Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

169 · 16-07-08

νομιζω οτι αν υψωσεις και τα δυο μελη στο τετραγωνο βγαινει

εσεις τι λετε ;

169 · 19-07-08

ρε στελιο ποτε θα βαλεις την λυση σου για την ασκηση με τα πολυονυμα:xixi:
αντε περιμενω ....

mostel · 19-07-08

Λοιπόν,

θεωρώ το πρώτο ερώτημα ότι έχει αποδειχθεί, γιατί βαριέμαι να κάτσω να γράφω και τη λύση για το 1ο ερώτημα

Δηλαδή, ότι όντως ισχύει:

$<br /> |(z-1)P(z)|\leq a|z|^3-\left[(a-b)|z|^2+(b-c)|z|+c\right]$

Έστω $z_0$ η ρίζα του πολυωνύμου.

Θα ισχύει: $P(z_0)=0$ , άρα από το πρώτο ερώτημα για $z=z_0$ , παίρνουμε:

$0\leq a|z_0|^3-\left[(a-b)|z_0|^2+(b-c)|z_0|+c\right]$

$(a-b)|z_0|^2+(b-c)|z_0|+c\geq a|z_0|^3$ (1)

Αν ήταν $|z_0|>1$ , τότε θα είχαμε: $|z_0|^2>|z_0|$ και $|z_0|^2>1$ .

Δηλαδή:

$(a-b)|z_0|^2+(b-c)|z_0|^2+c|z_0|^2>(a-b)|z_0|^2+(b-c)|z_0|+c$

$(a-b+b-c+c)|z_0|^2> (a-b)|z_0|^2+(b-c)|z_0|+c$

$a|z_0|^2> (a-b)|z_0|^2+(b-c)|z_0|+c$

$a|z_0|^2> a|z_0|^3$ ( από (1) )

$|z_0|<1$ , που είναι άτοπο, γιατί υποθέσαμε ότι $|z_0|>1$ .

Άρα είναι $|z_0|\leq 1$

169 · 19-07-08

το ειχα φτασει μεχρι την μεση μετα σκαλωσα

mostel · 19-07-08

Αρχική Δημοσίευση από 169:
νομιζω οτι αν υψωσεις και τα δυο μελη στο τετραγωνο βγαινει

εσεις τι λετε ;

Ναι, έτσι βγαίνει, αλλά δε προκύπτει τόσο εύκολα. Αν θες βάλε τη λύση σου, γιατί πρόκειται περί διδακτικής άσκησης πάνω στην ευχέρεια πράξεων στους μιγαδικούς.

Γενικά αυτά τα θέματα δε τα πολυπάω, αλλά τα πάνε με 1000 η επιτροπή των θεμάτων, γι' αυτο συνίσταται προσοχή, υπομονή και επιμονή όταν κάποιος πιάνει μολύβι και χαρτί για να τα λύσει.

Θέλουμε δε θέλουμε, αν μπει κάτι τέτοιο στις πανελλαδικές, θα πρέπει να είστε έτοιμοι να το αντιμετωπίσετε :iagree:

Στέλιος

169 · 20-07-08

λοιπον την βαζω καπως καθυστεριμενα(δεν φταιω εγω ειχε αγωνα χθες

)

αν z1=z και z2=w
το πρωτο μελος στο τετραγωνο δινει:

|z|^2-z(z'^2-w'^2)^1/2-z'(z^2-w^2)^1/2+(z^2-w^2)^1/2(z'^2-w'^2)^1/2+|z|^2+z(z'^2-w'^2)^1/2+z'(z^2-w^2)^1/2+(z^2-w^2)^1/2(z'^2-w'^2)^1/2+2|z^2+z(z^2-w^2)^1/2-z(z^2-w^2)^1/2-z^2+w^2|=2|z|^2+2|w|^2+2|z^2-w^2| (1)

το δευτερο μελος στο τετραγωνο δινει:

|z|^2+zw'+wz'+|w|^2+|z|^2-zw'-wz'+2|z^2-wz+wz-w^2|=2|z|^2+2|w|^2+2|z^2-w^2| (2)

απο (1),(2)=> το ζητουμενο

ουφ επιτελους:wow:
ευτυχως που τα αληθινα μαθηματικα δεν εχουν καμια σχεση με την αλγεβρα:bravo:

mostel · 20-07-08

Τη λύση σου θα τη δω αργότερα, γιατί τώρα ετοιμάζομαι για έξοδο.

Βέβαια, τα μαθηματικά του λυκείου δεν είναι αληθινά. Είναι μπούρδες :p

169 · 20-07-08

καλα να περασεις :bye:

mostel · 21-07-08

Δεν είδα και αναλυτικά τη λύση , διότι είναι λίγο κουραστικό να τη διαβάσεις , μιας και δεν είναι περασμένη σε TeX, αλλά νομίζω πως την έχεις σωστή :no1:

169 · 21-07-08

να αλλη μια (ειναι αρκετα απλη αλλα μου αρεσει

)

νδο |z+2w|+|2z+w|+|3z+2w|<ή=5|z+w|+|z|+2|w| ... αντε παρτε μολυβι και χαρτι

mostel · 21-07-08

Αρχική Δημοσίευση από 169:
να αλλη μια (ειναι αρκετα απλη αλλα μου αρεσει)

νδο |z+2w|+|2z+w|+|3z+2w|<ή=5|z+w|+|z|+2|w| ... αντε παρτε μολυβι και χαρτι

Easy and cute

$|z+2w|+|2z+w|+|3z+2w|=|(z+w)+w|+|(w+z)+z|+|3z+2w+w-w|=\\<br /> =|(z+w)+w|+|(w+z)+z|+|3(w+z)-w|\leq |z+w|+|w|+|w+z|+|z|+3|z+w|+|-w|=5|z+w|+2|w|+|z|$

Stelios

169 · 21-07-08

ναι:bravo:
βαλε κι αλλη ασκηση αν εχεις χρονο...

mostel · 21-07-08

Οκ, ένα δυσκολάκι:

Να αποδειχθεί ότι για κάθε μιγαδικό $z$ , ισχύει:

$|1+z|\geq\frac{1}{\sqrt{2}}\qquad$ ή $\qquad|1+z^2|\geq 1$

george_k214 · 21-07-08

Σε αυτή την άσκηση που έδωσες Στέλιο,θα πάρουμε αρχικά την πρώτη σχέση(αφου θέσουμε z=x+iy)και θα δούμε για ποιούς μιγαδικούς ισχυει(πχ ισχύει για αυτους που έχουν y>0).Έπειτα θα αποδείξουμε οτι για τους υπόλοιπους μιγαδικούς(αυτούς για τους οποίους ισχύει y<ή=0) ισχύει η άλλη σχέση.

Σώστη είναι η λογική αυτή?δουλεύει για αυτή την άσκηση?

(παράδειγμα δίνω με το y>0,δεν έχω λύσει ακόμα την άσκηση)

169 · 21-07-08

εμενα δεν μου βγηκε ετσι...

169 · 21-07-08

ρε Στελιο ειναι σιγουρα ετσι η ασκηση γιατι αν z=0+0i τοτε νομιζω οτι ισχυουν και οι δυο

george_k214 · 21-07-08

Το "ή" δεν αποκλείει την περίπτωση να ισχύουν και οι δύο σχέσεις ταυτόχρονα....

miv · 21-07-08

Δεν είναι λάθος αυτό. Όταν σου λέει "Έστω χ, τότε p ή q", σημαίνει οτι θα ισχύει ή το p, ή το q, ή και τα δύο ταυτόχρονα.

chris_90 · 21-07-08

169, μπορεις να γραψεις πως την ελυσες;

mostel · 21-07-08

Αρχική Δημοσίευση από george_k214:
Σε αυτή την άσκηση που έδωσες Στέλιο,θα πάρουμε αρχικά την πρώτη σχέση(αφου θέσουμε z=x+iy)και θα δούμε για ποιούς μιγαδικούς ισχυει(πχ ισχύει για αυτους που έχουν y>0).Έπειτα θα αποδείξουμε οτι για τους υπόλοιπους μιγαδικούς(αυτούς για τους οποίους ισχύει y<ή=0) ισχύει η άλλη σχέση.

Σώστη είναι η λογική αυτή?δουλεύει για αυτή την άσκηση?

(παράδειγμα δίνω με το y>0,δεν έχω λύσει ακόμα την άσκηση)

Αν θες βάλε τη λύση σου ολοκληρωμένα και θα σου πω.

Η λυσή μου είναι διαφορετική και βασίζεται στην εις άτοπο απαγωγή.

Στέλιος

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος