Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
12-11-13
03:00
3η Άσκηση
Από ομογενές τετράγωνο πλακίδιο ΑΒΓΔ πλευράς α, αφαιρούμε ισοσκελές τριγωνικό πλακίδιο ΑΕΔ. Να υπολογιστεί το ύψος y αυτού του τριγωνικού πλακιδίου ώστε το κέντρο μάζας του υπόλοιπου πλακιδίου να είναι το σημείο Ε.Δίνεται ότι το κέντρο μάζας ομογενούς ισοσκελούς τριγώνου είναι στα 2/3 του ύψους του από την κορυφή του τριγώνου.
View attachment 55160[/B][/FONT]
Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων Αxy όπου ο θετικός ημιάξονας Ax έχει φορά από το Α προς το Δ και ο θετικός ημιάξονας Αy έχει φορά από το Α προς το Β. Για το y ισχύει 0<=y<=a.
Το χωρίο 1 είναι το τετράγωνο ΑΒΓΔ και το χωρίο 2 είναι το τρίγωνο ΑΕΔ.
Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας C1 του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι x1=y1=a/2 και το εμβαδόν του είναι Α1=a^2
Το τρίγωνο ΑΕΔ έχει εμβαδόν A2=(1/2)ay. Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας C2 του τριγώνου ΑΕΔ είναι:
x2=a/2
y2=(2/3)y
Το εμβαδόν του πολυγώνου ΑΒΓΔΕΑ είναι A=A1-A2 => A=(a^2)-(1/2)ay=a[a-(y/2)]
Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας C του πολυγώνου ΑΒΓΔΕΑ υπολογίζονται παρακάτω:
xC=(x1*A1-x2*A2)/(A1-A2) => xC=a/2 (ανεξάρτητο του y)
yC=(y1*A1-y2*A2)/(A1-A2) => yC=[3(a^2)-2(y^2)]/[3(2a-y)]
Το σημείο Ε έχει συντετεγμένες xE=a/2 και yE=y. Για να ταυτίζεται το C με το Ε πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:
xC=xE που ισχύει καθώς xC=xE=a/2
yC=yE
Από την 2η σχέση έχουμε:
yC=yE => [3(a^2)-2(y^2)]/[3(2a-y)]=y => 3(a^2)-2(y^2)=6ay-3(y^2) => (y^2)-6ay+3(a^2)=0 => (y^2)-6ay+9(a^2)=6(a^2) =>
=> (y-3a)^2=(aSQRT(6))^2 => |y-3a|=aSQRT(6)
Επειδή 0<=y<=aa τότε y-3a<0. Άρα |y-3a|=3a-y. Συνεπώς προκύπτει:
3a-y=aSQRT(6) => y=3a-aSQRT(6) => y=[3-SQRT(6)]a
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
12-11-13
01:38
2η Άσκηση
Να υπολογιστεί το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας ενός συμπαγούς ομογενούς κώνου ύψους h. Δίνεται Vκων=1/3πα^2h.
View attachment 55159
Θεωρούμε δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Oxyz όπου οι άξονες Ox και Oy είναι όπως στο σχήμα και ο άξονας Oz είναι κάθετος στον Ox και το επίπεδο Oxz είναι κάθετο στον άξονα y. Επομένως xC=zC=0.
Αν C είναι το κέντρο μάζας του κυλίνδρου τότε αυτό βρίσκεται πάνω στον άξονα Οy επειδή αυτός είναι άξονας συμμετρίας του κώνου. Ο χώρος V του κώνου οριοθετείται από την παράπλευρη επιφάνεια του S και τον κυκλικό δίσκο της βάσης του.
Το οριζόντιο επίπεδο y=y0 όπου 0<=y0<=h τέμνει τον κώνο και η κωνική τομή που σχηματίζεται είναι κύκλος ακτίνας r. Η ακτίνα r μεταβάλλεται στον κώνο γραμμικά με το ύψος y. Συνεπώς r=(a/h)y=f(y) όπου 0<=y<=h. Παρατηρούμε ότι f(0)=0 και f(h)=a όπως είναι αναμενόμενο.
Ο κύκλος C που σχηματίζεται από την κωνική τομή με το επίπεδο y=y0 έχει ακτίνα r0=f(y0)=(a/h)y0 με παραμετρικές εξισώσεις:
x=r0*cosθ => x=(a/h)*y0*cosθ
z=r0*sinθ => y=(a/h)*y0*sinθ
όπου 0<=y0<=h και 0<=θ<2π η δεξιόστροφη γωνία που σχηματίζει ο άξονας O΄x΄ με τον άξονα Ο΄z΄ οι οποίοι βρίσκονται στο επίπεδο y=y0 και είναι παράλληλοι στους άξονες Ox και Oz αντίστοιχα. Το σημείο Ο΄ είναι το Ο΄(0,y0,0).
Θέτοντας όπου y0 το y προκύπτουν οι παραμετρικές εξισώσεις της παράπλευρης επιφάνειας S του κώνου:
x=(a/h)*y*cosθ=g(y,θ)
z=(a/h)* y*sinθ=h(y,θ)
όπου 0<=y<=h και 0<=θ<2π
Κάθε σημείο του κώνου V είναι εσωτερικό της επιφάνειας S ή βρίσκεται πάνω σε αυτήν. Επομένως οι παραμετρικές εξισώσεις του χώρου του κώνου είναι οι εξής:
x=ρ*y*cosθ=F(ρ,θ,y)
z=ρ*y*sinθ=G(ρ,θ,y)
όπου 0<=ρ<=a/h, 0<=y<=h και 0<=θ<2π
Θα γίνει ο μετασχηματισμός από τον χώρο V στον χώρο A σύμφωνα με τον παραπάνω μετασχηματισμό όπου ο χώρος Α ορίζεται από τις μεταβλητές ρ, y και θ με 0<=ρ<=a/h, 0<=y<=h και 0<=θ<2π
Έχουμε
Υπολογίζουμε την Ιακωβιανή ορίζουσα του μετασχηματισμού V->A:
Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη στατική ροπή του κώνου ως προς το επίπεδο Oxz:
Αν και δίνεται θα υπολογιστεί ο όγκος του κυλίνδρου. Έχουμε:
Στη συνέχεια υπολογίζεται η συντεταγμένη yC:
Το διάνυσμα θέσης είναι το:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.