμερα την άσκηση, λεπτομέρεια ήταν αυτό. Στις 19 σελίδες δεν κάνει ιδιαίτερη διαφορά αν λείπει μια μικρή απόδειξη

.
Ορίστε:

$\forall n,m \in N,\hspace{4 pt}\exists p \in N,\hspace{4 pt} q \in N^*:\hspace{4 pt} p + mq = n + n^2$

Ξαναλέω, πρέπει να δειχτεί οτι δεν ισχύει το παραπάνω και δεν ξέρω αν λύνεται.
Ψηθείτε

.

mostel · 2007-12-10T19:24:23+0200

Ισχύει.

Αντιπαράδειγμα:

$m,n=0$

Αν $p=0$

Anarki · 2007-12-10T20:05:36+0200

Κάτσε να το εκφράσω αλλιώς:

$\exists n,m \in N,\hspace{4 pt}\forall p \in N,\hspace{4 pt} q \in N^*:\hspace{4 pt} p + mq \neq n + n^2$

Με τον εξής επιπλέον περιορισμό που δεν έγραψα απο πάνω:

$\exists n:\hspace{4 pt}p+q=n^2+n$

bobiras11 · 2007-12-14T19:53:25+0200

Ουστ ρε!! Τι 1453 μην στροφάρω τώρα? :mad:

Α και μήπως μπορεί κάποιος να γράψει αναλυτικά τι γίνεται μετά με την ισότητα
1453κ^2008+2=ημ2007λ-(ρίζα)3συν2007λ ? Βασικά το λ είναι μέσα στη γωνία?

mostel · 2007-12-14T21:45:58+0200

Ναι, μέσα στη γωνία.. !

Πρόσεξε ότι το πρώτο μέλος είναι πάντα μεγαλύτερο ίσο του 2 ενώ το δεύτερο μικρότερο ή ίσο (πολλαπλασίασε με 2 και διαίρεσε με 1/2 για να το φέρεις στη μορφή ημ(α-β))

Στέλιος

Anarki · 2007-12-14T21:48:11+0200

Περιμένω ακόμα κάποιου είδους λύση ε

.

Βοήθεια/Απορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Ασκήσεις

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος