Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
12-11-13
19:47
Σωστός ο Δίας! Λάθος δικό μου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
12-11-13
01:38
2η Άσκηση
Να υπολογιστεί το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας ενός συμπαγούς ομογενούς κώνου ύψους h. Δίνεται Vκων=1/3πα^2h.
View attachment 55159
Θεωρούμε δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Oxyz όπου οι άξονες Ox και Oy είναι όπως στο σχήμα και ο άξονας Oz είναι κάθετος στον Ox και το επίπεδο Oxz είναι κάθετο στον άξονα y. Επομένως xC=zC=0.
Αν C είναι το κέντρο μάζας του κυλίνδρου τότε αυτό βρίσκεται πάνω στον άξονα Οy επειδή αυτός είναι άξονας συμμετρίας του κώνου. Ο χώρος V του κώνου οριοθετείται από την παράπλευρη επιφάνεια του S και τον κυκλικό δίσκο της βάσης του.
Το οριζόντιο επίπεδο y=y0 όπου 0<=y0<=h τέμνει τον κώνο και η κωνική τομή που σχηματίζεται είναι κύκλος ακτίνας r. Η ακτίνα r μεταβάλλεται στον κώνο γραμμικά με το ύψος y. Συνεπώς r=(a/h)y=f(y) όπου 0<=y<=h. Παρατηρούμε ότι f(0)=0 και f(h)=a όπως είναι αναμενόμενο.
Ο κύκλος C που σχηματίζεται από την κωνική τομή με το επίπεδο y=y0 έχει ακτίνα r0=f(y0)=(a/h)y0 με παραμετρικές εξισώσεις:
x=r0*cosθ => x=(a/h)*y0*cosθ
z=r0*sinθ => y=(a/h)*y0*sinθ
όπου 0<=y0<=h και 0<=θ<2π η δεξιόστροφη γωνία που σχηματίζει ο άξονας O΄x΄ με τον άξονα Ο΄z΄ οι οποίοι βρίσκονται στο επίπεδο y=y0 και είναι παράλληλοι στους άξονες Ox και Oz αντίστοιχα. Το σημείο Ο΄ είναι το Ο΄(0,y0,0).
Θέτοντας όπου y0 το y προκύπτουν οι παραμετρικές εξισώσεις της παράπλευρης επιφάνειας S του κώνου:
x=(a/h)*y*cosθ=g(y,θ)
z=(a/h)* y*sinθ=h(y,θ)
όπου 0<=y<=h και 0<=θ<2π
Κάθε σημείο του κώνου V είναι εσωτερικό της επιφάνειας S ή βρίσκεται πάνω σε αυτήν. Επομένως οι παραμετρικές εξισώσεις του χώρου του κώνου είναι οι εξής:
x=ρ*y*cosθ=F(ρ,θ,y)
z=ρ*y*sinθ=G(ρ,θ,y)
όπου 0<=ρ<=a/h, 0<=y<=h και 0<=θ<2π
Θα γίνει ο μετασχηματισμός από τον χώρο V στον χώρο A σύμφωνα με τον παραπάνω μετασχηματισμό όπου ο χώρος Α ορίζεται από τις μεταβλητές ρ, y και θ με 0<=ρ<=a/h, 0<=y<=h και 0<=θ<2π
Έχουμε
Υπολογίζουμε την Ιακωβιανή ορίζουσα του μετασχηματισμού V->A:
Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη στατική ροπή του κώνου ως προς το επίπεδο Oxz:
Αν και δίνεται θα υπολογιστεί ο όγκος του κυλίνδρου. Έχουμε:
Στη συνέχεια υπολογίζεται η συντεταγμένη yC:
Το διάνυσμα θέσης είναι το:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.