Ερώτηση σε θέμα με ισεμβαδικά χωρία

[thepigod762]

Αδυνατώ να λύσω ένα υποερώτημα άσκησης που αφορά ισεμβαδικά χωρία. Το θέμα έχει ως εξής:

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e^x/x, x>0.

α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την f στο διάστημα (0, +οο).

β) Να δείξετε ότι f(ρίζα x) >= f(x), για κάθε x>0.

γ) Να δείξετε ότι ολοκλήρωμα από 1/4 έως 4 του e^x/x > 2(e^2 - ρίζα e).

δ) Έστω α ε (0, 1). Αν το χωρίο που περικλείεται από την Cf, τον x'x και τις ευθείες x=α και x=1 είναι ισεμβαδικό με το χωρίο που περικλείεται από την Cf, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=1 και x=α+1, να υπολογίσετε το α.

Τα τρία πρώτα είναι βατά. Στο τελευταίο όμως αντιμετωπίζω δυσκολία και στις υποδείξεις του βιβλίου απλά δίνεται η τιμή του α (1/(e-1)).

Καταρχάς προφανώς προκύπτει ολοκλήρωμα από α έως 1 του e^x/x = ολοκλήρωμα από 1 έως α+1 του e^x/x <=> ολοκλήρωμα από 1 έως α+1 του e^x/x + ολοκλήρωμα από 1 έως α του e^x/x = 0.

Το ολοκλήρωμα της f δεν υπολογίζεται από μόνο του, οπότε η αμέσως επόμενη σκέψη είναι από την ανισότητα στο (β) να περάσουμε σε ολοκληρώματα, όπως λύνεται και το (γ). Αλλά πώς...

Επίσης καλή δεν είναι και η σκέψη να θεωρήσουμε τη συνάρτηση του ενός μέλους ως προς α; Η παράγωγός της είναι e^(α+1)/(α+1) - e^α/α = f(α+1)-f(α) αλλά έλα που η f αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του 1...

 

[thepigod762]

Αδυνατώ να λύσω ένα υποερώτημα άσκησης που αφορά ισεμβαδικά χωρία. Το θέμα έχει ως εξής:

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e^x/x, x>0.

α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την f στο διάστημα (0, +οο).

β) Να δείξετε ότι f(ρίζα x) >= f(x), για κάθε x>0.

γ) Να δείξετε ότι ολοκλήρωμα από 1/4 έως 4 του e^x/x > 2(e^2 - ρίζα e).

δ) Έστω α ε (0, 1). Αν το χωρίο που περικλείεται από την Cf, τον x'x και τις ευθείες x=α και x=1 είναι ισεμβαδικό με το χωρίο που περικλείεται από την Cf, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=1 και x=α+1, να υπολογίσετε το α.

Τα τρία πρώτα είναι βατά. Στο τελευταίο όμως αντιμετωπίζω δυσκολία και στις υποδείξεις του βιβλίου απλά δίνεται η τιμή του α (1/(e-1)).

Καταρχάς προφανώς προκύπτει ολοκλήρωμα από α έως 1 του e^x/x = ολοκλήρωμα από 1 έως α+1 του e^x/x <=> ολοκλήρωμα από 1 έως α+1 του e^x/x + ολοκλήρωμα από 1 έως α του e^x/x = 0.

Το ολοκλήρωμα της f δεν υπολογίζεται από μόνο του, οπότε η αμέσως επόμενη σκέψη είναι από την ανισότητα στο (β) να περάσουμε σε ολοκληρώματα, όπως λύνεται και το (γ). Αλλά πώς...

Επίσης καλή δεν είναι και η σκέψη να θεωρήσουμε τη συνάρτηση του ενός μέλους ως προς α; Η παράγωγός της είναι e^(α+1)/(α+1) - e^α/α = f(α+1)-f(α) αλλά έλα που η f αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του 1...

Disclaimer: το βιβλίο της άσκησης είναι ακυκλοφόρητο, οπότε δεν είναι απίθανο το ζητούμενο αυτό να είναι λάθος!