Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

cJay · 07-08-08

για το w ίδιος τρόπος λύσης με το z... Κ(-4,6) και ρ=3

manos66 · 07-08-08

Το δύσκολο είναι το Ι z+w Ι. Οι περισσότερες ασκήσεις ζητούν το Ι z -w I.

mostel · 08-08-08

$|z-(-w)|$

Αν και για να μη μεθοδολογούμε εντελώς, μπορούμε να κάνουμε κλασικά το σχηματάκι μας και να δουλέψουμε από εκεί, έχοντας μια οπτική εικόνα για το τι κάνουμε.

Γενικά να θυμάστε:

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ = ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!

Επομένως, μη διστάσετε, αν δε σας έρχεται κάτι από άποψη εμπειρίας κατά νου, να κάνετε το σχήμα. Μας ανοίγει τα μάτια πολλές φορές!

Τα λέμε απ' την άλλη βδομάδα, μιας και την κάνω για διακοπές.

Στέλιος

kvgreco · 13-08-08

Να ζητήσω κι εγώ μιά βοήθεια γιά την παρακάτω άσκηση πού μού έβαλε ο καθηγητής.

το 2 ερώτημα.

kvgreco · 15-08-08

Μού την έλυσε ο καθηγητής αλλά δεν σας τη λέω κι εγώ γιατί δεν με βοηθήσατε να! :jumpy:

mostel · 16-08-08

Δίνεται ο μιγαδικός $z=x+yi, x,y\in\mathbf{R^*}$ και οι παραστάσεις $a=\sqrt{2}[Re(z)+|z|]$ , $b=\sqrt{2}[Im(z)+|z|]$ , με $x+y\in\mathbf{Z}$ και $|z|\in\mathbf{N}$ .

α) Να δειχθεί ότι το γινόμενο $a\cdot b$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Αν $a\cdot b=|z|^2$ , τότε:

i) Να δειχθεί ότι η εικόνα του z ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

ii) Να δειχθεί ότι οι $x,y\in\mathbf{R-Q}$ .

Στέλιος

tirovlaxos · 18-08-08

Παιδιά, να βάλω και εγώ μια άσκηση που με δυσκόλεψε αρκετά...Τελικά δεν την έλυσα, οπότε δεν μπορώ να σας δώσω και βοήθεια!

z^3 μεγαλύτερο ή ίσο του 1

Ελπίζω εσείς να καταφέρετε να την λύσετε! (Μπας και δω και εγώ άσπρη μέρα!

)

tirovlaxos · 19-08-08

κάτι που ξέχασα (τι βλακάκος που είμαι!)

η εκφώνηση της άσκησης που ζήτησα είναι: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του z, αν ισχύει: ${z}^{3}\geq 1$

sorry για το double-post

manos66 · 20-08-08

ΒΟΗΘΕΙΑ
Όταν διαβάζουμε ότι $z^3\geq1$
"κρύβεται" ότι ο $z^3$ είναι πραγματικός αριθμός

Θέτοντας z = x + yi
- από το $z^3\epsilon R$ καταλήγουμε σε τρείς ευθείες
- από το $z^3\geq1$ οι ευθείες γίνονται ημιευθείες

ΑΠΑΝΤΗΣΗ
${\epsilon }_{1} : y = 0, x\geq1$
${\epsilon }_{2} : y = \sqrt{3}x, x\leq-\frac{1}{2}$
${\epsilon }_{3} : y = -\sqrt{3}x, x\leq-\frac{1}{2}$

tirovlaxos · 20-08-08

ναι φίλε μου, γνωρίζω ότι λόγω της ανίσωσης ο z είναι πραγματικός (γιατί δεν υπάρχει διάταξη στο C). αλλά δυσκολέυτηκα αρκετά.. κυρίως με το μεγαλύτερο ή ίσο. δεν έχω καταλάβει τίποτα από γεωμετρικούς τόπους! τι θα κάνω?

m3Lt3D · 20-08-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Δίνεται ο μιγαδικός $z=x+yi, x,yinmathbf{R^*}$ και οι παραστάσεις $a=sqrt{2}[Re(z)+|z|]$ , $b=sqrt{2}[Im(z)+|z|]$ , με $x+yinmathbf{Z}$ και $|z|inmathbf{N}$ .

α) Να δειχθεί ότι το γινόμενο $acdot b$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Αν $acdot b=|z|^2$ , τότε:

i) Να δειχθεί ότι η εικόνα του z ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

ii) Να δειχθεί ότι οι $x,yinmathbf{R-Q}$ .

Στέλιος

$ab=\sqrt{2}(x+\sqrt{x^2+y^2})\sqrt{2}(y+\sqrt{x^2+y^2})=<br /> 2xy+2x\sqrt{x^2+y^2}+2y\sqrt{x^2+y^2}+2(x^2+y^2)=<br /> 2(x+y)\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2}^2+(x+y)^2=<br /> (x+y+\sqrt{x^2+y^2})^2$
το χ+y einai ακεραιος. το το |z| ειναι φυσικος, αρα ειναι και ακεραιος. ομως το αθροισμα 2 ακεραιων κανει ακεραιο, οποτε αποδειχτηκε.

να προχωρισω στα επομενα ερωτηματα ή υπαρχει καπου λαθος;

(τις παραγοντοποιησεις δεν τις εκανα τοσο αναλυτικα, ελπιζω να τις καταλαβαινετε

)

mostel · 20-08-08

Μια χαρά είσαι. Συνέχισέ τη!

Στέλιος

kvgreco · 21-08-08

Άλλη άσκηση από τον καθηγητή μου.Μάλλον εύκολη αλλά κάπου σκαλώνω.

Να δειχθεί γιά κάθε μιγαδικό z ότι |1+z|< = |1+z|^2 +|z|.
Άμα δεν με βοηθήσετε καί τώρα δεν ξαναρωτάω

peri · 21-08-08

Γεια σας παιδια ειμαι καινουρια στο forum.
Εχω να υποβαλλω μια ασκηση που ομολογουμενως με δυσκολεψε..!!!
Αν μπορουσατε να βοηθησετε......

Αν για τους μιγαδικούς z1,z2, … ,zν (ν ≥ 2) ισχύουν z1 + z2 + … + zν = 0 (1) και |z1| = |z2| = … = |zν| = 1 να δείξετε ότι ισχύει :

|z – z1| + |z – z2| + … + |z – zν| ≥ ν, z ? C

tirovlaxos · 21-08-08

^είσαι από τον ειρμό?

kvgreco · 21-08-08

Αρχική Δημοσίευση από tirovlaxos:
^είσαι από τον ειρμό?

Τι θέλει να πεί ο.. ποιητής?
Α εννοείς το φροντιστήριο? Α μπα.Είμαι από πολύ μακριά γιά να έχω ειρμό στις σκέψεις μου. :bye:

xrhstoss · 22-08-08

Αρχική Δημοσίευση από gossipgirl:
θεουλη μου!!!υπάρχει περιπτωση να μπει κτ τετοιο;;;;;

ΟΧΙ

m3Lt3D · 22-08-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Δίνεται ο μιγαδικός $z=x+yi, x,yinmathbf{R^*}$ και οι παραστάσεις $a=sqrt{2}[Re(z)+|z|]$ , $b=sqrt{2}[Im(z)+|z|]$ , με $x+yinmathbf{Z}$ και $|z|inmathbf{N}$ .

α) Να δειχθεί ότι το γινόμενο $acdot b$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

β) Αν $acdot b=|z|^2$ , τότε:

i) Να δειχθεί ότι η εικόνα του z ανήκει σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
ii) Να δειχθεί ότι οι $x,yinmathbf{R-Q}$ .

Στέλιος

β)

i)
$ab=|z|^2\Leftrightarrow (x+y+ \sqrt{x^2+y^2})^2=\sqrt{x^2+y^2}^2\Leftrightarrow x+y+ \sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{x^2+y^2}\Leftrightarrow x+y=0\Leftrightarrow y=-x$
οταν διωχνω τα τετραγωνα δεν εχω εξετασει την περιπτωση
$x+y+ \sqrt{x^2+y^2}<0$ που καταληγει σε xy>0. εκει τι λεμε?

mostel · 22-08-08

Έχουμε ότι $|z|\in\mathbf{N}$ .

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

όμως $y=-x$ , άρα:

$|z|=\sqrt{x^2+(-x)^2}=\sqrt{2x^2}=|x|\sqrt{2}\in\mathbf{N}$

Αν $x\in\mathbf{Q}$ , τότε θα 'χαμε $|z|\notin\mathbf{N}$ , μιας και γινόμενο ρητού και άρρητου μας κάνει άρρητο. Άρα οφείλει $x\in\mathbf{R-Q}$ . Αντίστοιχα και για το y. qed.

Πώς σου φάνηκε η άσκηση; Νομίζω ότι είναι καλή, δείχνει ποιος μαθητής μπορεί να σκεφτεί κάτι το παραπάνω, αλλά μπορεί και ο καθένας τη λύσει, αν όχι εξ' ολοκλήρου, το μεγαλύτερο μέρος της.

Στέλιος

Ps: Στο γεωμετρικό τόπο, όταν φεύγεις απ' τα τετράγωνα, παίρνεις δύο περιπτώσεις. Με τη μία περίπτωση βρίσκεις για γεωμετρικό τόπο την y=-x, ενώ με την άλλη x=y=0, που 'ναι άτοπο.

m3Lt3D · 22-08-08

αρκετα ωραια και πρωτοτυπη ασκηση! προχθες τελειωσαμε το κεφαλαιο των μιγαδικων και παρολο που εχω λυσει ασκησεις με μιγαδικους απο 3 βοηθηματα(γκατζουλη,σκομπρη,μπαρλα), δεν εχω συναντησει παρομοια. αν εχεις κιαλλες ποσταρε!

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος