Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

manos66 · 22-07-08

Όταν ΟΒ κάθετη στη ΓΔ.
Πυθαγόρειο
Κάθε μέτρο ίσο με 5.

169 · 22-07-08

mostel παλι χαλια με εκανες ... εδω τα παραταω (εχω να κανω και εκθεση για αυριο ισως εκει τα παω καλυτερα

)

mostel · 22-07-08

Αρχική Δημοσίευση από manos66:
Αν Β, Γ, Δ οι εικόνες των $z_1, z_2, -z_2$ αντίστοιχα τότε
Α = (ΒΓ) + (ΒΔ)
Τα Γ, Δ είναι αντιδιαμετρικά του κύκλου με κέντρο Ο και ρ = 4,
άρα η Α γίνεται ελάχιστη όταν Β, Γ, Δ συνευθειακά και
Α = (ΒΓ) + (ΒΔ) = (ΓΔ) = 2ρ = 8

Sorry για πριν, αντί για 8, είδα 6. Είναι σωστή η λύση σας.

Η δική μου έχει ως εξής:

Από ταυτότητα Euler για παρ/μο, παίρνουμε:

$|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2$

$2(|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2)=100$

$2(|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2)\geq (|z_1-z_2|+|z_1+z_2|)^2$ (Cauchy Schwarz)

Άρα

$|z_1-z_2|+|z_1+z_2|\leq 10$

H ελάχιστη προκύπτει όταν είναι ομόρροπα, όπως αναφέρατε. Δηλαδή όταν έχουν απόσταση 2ρ=8

Υπάρχει και ακόμη μία λύση με καθαρά χρήση μιγαδικών. Δηλαδή:

$\frac{A}{4}=|w+1|+|w-1|$

όπου $w=\frac{z_1}{z_2}$ και $|w|=\frac{3}{4}$

Μπορούμε να περιοριστούμε (όσον αφορά το τριγωνάκι που σχηματίζεται) στο [0,π] λόγω συμμετρίας και να έχουμε:

$\frac{A}{4}=f(\theta)=\sqrt{\frac{9}{16}+1^2- 2\frac{3}{4}\cos(\pi-\theta)}+\sqrt{\frac{9}{16}+1^2+2\frac{3}{4}\cos \theta}$

Αυτή με παραγώγιση , βρίσκουμε ότι έχει max το 10 και min το 8.

Υπάρχει και η γεωμετρική σαφώς λύση, με θεώρημα διαμέσων, κ.λπ.

manos66 · 22-07-08

Στέλιο θα προτιμούσα να μου γράφεις στο ενικό.
Προσπαθώ να γράφω λύσεις όσο πιο ¨κοντά¨ στα μαθηματικά Γ΄λυκείου.
Με παιδεύει λίγο το μαθηματικό κέιμενο.
Ευχαριστώ.

mostel · 22-07-08

Μία ακόμη, παρμένη από ένα Ρουμανικό βιβλίο, "Numere Complexe":

Αν $z_1,z_2,\ldots, z_n\in\mathbf{C -\{i\}}$ και ισχύει ότι:

$\sum_{k=1}^n\left|\frac{z_k+i}{z_k-i}\right|<1$ ,

να δειχθεί ότι:

$\left|\frac{\sum_{k=1}^n z_k+i}{\sum_{k=1}^n z_k -i}\right|<1$

Στέλιος

EGR · 22-07-08

συγγνωμη με τους μιγαδικους που ξερω απο το βιβλιο μπορω να λυσω αυτο το πραγμα

mostel · 22-07-08

Ναι, δεν είναι κάτι άγνωστο από την ύλη που κάνουμε. Απλώς, είναι δυσκολούτσικη άσκηση, γιατί λείπει ένα βήμα , που πρέπει να το σκεφτείς πριν τη λύσεις. Γενικά, τα ρουμάνικα βιβλία είναι ...φωτιά

169 · 22-07-08

ενα κλασμα ειναι μικροτερο της μοναδας οταν ο αριθμητης ειναι μικροτερος απο τον παρανομαστη ... αυτο βοηθαει καθολου ; :xixi:

EGR · 22-07-08

εστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου ,για τα οποία ισχύει οτι μετρο z+2-3i κλείνει το μετρο<ή=3.για καθε ΖεΑ οριζουμε τον αριθμο f(z) από τη σχέση
f(z)=metro z-6+3i κλεινει α)να εκφράσετε γεωμετρικά το συνολο Α β)να βρειτε την ελαχιστη κ μεγιστη τιμη του f(z)

gossipgirl · 23-07-08

Αρχική Δημοσίευση από mostel:
Μία ακόμη, παρμένη από ένα Ρουμανικό βιβλίο, "Numere Complexe":

Αν $z_1,z_2,ldots, z_ninmathbf{C -{i}}$ και ισχύει ότι:

$sum_{k=1}^nleft|frac{z_k+i}{z_k-i}right|<1$ ,

να δειχθεί ότι:

$left|frac{sum_{k=1}^n z_k+i}{sum_{k=1}^n z_k -i}right|<1$

Στέλιος

θεουλη μου!!!υπάρχει περιπτωση να μπει κτ τετοιο;;;;;

mostel · 23-07-08

Εξαρτάται από την επιτροπή. Καλά, μη τρομάζετε από τo σύμβολο του αθροίσματος. Το έγραψα έτσι για να συντομεύσω την εκφώνηση.

Στέλιος

chris_90 · 23-07-08

Καλα... αν μπει τετοια ασκηση την κατσαμε! Ουτε να διαβασω την εκφωνηση δεν μπορω!

gossipgirl · 23-07-08

εγω παντως αυτα δεν τα ξερω ακομα.....πιο μετα δεν εναι αυτο το μεγαλο Σ που βαζετε;;;( :lol:

ουτε πως το λενε δεν ξερω!)

konask · 23-07-08

Αναπτύσσουμε την ανισότητα που πρέπει να δείξουμε και στην συνέχεια παίρνουμε την τριγωνική ανισότητα και επειδή ισχύει, ισχύει κατά ελάσσονα τρόπο ότι είναι και <1. Αυτό είναι; Θα προσπαθήσω να το περάσω απλώς έχω ένα προβληματάκι με το Latex.

manos66 · 23-07-08

εστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου ,για τα οποία ισχύει οτι | z+2-3i |<=3.για καθε ΖεΑ οριζουμε τον αριθμο f(z) από τη σχέση
f(z)=| z-6+3i |
α)να εκφράσετε γεωμετρικά το συνολο Α
β)να βρειτε την ελαχιστη κ μεγιστη τιμη του f(z)

| z+2-3i | = η απόσταση της εικόνας Μ του z από το Α (-2 , 3)
| z+2-3i |<=3 είναι κυκλικός δίσκος
| z-6+3i | = η απόσταση της εικόνας Μ του z από το Β (6 , -3)
Απάντηση στο β)
| z-6+3i |max = 13
| z-6+3i |min = 7

mostel · 23-07-08

Γεια όσους δε καταλαβαίνουν την άσκηση:

Για $z_1,z_2,\ldots,z_n\in\mathbf{C-\{i\}}$ , αν ισχύει ότι:

$\left|\frac{z_1+i}{z_1-i}\right|+\left|\frac{z_2+i}{z_2-i}\right|+\ldots+\left|\frac{z_n+i}{z_n-i}\right|<1$ ,

να δειχθεί ότι:

$\left|\frac{z_1+z_2+\ldots +z_n+i}{z_1+z_2+\ldots +z_n -i}\right|<1$

konask · 24-07-08

Άκυρο. Θα προσπαθήσω να την γράψω.

manos66 · 24-07-08

Aν ισχύει ότι
$\|\frac{z_1+i}{z_1-i}\|+\|\frac{z_2+i}{z_2-i}\|+...+\|\frac{z_n+i}{z_n-i}\|<1$
ν' αποδειχθεί ότι
$\|\frac{z_1+z_2+...+z_n+i}{z_1+z_2+...+z_n-i}\|<1$

Βοήθεια
Αν z $\in\mathbb{C}-$ {i} , ν' αποδειχθεί ότι :
$\|\frac{z+i}{z-i}\|<1$ <=> Im(z)>0

manos66 · 25-07-08

ΑΣΚΗΣΗ
Αν $\|z+2-2i\|\leq2$ και $\|w+4-6i\|\leq3$ , τότε:
α) Να βρεθούν οι γ.τ. των εικόνων των z και w.
β) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του $\|z+w\|$

cJay · 07-08-08

α)
Έστω $z=x+yi \Leftrightarrow$

$|z+2-2i|\leq 2 \Leftrightarrow$

$|x+yi+2-2i|\leq 2 \Leftrightarrow$

$\sqrt{{(x+2)}^{2}+{(y-2)}^{2}}\leq 2 \Leftrightarrow$

${(x+2)}^{2}+{(y-2)}^{2}}\leq 4 \Leftrightarrow$

Κύκλος με κέντρο (-2,2) και ακτίνα 2...

Ο γ.τ.(z) είναι το εσωτερικό του κύκλου με κέντρο (-2,2) και ακτίνα 2 καθώς και ο κύκλος...

Ασκήσεις προς επίλυση στους Μιγαδικούς

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος