Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

qwerty111 · 31 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από Dmitsos:
To άθροισμα δύο όρων μεγαλύτερων ίσων του 2 είναι ίσο με δύο μόνο όταν οι δύο όροι είναι ίσοι με 1.

$f(x)\geq 1\Leftrightarrow f^3(x)\geq 1\Leftrightarrow \lim_{x->x_0}f^3(x)\geq 1$
Κάνουμε το ίδιο με την g και προσθέτουμε. Δεν μπορεί κάποιο όριο να είναι μεγαλύτερο του 1 γιατί αλλιώς θα' χαμε >2 το άθροισμα.

Νομίζω ότι είναι λάθος αυτό που κάνεις γιατί δεν ξέρουμε ότι υπάρχει το limf³(χ) (x-->xo)
Εμένα πάντως μου πήρε η λύση μια σελίδα. Εφάρμοσα στην αρχή την ταυτότητα f³(x)+g³(x)=(f(x)+g(x))³-3f(x)g(x)(f(x)+g(x))
Επειδή f(x),g(x)>=1, έχουμε ότι 2<=f(x)+g(x)<=f³(x)+g³(x)
Με κριτήριο παρεμβολής, βρίσκουμε ότι lim(f(x)+g(x))=2 (x-->xo)
Θέτω h(x)=(f(x)+g(x))³-3f(x)g(x)(f(x)+g(x)
Οπότε f(x)g(x)=[h(x)-(f(x)+g(x))³]/[-3((f(x)+g(x))] και limh(x)=2 (x-->x0)
Έχουμε ότι lim[f(x)g(x)]=[2-2³][-3*2]=1 (χ-->χο)
Όμως f(x)g(x)>=f(x)*1=f(x) , οπότε 1<=f(x)<=f(x)g(x)
Με κριτήριο παρεμβολής limf(x)=1 (x-->xo)
Ομοίως limg(x)=1 (x-->xo)

Αρχική Δημοσίευση από vassilis497:
ή πιο μπακαλίστικα ( δεν ξέρω αν εννοεί αυτό ο qwerty)

για y=x
$f(2x)=2f(x)$

για y=2x
$f(3x)=f(x)+f(2x)=3f(x)$

για y=3x
$f(4x)=f(x)+f(3x)=4f(x)$

.
.
.
.
.
για y=(v-1)x
$f(vx)=vf(x)$

Δεν εννοούσα αυτό ακριβώς (αλλά πάνω κάτω το ίδιο είναι)

Για ν=1 η δοσμένη σχέση ισχύει (ή για ν=0 ανάλογα αν η άσκηση λέει Ν* ή Ν αντίστοιχα)
Δέχομαι ότι ισχύει για ν=k, δηλαδή δέχομαι ότι f(kx)=kf(x)
Θα δείξω ότι ισχύει για ν=κ+1, δηλαδή θα δείξω ότι f[(κ+1)χ]=(k+1)f(x)
f[(κ+1)χ]=f(κχ+χ)=f(kx)+f(x)=kf(x)+f(x)=(k+1)f(x)

Αν $a{e}^{2x}+b{e}^{x}+c=0$ , να δείξετε ότι a=b=c=0.
Η εξής άσκηση λύνεται με διαδοχικές παραγοντοποιήσεις. Σκέφτηκα όμως και το εξής και δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό.
Θέτω ${e}^{x}=y$ , οπότε η αρχική σχέση γίνεται $a{y}^{2}+by+c=0, y>0$ . To πολυώνυμο $P(y)=a{y}^{2}+by+c$ είναι το μηδενικό, οπότε πρέπει a=b=c=0
Τι λέτε;

exc · 26-08-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Αν $a{e}^{2x}+b{e}^{x}+c=0$ , να δείξετε ότι a=b=c=0.
Η εξής άσκηση λύνεται με διαδοχικές παραγοντοποιήσεις. Σκέφτηκα όμως και το εξής και δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό.
Θέτω ${e}^{x}=y$ , οπότε η αρχική σχέση γίνεται $a{y}^{2}+by+c=0, y>0$ . To πολυώνυμο $P(y)=a{y}^{2}+by+c$ είναι το μηδενικό, οπότε πρέπει a=b=c=0
Τι λέτε;

Σωστά τα λες, εφόσον φυσικά η

ισχύει για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

qwerty111 · 26 Αυγούστου 2011

Δηλαδή δεν έχει σημασία που στο πολυώνυμο P(y) η μεταβλητή y δεν είναι ανεξάρτηση αλλά εξαρτάται από το ${e}^{x}$ ;
Και κάτι άλλο τώρα που το θυμήθηκα σχετικά με εξαρτημένες και ανεξάρτητες μεταβλητές
Έχω την παράσταση ${e}^{4x} - {e}^{2x} + 1$ , $x\in R$
Θέτω ${e}^{2x}=y$
Οπότε η αρχική παράσταση γίνεται ${y}^{2} - y + 1$ η οποία έχει Δ<0
Στη συνέχεια είναι σωστό να πω άρα ${y}^{2} - y + 1 > 0$ για κάθε $y\in R$ ; :hmm:

Γιατί στην ουσία είναι y>0 οπότε κανονικά το σωστό μήπως είναι ${y}^{2} - y + 1 > 0$ για κάθε $y>0$ ; Ή όταν θέσαμε ${e}^{2x}=y$ μετά αντιμετωπίζουμε την y ως ανεξάρτητη μεταβλητή που μπορεί θεωρητικά να πάρει όλες τις τιμές;

dark_knight · 27 Αυγούστου 2011

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Όταν η εκφώνηση μιας άσκησης δίνει ότι η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, μεταφράζεται στο ότι η f' και η f'' έχουν πεδίο ορισμού το R, σωστά;
Γιατί το σχολικό βιβλίο αναφέρει ότι λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Αρχική Δημοσίευση από Pagitas:
Λαθος. Δεν ειναι υποχρεωτικο να ειναι καν παραγωγισιμη σε ολο το R.

Αναφέρεσαι στην περίπτωση που $D_f\subsetneq\mathbb{R}$ ?

exc · 27-08-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Δηλαδή δεν έχει σημασία που στο πολυώνυμο P(y) η μεταβλητή y δεν είναι ανεξάρτηση αλλά εξαρτάται από το ${e}^{x}$ ;

Δεν έχει σημασία. Αρκεί που είναι η ίδια συνάρτηση υψωμένη σε διαφορετική δύναμη και ότι η σχέση ισχύει για κάθε χ στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Και κάτι άλλο τώρα που το θυμήθηκα σχετικά με εξαρτημένες και ανεξάρτητες μεταβλητές
Έχω την παράσταση ${e}^{4x} - {e}^{2x} + 1$ , $x\in R$
Θέτω ${e}^{2x}=y$
Οπότε η αρχική παράσταση γίνεται ${y}^{2} - y + 1$ η οποία έχει Δ<0
Στη συνέχεια είναι σωστό να πω άρα ${y}^{2} - y + 1 > 0$ για κάθε $y\in R$ ;
Γιατί στην ουσία είναι y>0 οπότε κανονικά το σωστό μήπως είναι ${y}^{2} - y + 1 > 0$ για κάθε $y>0$ ; Ή όταν θέσαμε ${e}^{2x}=y$ μετά αντιμετωπίζουμε την y ως ανεξάρτητη μεταβλητή που μπορεί θεωρητικά να πάρει όλες τις τιμές;

Όχι δεν μπορεί να πάρει όλες τις τιμές το y, μόνο τις θετικές.
Άλλαξες την μεταβλητή, αλλά αυτή δεν είναι ανεξάρτητη, είναι συνάρτηση του χ.

jjoohhnn · 27-08-11

Αρχική Δημοσίευση από pizza1993:
dmitso διαφωνω λιγο με τον τροπο σου μιας και δεν διχνεις με απολυτη μαθηματικη αυστηροτητα το ζητουμενο και ο ενδεχωμενος εξεταστης ισως εκοβε μερικα μοριακια...(μπορει να κανω και λαθος αλλα με μια γρηγορη ματια κατι δεν μου καθετε,αν μπορεις εξηγησε λιγο παραπανω πως καταληγεις στο συμπερασμα σου..)

Εγω θα την ελυνα ετσι:lim[f^3(x)+limg^3(x)]=2
limf^3(x) +limg^3(x)=2
limf^3(x)=2-limg^3(x)

Ομως limf^3(x)>=1 αρα 2-limg^3(x)>=1
limg^3(x)<=1 ομως απο υποθεση limg^3(x)>=1 αρα limg^3(x)=1 ομοιως για το limf^3(x)=1...

E μετα ιδιοτητες οριων και ριζωνεις.Αυτα!

Εφόσον δε γνωρίζεις ότι υπάρχει το όριο της f και της g δεν μπορείς να εφαρμόσεις τις ιδιότητες των ορίων. Άρα το να πεις lim[f(x)^3+g(x)^3]=limf(x)^3+limg(x)^3 είναι λάθος.

qwerty111 · 27-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Δεν έχει σημασία. Αρκεί που είναι η ίδια συνάρτηση υψωμένη σε διαφορετική δύναμη και ότι η σχέση ισχύει για κάθε χ στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Όχι δεν μπορεί να πάρει όλες τις τιμές το y, μόνο τις θετικές.
Άλλαξες την μεταβλητή, αλλά αυτή δεν είναι ανεξάρτητη, είναι συνάρτηση του χ.

Άρα η έκφραση ${y}^{2} - y + 1 > 0$ για κάθε $y\in R$ είναι σωστή ή λάθος;

exc · 27-08-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Άρα η έκφραση ${y}^{2} - y + 1 > 0$ για κάθε $y\in R$ είναι σωστή ή λάθος;

Αν $y=y(x)=e^x$ , τότε καταλαβαίνεις ότι $y\in$ 0\,,\,+\infty$$ .
Προφανώς $y\notin \mathbb{R}$ , αφού $\mathbb{R}=$ -\infty\,,\,0\]\cup\( 0\,,\,+\infty$$ .

red span · 27-08-11

Αρχική Δημοσίευση από Or3st1s SOAD:
Μια συναρτηση εχει την ιδιοτητα με πεδιο ορισμου το R εχει την ιδιοτητα f(x+y)=f(x)+f(y)
vδο i) f(0)=0
ii) η f ειναι περιττη
iii) f(x-y)=f(x)-f(y)
iv) f(vx)= vf(x)
Τα ελυσα τα τρια πρωτα ευκολα αλλα στο τεταρτο σκαλωσα.

Συνάρτηση Cauchy!
Εδω https://www.nsmavrogiannis.gr/Ekthetis/Ekthetis001.pdf εκτενής αναφορά

qwerty111 · 27-08-11

Αρχική Δημοσίευση από exc:
Αν $y=y(x)=e^x$ , τότε καταλαβαίνεις ότι $y\in$ 0\,,\,+\infty$$ .
Προφανώς $y\notin \mathbb{R}$ , αφού $\mathbb{R}=$ -\infty\,,\,0\]\cup\( 0\,,\,+\infty$$ .

Με μπέρδεψες τώρα. Γιατί λες ότι $y\notin \mathbb{R}$ ; Με αυτό το συμβολισμό δεν εννοούμε ότι ο y είναι μιγαδικός;

Και παραθέτω μια άσκηση από το βοήθημα του μπάρλα.
https://imageshack.us/photo/my-images/827/79846423.jpg/
Ο Μπάρλας λέει y^2-2y+3 > 0 για κάθε yεR αλλά στην πραγματικότητα το y δεν μπορεί να πάρει όλες τις τιμές.'Έτσι, δίνει την εντύπωση ότι θεωρεί το y ανεξάρτητη μεταβλητή. Άρα κανονικά δεν θα έπρεπε να έγραφε για κάθε yεf(R);

exc · 27-08-11

Αρχική Δημοσίευση από qwerty111:
Με μπέρδεψες τώρα. Γιατί λες ότι $y\notin \mathbb{R}$ ; Με αυτό το συμβολισμό δεν εννοούμε ότι ο y είναι μιγαδικός;

Και παραθέτω μια άσκηση από το βοήθημα του μπάρλα.
https://imageshack.us/photo/my-images/827/79846423.jpg/
Ο Μπάρλας λέει y^2-2y+3 > 0 για κάθε yεR αλλά στην πραγματικότητα το y δεν μπορεί να πάρει όλες τις τιμές.'Έτσι, δίνει την εντύπωση ότι θεωρεί το y ανεξάρτητη μεταβλητή. Άρα κανονικά δεν θα έπρεπε να έγραφε για κάθε yεf(R);

Οι τιμές που μπορεί να πάρει το y είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης με την οποία το ταύτισες.
Αν y=f(x) και η f έχει σύνολο τιμών το (0,άπειρο), τότε δεν έχει νόημα να μιλήσεις για y αρνητικό.
Το πολυώνυμο μπορεί τελικά να είναι μηδενικό, θετικό ή αρνητικό για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, αλλά εσένα σε ενδιαφέρει το τι κάνει στο σύνολο τιμών της f.

Το $y\notin \mathbb{R}$ δεν σημαίνει ότι το y είναι μιγαδικός. Σημαίνει ότι δεν μπορεί να πάρει όλες τις τιμές του R. Μη ξεχνάς ότι μιλάμε για μία μεταβλητή και όχι για έναν συγκεκριμένο αριθμό. Αν ήταν ένας συγκεκριμένος αριθμός, τότε ο συμβολισμός θα μπορούσε να πάρει την έννοια που λες, αλλά και πάλι θα ήξερες ότι το στοιχείο y δεν είναι πραγματικός αριθμός, όχι ότι είναι μιγαδικός. Θα μπορούσε να είναι κάτι άλλο.
Για να πεις ότι α ανήκει στους μιγαδικούς (Complex Numbers) λες: $a\in \mathbb{C}$

kosmas13green · 30-08-11

Παιδιά μπορεί να με βοηθήσει κάποιος με αυτό εδώ: "Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z όταν ισχύει: z=|z|+(z*(συζυγής του)z)i

stathis1214 · 30-08-11

Απο τη σχεση εχεις z=|z|+|z|^2i <=>
<=> z=|z|(1+|z|i) Αφου οι μιγαδικοι ειναι ισοι θα ειναι ισα κ τα μετρα τους αρα
|z|=|z||1+|z|i|<=>|z|(1+|z|i-1)=0<=>|z|*|z|i=0<=>|z|^2=0<=>|z|=0

antwwwnis · 30-08-11

Σε πολλές ασκήσεις, περισσότερο όταν ανακατεύουν σύνθεση, βλέπω το εξής: Θέτω χ=f(x)
πχ σε αυτήν του Μπάρλα : Αν f:R-R και ισχυει f(f(x))=3x +4(1) για κάθε χ€R, να δείξετε ότι f(3x+4)=3f(x) +4
Λύση: Θέτω χ=f(x) οπότε η (1) γίνεται f(f(f(x)))=3f(x) +4 <=> f(3x+4)=3f(x) +4
Δεν θα ήταν πιο σωφρον να λέγαμε: θέτω y=f(x) για να μην έχουμε παρεξηγήσεις του τύπου «η χ=f(x) είναι τύπος συνάρτησης»;
Δηλαδή να κάνουμε τη δήλωση της εξαρτημένης μεταβλητής με γράμμα διαφορετικό του x, που δηλώνει ανεξάρτητη;

Ελπίζω να καταλάβατε τι έγραψα, γιατί όπως τα έγραψα δεν τα καταλαβαίνω ούτε εγώ σε 2η ανάγνωση.

g1wrg0s · 30-08-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Σε πολλές ασκήσεις, περισσότερο όταν ανακατεύουν σύνθεση, βλέπω το εξής: Θέτω χ=f(x)
πχ σε αυτήν του Μπάρλα : Αν f:R-R και ισχυει f(f(x))=3x +4(1) για κάθε χ€R, να δείξετε ότι f(3x+4)=3f(x) +4
Λύση: Θέτω χ=f(x) οπότε η (1) γίνεται f(f(f(x)))=3f(x) +4 <=> f(3x+4)=3f(x) +4
Δεν θα ήταν πιο σωφρον να λέγαμε: θέτω y=f(x) για να μην έχουμε παρεξηγήσεις του τύπου «η χ=f(x) είναι τύπος συνάρτησης»;
Δηλαδή να κάνουμε τη δήλωση της εξαρτημένης μεταβλητής με γράμμα διαφορετικό του x, που δηλώνει ανεξάρτητη;

Ελπίζω να καταλάβατε τι έγραψα, γιατί όπως τα έγραψα δεν τα καταλαβαίνω ούτε εγώ σε 2η ανάγνωση.

