Ασκήσεις Στατιστικής

[mikroaggelaki]

1. Αν Ω={a}, X(a)=c∈R, A⊆R, να βρεθεί η X^(-1) (A).

2. Αν Ω={a,b}, X(a)=c_1, X(b)=c_2∈R, c_1, c_2∈R, A⊆R, να βρεθεί η X^(-1) (A).

3. Να βρεθεί το αν η X της Άσκησης 1 είναι τυχαία μεταβλητή.

4. Να βρεθεί το αν η X της Άσκησης 2 είναι τυχαία μεταβλητή.

5. Αν στο παράδειγμα της Άσκησης 1, P({a})=1, τότε να βρεθεί η κατανομή που ακολουθεί η X της Άσκησης 1.

6. Αν στο παράδειγμα της Άσκησης 2, P({a})=1, P({b})=0, τότε να βρεθεί η κατανομή που ακολουθεί η X της Άσκησης 2.

7. Αν Ω σύνολο αναφοράς, P κατανομή πιθανότητας επί του Ω, X τυχαία μεταβλητή που ορίζεται στο Ω και P* η κατανομή που προκύπτει από τη μεταφορά της P στο R μέσω της X (δηλαδή η κατανομή που ακολουθεί η X), γιατί η P* ικανοποιεί τις δύο πρώτες ιδιότητες των κατανομών πιθανότητας;

8. Σε τί θα αναγόταν η Ber⁡(q) αν επιτρεπόταν q=0 ή q=1.

9. Να δειχθεί ότι η Ber⁡(q) είναι ειδική περίπτωση διωνυμικής κατανομής.

10. Έστω P=Bin⁡(3,1/2). Να βρεθεί το P(A) για A=(-∞,0), A=( -∞,0], A=[1,+∞), A=R, A=Q, A=N, A=N*, A=R-Q, A=Z.

11. Έστω P=Bin⁡(n,q) και η τυχαία μεταβλητή X∶ R→R, X(x)=x^2 (γιατί είναι τυχαία μεταβλητή. Να βρεθεί η P* (η κατανομή που ακολουθεί η X).

12. Να επαναληφθεί η Άσκηση 11 για την P=Poisson⁡(λ).

13. Έστω n∈N. Να ορισθεί η διακριτή κατανομή για την οποία ισχύει ότι supp={0,1,…,n} και P({i})=P({i* }) για κάθε i, i*∈supp (διακριτή κατανομή, discrete uniform).