Καλησπέρα σας, θα ήθελα να μου απαντήσει κάποιος σε ένα παλιό θέμα στατιστικής ή γενικότερα πως αντιμετωπίζεται αυτό :
Ποια είναι η πιθανότητα σε πέντε ρίψεις ενός ζαριού να εμφανιστεί τέσσερις φορές είτε "2" είτε "4";
Σας ευχαριστώ
Έστω Α1 το ενδεχόμενο να φέρεις 1, Α2 το ενδεχόμενο να φέρεις 2...κ.ο.κ .
Δεδομένου οτι υπάρχουν 6 ενδεχόμενα(μπορείς σε μια ρίψη να φέρεις 1,2,3...6 κτλπ.) και οτι το ζάρι είναι τίμιο(άρα όλα τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα μεταξύ τους), η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε απο αυτά είναι P(A1)=P(A2)...=P(A6) = 1/6.
Το ενδεχόμενο να φέρεις 2 ή 4 ερμηνεύεται ως το ενδεχόμενο Α1 U A4 . Οπότε η πιθανότητα σε μια ρίψη να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A1 U A4 είναι :
P(A2 U A4) = P(A2) + P(A4) - P(A2^A4) =>
Προφανώς αν ρίξεις 2 δεν γίνεται να φέρεις ταυτόχρονα και 4, οπότε P(A2 τομή A4) = 0.
Επομένως :
P(A2 U A4) = 1/6 + 1/6 - 0 =>
P(A2 U A4) = 1/3
Αυτά για την μια ρίψη. Τι γίνεται όμως στις 5 ρίψεις ; Λοιπόν μπορείς να το δεις ως εξής :
Πρόκειται για 5 διαφορετικά πειράματα ρίψης με επιτυχία εαν φέρεις 2 ή 4 και αποτυχία εαν φέρεις οτιδήποτε άλλο(1,3,5,6,7). Επιπλέον δεν υπάρχει κάποιος λόγος να θεωρήσεις οτι το τι αποτέλεσμα θα έχει η κάθε ρίψη σε καθένα απο τα πειράματα εξαρτάται στατιστικά απο το τι γίνεται στα υπόλοιπα πειράματα,επομένως δεχόμαστε και στατιστική ανεξαρτησία. Άρα πρόκειται για δοκιμές Bernoulli με
πιθανότητα επιτυχίας : p = P(A2 U A4) = 1/3 και πιθανότητα αποτυχίας : 1-p = 2/3.
Αριθμός δοκιμών/πειραμάτων/ρίψεων : 5
Αριθμός επιτυχιών : 4
Επομένως η πιθανότητα σε 5 ρίψεις να φέρεις 4 φορές 2 ή 4 θα είναι :
C(n,k)(p^k)*(1-p)^(n-k) =>
C(5,4)[(1/3)^4](2/3)
5!/4!(5-4)! = 5
(1/3)^4 = (1/3)^4 = 1/81
Άρα :
5(1/81)(2/3) = 0,041152 ή 4.11%
Εαν δεν κατάλαβες κάτι,πες μου. Ελπίζω να βοήθησα λιγάκι στο σκεπτικό.