εχεις την σχεση f(f(x))=3x+4 Αν θεσεις y=f(x) τοτε η σχεση σου θα γινει f(y)=3x+4 (ή νομιζω f(y)=f^-1(y)+3 αν η f ειναι 1-1)
Θες μεσα στο ορισμα της πρωτης f να δημιουργησεις το f(f(x)) , ωστε να βγει f(f(f(x)))=3f(x)+4=>f(3x+4)=3f(x)+4 (αφου σου δινει σαν δεδομενο οτι f(f(x)))=3x+4 )
.Γι αυτο το λογο θετεις x=f(x) και οχι καποια αλλη μεταβλητη

stathis1214 · 30-08-11

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis:
Σε πολλές ασκήσεις, περισσότερο όταν ανακατεύουν σύνθεση, βλέπω το εξής: Θέτω χ=f(x)
πχ σε αυτήν του Μπάρλα : Αν f:R-R και ισχυει f(f(x))=3x +4(1) για κάθε χ€R, να δείξετε ότι f(3x+4)=3f(x) +4
Λύση: Θέτω χ=f(x) οπότε η (1) γίνεται f(f(f(x)))=3f(x) +4 <=> f(3x+4)=3f(x) +4
Δεν θα ήταν πιο σωφρον να λέγαμε: θέτω y=f(x) για να μην έχουμε παρεξηγήσεις του τύπου «η χ=f(x) είναι τύπος συνάρτησης»;
Δηλαδή να κάνουμε τη δήλωση της εξαρτημένης μεταβλητής με γράμμα διαφορετικό του x, που δηλώνει ανεξάρτητη;

Ελπίζω να καταλάβατε τι έγραψα, γιατί όπως τα έγραψα δεν τα καταλαβαίνω ούτε εγώ σε 2η ανάγνωση.

κοιτα απο τη στιγμη που το x παιρνει οποιαδηποτε τιμη ειναι σωστο να πεισ θετω x=f(x). τωρα ο λογος που δε λεμε y=f(x) ειναι οτι θα μπλεξεις μεσα την αντιστροφη και δεν υπαρχει λογος να το κανεις.

John_Spirit · 30 Αυγούστου 2011

Να βρεθει η συνεχης συναρτηση f:R-->R με την ιδιοτητα:
f(x)+√(x²+x+2)=1+x[f(x)+1] για καθε χΕR
Κανω επιμεριστικη ιδιοτητα μετα λυνω ως προς F(x) και μετα δεν ξερω τι αλλο πρεπει να κανω...
καμια βοηθεια?

g1wrg0s · 30-08-11

η F ειναι η αρχικη της f ;
επισης γραφεις τετραγωνθκη ριζα του (χ^2) ;;

John_Spirit · 30-08-11

Μολις το διορθωσα Γιωργο...

kosmas13green · 30-08-11

Αρχική Δημοσίευση από kosmas13green:
Παιδιά μπορεί να με βοηθήσει κάποιος με αυτό εδώ: "Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z όταν ισχύει: z=|z|+(z*(συζυγής του)z)i

Αρχική Δημοσίευση από stathis1214:
Απο τη σχεση εχεις z=|z|+|z|^2i <=>
<=> z=|z|(1+|z|i) Αφου οι μιγαδικοι ειναι ισοι θα ειναι ισα κ τα μετρα τους αρα
|z|=|z||1+|z|i|<=>|z|(1+|z|i-1)=0<=>|z|*|z|i=0<=>|z|^2=0<=>|z|=0

Εγώ πάντως είχα κολλήσει εδώ: z=|z|+|z|^2i <=> |z|=(ριζα)|z|^2+(|z|^4i^2) μετά τι κάνω? Btw ευχαριστώ

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος