Ανώτερα Μαθηματικά

Civilara · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
wow πώς μπερδευονται ολα αυτα τα μαθηματικα συμβολα σε μια σχεση ε;
-----------------------------------------
και σε τι μας χρησιμευει η τριγωνομετρικη μορφη μιγαδικου;
Γενικα οι μιγαδικοι τι και πώς στο καλο χρησιμευουν; Αφου...δεν υπαρχουν!

Χεχε. Υπάρχουν και παραϋπάρχουν και τον κόσμο κυριεύουν

. Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν μεγάλη εφαρμογή στη μηχανική και τον ηλεκτρομαγνητισμό καθώς και στην ηλεκτρονική. Γενικά έχουν μεγάλη εφαρμογή στις επιστήμες. Για παράδειγμα ένα σήμα μπορεί να παρασταθεί από έναν μιγαδικό όπου το πραγματικό μέρος είναι η τάση και το φανταστικό η ένταση του ρεύματος.

Σύμφωνα με την παραπάνω σχέση ισχύει

${e}^{z}={e}^{x+yi}={e}^{x}{e}^{yi}={e}^{x}(cosy+isiny)={e}^{Re(z)}[cosIm(z)+isinIm(z)]$

${e}^{iz}={e}^{-y+xi}={e}^{-y}{e}^{xi}={e}^{-y}(cosx+isinx)={e}^{-Im(z)}[cosRe(z)+isinRe(z)]$

Στη συνέχεια θα ορίζουμε το ημίτονο και το συνημίτονο του μιγαδικού z. Ορίζονται ως ημίτονο και συνημίτονο του μιγαδικού αριθμού z,οι παραστάσεις:

$sinz=\frac{{e}^{iz}-{e}^{-iz}}{2i}$
$cosz=\frac{{e}^{iz}+{e}^{-iz}}{2}$

Παρατηρείστε ότι ισχύει ${sin}^{2}z+{cos}^{2}z=1$

Τα παραπάνω ισχύουν για κάθε $z\epsilon C$

paganini666 · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Χεχε. Υπάρχουν και παραϋπάρχουν και τον κόσμο κυριεύουν. Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν μεγάλη εφαρμογή στη μηχανική και τον ηλεκτρομαγνητισμό καθώς και στην ηλεκτρονική. Γενικά έχουν μεγάλη εφαρμογή στις επιστήμες. Για παράδειγμα ένα σήμα μπορεί να παρασταθεί από έναν μιγαδικό όπου το πραγματικό μέρος είναι η τάση και το φανταστικό η ένταση του ρεύματος.

Σύμφωνα με την παραπάνω σχέση ισχύει

${e}^{z}={e}^{x+yi}={e}^{x}{e}^{yi}={e}^{x}(cosy+isiny)={e}^{Re(z)}[cosIm(z)+isinIm(z)]$

${e}^{iz}={e}^{-y+xi}={e}^{-y}{e}^{xi}={e}^{-y}(cosx+isinx)={e}^{-Im(z)}[cosRe(z)+isinRe(z)]$

Στη συνέχεια θα ορίζουμε το ημίτονο και το συνημίτονο του μιγαδικού z. Ορίζονται ως ημίτονο και συνημίτονο του μιγαδικού αριθμού z,οι παραστάσεις:

$sinz=frac{{e}^{iz}-{e}^{-iz}}{2i}$
$cosz=frac{{e}^{iz}+{e}^{-iz}}{2}$

Παρατηρείστε ότι ισχύει ${sin}^{2}z+{cos}^{2}z=1[/LATE]<br /> <br /> Τα παραπάνω ισχύουν για κάθε <img src=$ " />

$:D$ " />

m3Lt3D · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
wow πώς μπερδευονται ολα αυτα τα μαθηματικα συμβολα σε μια σχεση ε;
-----------------------------------------
και σε τι μας χρησιμευει η τριγωνομετρικη μορφη μιγαδικου;
Γενικα οι μιγαδικοι τι και πώς στο καλο χρησιμευουν; Αφου...δεν υπαρχουν!

Oι μιγαδικοι;Εχουν πολυ μεγαλη χρησιμοτητα.Στη φυσικη,τη μηχανικη και σε αλλους τομεις των μαθηματικων που δεν μπορεις να φανταστεις.

paganini666 · 22-06-09

Αρχική Δημοσίευση από m3Lt3D:
Oι μιγαδικοι;Εχουν πολυ μεγαλη χρησιμοτητα.Στη φυσικη,τη μηχανικη και σε αλλους τομεις των μαθηματικων που δεν μπορεις να φανταστεις.

To τι το ηξερα το πώς δεν εχια καταλαβει αλλα μου εξηγησει ο σιφιλιαρα (

)
Αρα αντιλαμβανομαι πως ειναι περισσοτερο αλγεβρικα εργαλεια ή οχι;

Civilara · 22-06-09

Και τώρα σε ένα πολύ ωραίο θέμα. Ορίζεται λογάριθμος για τους μιγαδικούς; Απάντηση: Για κάθε $z\epsilon {C}^{*}$ ορίζεται λογάριθμος.

Θυμάστε που στο σχολείο στη Β΄ Λυκείου μας έλεγαν ότι μόνο οι θετικοί πραγματικοί έχουν λογάριθμο; Μπούρδες

. Και οι αρνητικοί πραγματικοί έχουν και κάθε μιγαδικός εκτός από 0.

Όμως σε κάθε μιγαδικο z, δεν αντιστοιχεί μία μοναδική τιμή του λογαρίθμου με βάση πραγματικό αριθμό 0<α διάφορο 1 κι αυτό γιατί τα ορίσματα είναι άπειρα. Ας εξετάσουμε τους νεπέριους λογαρίθμους μιγαδικού.

Η πρωτεύουσα ή κύρια τιμή του λογαρίθμου του μη μηδενικού μιγαδικού z δίνεται από την παράσταση:

$Lnz=Ln\left|z \right|+iArg(z)$

Η πρωτεύουσα τιμή είναι μοναδική και αντιστοιχεί στο πρωτεύων όρισμα. Στον z αντιστοιχούν άπειρες τιμές του λογαρίθμου καθώς έχει άπειρα ορίσματα. Αυτές δίνονται από την σχέση:

$lnz=Ln\left|z \right|+i(\theta+2\kappa \pi ),\kappa \epsilon Z$

όπου θ οποιοδήποτε (όχι απαραίτητα πρωτεύων) όρισμα του z.

Ομοίως ${Log}_{\alpha }z={Log}_{\alpha }\left|z \right|+i\frac{Arg(z)}{ln\alpha }$

${log}_{\alpha }z={Log}_{\alpha }\left|z \right|+i\frac{\theta+2\kappa \pi}{ln\alpha },\kappa \epsilon Z$

Ας αναλύσουμε αυτό που μας έλεγαν στο σχολείο:

Η πρωτεύουσα τιμή ενός θετικού πραγματικού αριθμού είναι πραγματικός αριθμός και όλες οι άλλες τιμές του λογαρίθμου του μιγαδικοί αριθμοί.

Η πρωτεύουσα τιμή ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού και ενός μιγαδικού που δεν είναι πραγματικός αριθμός είναι μιγαδικός αριθμός όπως και όλες οι άλλες τιμές του λογαρίθμου του.

Γενικά για κάθε $x,y \epsilon C*$ ισχύει:

Ln(xy)=Lnx+Lny
Ln(x/y)=Lnx-Lny

paganini666 · 22-06-09

Αν

και

τοτε: α)

β)

John_Megadeth · 23-06-09

Και εγω θελω να μαθω μαθηματικα σε ανωτερο επιπεδο! Αγορασα και καποια βιβλια για θεωρια αριθμων και problem solving!
Για τους μιγαδικους τωρα, ειναι χρησιμοι ακομα και στη Γεωμετρια!
Οριστε και μια σελιδα που βρηκα https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/ComplexNumbersGeometry.shtml

Civilara · 23-06-09

Γενικώς ισχύει:

$sinz=\frac{{e}^{Im(z)}+{e}^{-Im(z)}}{2}sin\left(Re(z) \right)+i\frac{{e}^{Im(z)}-{e}^{-Im(z)}}{2}cos\left(Re(z) \right)$

$cosz=\frac{{e}^{Im(z)}+{e}^{-Im(z)}}{2}cos\left(Re(z) \right)-i\frac{{e}^{Im(z)}-{e}^{-Im(z)}}{2}sin\left(Re(z) \right)$
-----------------------------------------
Και κάτι ενδιαφέρον για το λογισμό. Θα το πω με γνώσεις λυκείου.

Γνωρίζουμε ότι αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], τότε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της καμπύλης y=f(x), τον άξονα x'x και τις ευθείες με εξισώσεις x=α και x=β υπολογίζεται από την σχέση:

$E(\Omega )=\int_{\alpha }^{\beta }\left|f(x) \right|dx$

Αν η f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] τότε το μήκος του τόξου της καμπύλης y=f(x) που ορίζεται από τα σημεία Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)) προσδιορίζεται από την σχέση:

$S(C)=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+{[f'(x)]}^{2}}dx$

Giorgos127 · 23-06-09

Φαίνονται υπέροχα!!!

Κριμα που δεν μπορω να καταλάβω σχεδόν τιποτα όμως

Αυτα τα μαθηματικά, δηλαδη, διδασκονται στις σχολες που έχουν ανωτερα μαθηματικα μεσα στην ύλη???

Civilara · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Giorgos127:
Φαίνονται υπέροχα!!! Κριμα που δεν μπορω να καταλάβω σχεδόν τιποτα όμως
Αυτα τα μαθηματικά, δηλαδη, διδασκονται στις σχολες που έχουν ανωτερα μαθηματικα μεσα στην ύλη???

Χεχε

. Σ' αρέσουν μπαγάσα, ε? Μη βιάζεσαι να μεγαλώσεις, θα τα μάθεις στην ώρα τους. Η απάντηση στην ερώτηση είναι Ναι.

Giorgos127 · 23-06-09

Ναι εννοειται σιγα σιγα... Ας μαθω πρωτα της Β και Γ Λυκειου και αν καταφέρω και περάσω σε μια σχολή με μαθηματικά (που το θέλω πάρα πολυ) θα εμβαθύνω ακόμα περισσότερο... Γενικά τα μαθηματικά πάντα μου άρεσαν και όχι μόνο ως σχολικό μάθημα

Civilara · 23-06-09

Επίσης ορίζεται λογάριθμος μιγαδικού $z\neq 0$ με βάση μιγαδικό $w\neq 0,w\neq 1$ . Είναι

${Log}_{w}z=\frac{Lnz}{Lnw}=\frac{Ln\left|z \right|+iArg(z)}{Ln\left|w \right|+iArg(w)}=\frac{Ln\left|z \right|Ln\left|w \right|+Arg(z)Arg(w)}{{Ln}^{2}\left|w \right|+{Arg}^{2}(w)}+\frac{Arg(z)Ln\left|w \right|-Ln\left|z \right|Arg(w)}{{Ln}^{2}\left|w \right|+{Arg}^{2}(w)}i$

και ${log}_{w}z=\frac{lnz}{lnw}=\frac{Ln\left|z \right|+iarg(z)}{Ln\left|w \right|+iarg(w)}=\frac{Ln\left|z \right|Ln\left|w \right|+arg(z)arg(w)}{{Ln}^{2}\left|w \right|+{arg}^{2}(w)}+\frac{arg(z)Ln\left|w \right|-Ln\left|z \right|arg(w)}{{Ln}^{2}\left|w \right|+{arg}^{2}(w)}i$

Επίσης ορίζεται δύναμη μιγαδικού $z\neq 0$ με εκθέτη μιγαδικό w. Ορίζεται:

${z}^{w}={e}^{wlnz}$ η οποία παράσταση παίρνει άπειρες τιμές ανάλογα με το όρισμα του z καθώς και ο lnz παίρνει άπειρες τιμές.

Με βάση τα παραπάνω, η άλγεβρα των μιγαδικών πλέον είναι σχεδόν πλήρης και έχουν οριστεί οι πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών.

Όταν δεν αναφέρεται κάτι διευκρινιστικό για την τιμή του λογαρίθμου ενός μιγαδικού αριθμού, τότε εννοείται η πρωτεύουσα τιμή του (με κεφαλαίο L).

andreas157 · 23-06-09

πω πω μαζέψαμε πράμα εδώ. εγώ μπορώ να βοηθήσω με γραμμική άλγεβρα, διαφορικές, συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, σειρές.

paganini666 · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Γενικώς ισχύει:

$sinz=frac{{e}^{Im(z)}+{e}^{-Im(z)}}{2}sinleft(Re(z) right)+ifrac{{e}^{Im(z)}-{e}^{-Im(z)}}{2}cosleft(Re(z) right)$

$cosz=frac{{e}^{Im(z)}+{e}^{-Im(z)}}{2}cosleft(Re(z) right)-ifrac{{e}^{Im(z)}-{e}^{-Im(z)}}{2}sinleft(Re(z) right)$
-----------------------------------------
Και κάτι ενδιαφέρον για το λογισμό. Θα το πω με γνώσεις λυκείου.

Γνωρίζουμε ότι αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], τότε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της καμπύλης y=f(x), τον άξονα x'x και τις ευθείες με εξισώσεις x=α και x=β υπολογίζεται από την σχέση:

$E(Omega )=int_{alpha }^{beta }left|f(x) right|dx$

Αν η f έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β] τότε το μήκος του τόξου της καμπύλης y=f(x) που ορίζεται από τα σημεία Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)) προσδιορίζεται από την σχέση:

$S(C)=int_{alpha }^{beta }sqrt{1+{[f'(x)]}^{2}}dx$

Αυτο το ηξερα! Το εχει ο Μαυρογιαννης στο φυλλαδιο του στη σελιδα του.
Αλλα δε θα ειναι δυσκολο να βρισκεις αυτο το ολοκληρωμα εφοσον ειναι κατω απο ριζα;

Civilara · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από paganini666:
Αλλα δε θα ειναι δυσκολο να βρισκεις αυτο το ολοκληρωμα εφοσον ειναι κατω απο ριζα;

Της π******ς γίνεται

(με το συμπάθιο).

