Μερικά θεωρήματα του λογισμού πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής
1) Γενικευμένο θεώρημα της μέσης τιμής ή τύπος του Taylor
Αν η συνάρτηση f έχει συνεχείς παραγώγους τάξεως ν στο διάστημα Δ και είναι (ν+1) φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ (συμβολίζεται με

) τότε για κάθε

με

υπάρχει
)
τέτοιο ώστε
2) Κριτήριο ν-στής παραγώγου
Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και ν φορές παραγωγίσιμη στο σημείο

, με
=f''(xi )=...={f}^{(nu -1)}(xi )=0)
και
Αν ν άρτιος και
}(xi )> 0)
, τότε το ξ είναι σημείο τοπικού ελαχίστου.
Αν ν άρτιος και
}(xi )< 0)
, τότε το ξ είναι σημείο τοπικού μεγίστου.
Αν ν περιττός, τότε το ξ είναι σημείο καμπής με οριζόντια εφαπτομένη.
3) Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο

. Αν η f' έχει όριο στο

, τότε η f είναι παραγωγίσιμη και έχει συνεχή παράγωγο στο

.
4) Θεώρημα Darboux
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσισμη στο διάστημα [α,β], τότε η παράγωγός της f' παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ f'(α) και f'(β), δηλαδή το f'([α,β]) είναι διάστημα
5) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει f'(α)f'(β)<0, τότε υπάρχει
)
τέτοιο ώστε f'(ξ)=0
6) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει
neq 0)
για κάθε

, τότε η f είναι γνησίως μονότονη.
7) Θεώρημα Fermat
Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] και
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε
geq 0)
.
Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε
leq 0)
.
Αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε
leq 0)
.
Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε
geq 0)
.
Αν η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο

και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε
=0)
.
8) Ανισότητα Schwarz
Αν f,g ολοκληρώσιμες στο [α,β] τότε
9) Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού
Αν f συνεχής στο [α,β] τότε υπάρχει
)
τέτοιο ώστε
10) Κανόνας Leibnitz
Αν g,h παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα Δ και f συνεχής συνάρτηση στο
bigcup h(Delta ))
, τότε η συνάρτηση
=int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt)
είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει
11) Αν μία συνάρτηση f είναι 1-1 και συνεχής στο [α,β] τότε η αντίστροφη συνάρτηση

είναι συνεχής στο
=[m,M])
.
12) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, φραγμένο ή μη, τότε η αντίστροφή της

είναι συνεχής
13) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της

είναι γνησίως αύξουσα στο f(Δ)
14) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της

είναι γνησίως φθίνουσα στο f(Δ)
-----------------------------------------
Νομίζω ότι αυτό ειναι απλό και δεν χρειάζεται κάποιος να γνωρίζει λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών για να το καταλάβει. Στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Β΄ Λυκείου μαθαίνετε ότι οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου ακτίνας ρ και κέντρου Ο(0,0) είναι
x=ρcosφ=f(φ)
y=ρsinφ=g(φ)
όπου φ στο διάστημα [0,2π). Για φ=0 και φ=2π έχουμε το ίδιο σημείο αφού f(0)=f(2π)=ρ και g(0)=g(2π)=0.