Μια πιο ευπρεπής έκφραση είναι : "Της ιεροδούλου το κιγκλίδωμα"

.

djimmakos · 23-06-09

"Της επί τις χρήμασι εκδιδωμένης γυνής το σιδηρούν κιγκλίδωμα"

Να ρωτήσω.

Αυτή η παράσταση $\sqrt[3]{-8}$ ορίζεται ή όχι;

Civilara · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Djimmakos:
"Της επί τις χρήμασι εκδιδωμένης γυνής το σιδηρούν κιγκλίδωμα"

Να ρωτήσω.

Αυτή η παράσταση $sqrt[3]{-8}$ ορίζεται ή όχι;

Έτσι μπράβο. Να συννενοούμαστε

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, έχει καθιερωθεί να ορίζεται ρίζα ν τάξεως μόνο για τους θετικούς αριθμούς και αυτή να είναι θετικός αριθμός. Παρ' όλα αυτά εγώ διαφωνώ με αυτό αλλα είναι προσωπικό το θέμα. (Τα βάζω με τους μαθηματικούς τώρα)

Αφού ${(-2)}^{2}={2}^{2}=4$ γιατί να μην γράφουμε και $\sqrt{4}=-2$ ?. Μάλλον επειδή υπάρχουν 2 τετραγωνικές ρίζες, το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας το χρησιμοποιούμε για μία από τις 2 έτσι ώστε να αντιστοιχεί σε συνάρτηση και επιλέχθηκε η θετική.

Γιατί όμως να μην γράφουμε $\sqrt[3]{-8}=-2$ αφού ${(-2)}^{3}=-8$ ?. Κι εδώ πρέπει να είναι θέμα σύμβασης.

Γενικώς κάθε μιγαδικός αριθμός ${z}_{0}$ έχει ακριβώς ν ρίζες ν τάξεως οι οποίες προκύπτουν από την εξίσωση ${z}^{\nu }={z}_{0}$ .

djimmakos · 23-06-09

Μάλιστα.

Και εγώ την είχα την απορία αυτή με το ριζα4=-2. Είχα ρωτήσει το μαθηματικό μου και μου λέει ότι είναι πάντα θετική. Το γιατί δεν μου το εξήγησε.

:p

Civilara · 23-06-09

Έστω η καμπύλη C που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x=f(t) και y=g(t). Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν ολοκληρώσιμες παραγώγους στο διάστημα [α,β] τότε:

1) Αν η C είναι κλειστή καμπύλη, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη C υπολογίζεται από την σχέση εφόσον $f(\alpha )=g(\alpha )$ και $f(\beta )=g(\beta )$ :

$E(\Omega )=\frac{1}{2}\int_{\alpha }^{\beta }\left|f(t)g'(t)-f'(t)g(t) \right|dt$

1) Το μήκος του τόξου S της καμπύλης C που ορίζεται από τα σημεία $A\left(x(\alpha),y(\alpha ) \right)$ και $B\left(x(\beta ),y(\beta ) \right)$ υπολογίζεται από την σχέση:

$L(S)=\int_{\alpha }^{\beta }\left\sqrt{{\left[f'(t)] \right}^{2}+{\left[g'(t)] \right}^{2}}dt$

paganini666 · 23-06-09

Αρχική Δημοσίευση από Civilara:
Έστω η καμπύλη C που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x=f(t) και y=g(t). Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν ολοκληρώσιμες παραγώγους στο διάστημα [α,β] τότε:

1) Αν η C είναι κλειστή καμπύλη, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη C υπολογίζεται από την σχέση εφόσον $f(alpha )=g(alpha )$ και $f(beta )=g(beta )$ :

$E(Omega )=frac{1}{2}int_{alpha }^{beta }left|f(t)g'(t)-f'(t)g(t) right|dt$

1) Το μήκος του τόξου S της καμπύλης C που ορίζεται από τα σημεία $Aleft(x(alpha),y(alpha ) right)$ και $Bleft(x(beta ),y(beta ) right)$ υπολογίζεται από την σχέση:

$L(S)=int_{alpha }^{beta }leftsqrt{{left[f'(t)] right}^{2}+{left[g'(t)] right}^{2}}dt$

αυτο που τονισα δε το καταλαβα. καλα.
το y δεν ειναι η εξαρτημενη μεταβλητη; Πώς γινεται να ειναι και οι δυο εξαρτημενες;

Ανώτερα Μαθηματικά

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Περιβόητο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Διάσημο μέλος

Περιβόητο μέλος

Δραστήριο μέλος