Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

guess · 18-08-10

πρεπει αυτο ομως να το παραστησω γραφικα...
και πρεπει να χωρισω περιπτωσεις επειδη το λν ειναι σε απολυτο

akiroskirios · 18-08-10

μπορείς και χωρίς να πάρεις περιπτώσεις....απλά χάραξε την lnx και στη συνέχεια φέρνεις τα συμμετρικά ως προς τον x'x των σημείων που βρίσκονται κάτω από αυτόν (θεωρία βιβλίου)
αν είσαι προχωρημένος στην ύλη κι έχεις μελετήσει κοίλα και μονοτονία τότε χαράζεις έτσι την lnx...αν όχι, τότε τη χαράζεις κατευθείαν αφού την έχει το σχολικό στη θεωρία του

red span · 20-08-10

Αρχική Δημοσίευση από akiroskirios:
μπορείς και χωρίς να πάρεις περιπτώσεις....απλά χάραξε την lnx και στη συνέχεια φέρνεις τα συμμετρικά ως προς τον x'x των σημείων που βρίσκονται κάτω από αυτόν (θεωρία βιβλίου)
αν είσαι προχωρημένος στην ύλη κι έχεις μελετήσει κοίλα και μονοτονία τότε χαράζεις έτσι την lnx...αν όχι, τότε τη χαράζεις κατευθείαν αφού την έχει το σχολικό στη θεωρία του

@συμφωνω και εγω ετσι τα κανω τα απολυτα δεν καθομαι να παιρνω περιπτωσεις

guess · 20-08-10

οκ αλλα η απορια μου στο παραπανω ποστ μου που βρηκα το 1 ακομα υπαρχει...απο καπου προκυπτει και δεν μπορω να το λυσω...στις ανισοτητες με τα ln

red span · 20 Αυγούστου 2010

Αρχική Δημοσίευση από guess:
ok thanks ...
αλλα στην f(x)=|lnx|
λέμε χ<0 , χΕ(0,1)
και χ>(και ίσο)0 , χΕ[1,+ΟΟ)
ΤΟ 1 απο που προκυπτει?

διακρινω περιπτωσεις αν lnx>=o x>=1 τοτε f(x)=lnx
αν lnx<o x<1
κανω ενα πινακα για χ>=1
χ 1 e
y 0 1 (παρομοια και για τον αλλο περιορισμο.Ο καθηγητης μας ειπε οτι οταν εχουμε εναν περιορισμο οπως χ>=1 να προτιμαμε να δινουμε την τιμη 1 για παραδειγμα γιατι βολευει στην χαραξη της γραφικης και στην δευτερη τιμη να δεις κατι που θα σε βολευει και να ειναι χ >=1 στο παραδειγμα μας το e
ας πουμε αν εχουμε την συναρτηση φ(χ)=5 αν χε(3,5)
φ(χ)=χ+1 χε(5,+οο) τοτε λες υ=5 ειναι σταθερη και οριζεται απο 3 μεχρι 5 η φ(χ1)=χ+1 οριζεται απο (5,+οο) τοτε θα προτιμισω να βαλω την τιμη χ=5 γιατι θα με βολεψει στην χαραξη απλα θα βαλω ανοιχτο κυκλακι (χωρις την τιμη 5) και μετα επιλεγω μια τιμη που ειναι μεσα στο πεδιο ορισμου ασ πουμε 7 και μετα η χαραξη γινεται πολυ απλη
απλα και κατανοητα οχι συνθετα και δυσκολα :clapup:

Υ.Γ(τους παραγωσους τους κανουμε κατα τον δεκεμβριο νομιζω τωρα απλα δουλεουμε με μονοτονιες)

Pasipoy · 21-08-10

Καλησπέρα παιδιά μπορεί κάποιος-α να με βοηθήσει σ αυτή την ασκηση ? Ευχαριστώ...

Να δείξετε ότι ο αριθμός w=(2+3i)^2006+(3+2i)^2006 είναι φανταστικός .

koum · 21-08-10

Αρχική Δημοσίευση από Pasipoy:
Καλησπέρα παιδιά μπορεί κάποιος-α να με βοηθήσει σ αυτή την ασκηση ? Ευχαριστώ...

Να δείξετε ότι ο αριθμός w=(2+3i)^2006+(3+2i)^2006 είναι φανταστικός .

Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \bar w=-w$

Έχουμε $\displaystyle \bar w= ...$

** Υ.Γ. **
Απλά παρατήρησε ότι $\displaystyle 2-3i= -i(3+2i)$ , $\displaystyle 3-2i= -i(2+3i)$ και $\displaystyle 2006=2\times 1003$

Pasipoy · 21-08-10

Αρχική Δημοσίευση από koum:
Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \bar w=-w$

Έχουμε $\displaystyle \bar w= ...$

** Υ.Γ. **
Απλά παρατήρησε ότι $\displaystyle 2-3i= -i(3+2i)$ , $\displaystyle 3-2i= -i(2+3i)$ και $\displaystyle 2006=2\times 1003$

Eυχαριστώ

guess · 22-08-10

Αρχική Δημοσίευση από red span:
διακρινω περιπτωσεις αν lnx>=o x>=1 τοτε f(x)=lnx
αν lnx<o x<1
κανω ενα πινακα για χ>=1
χ 1 e
y 0 1 (παρομοια και για τον αλλο περιορισμο.Ο καθηγητης μας ειπε οτι οταν εχουμε εναν περιορισμο οπως χ>=1 να προτιμαμε να δινουμε την τιμη 1 για παραδειγμα γιατι βολευει στην χαραξη της γραφικης και στην δευτερη τιμη να δεις κατι που θα σε βολευει και να ειναι χ >=1 στο παραδειγμα μας το e
ας πουμε αν εχουμε την συναρτηση φ(χ)=5 αν χε(3,5)
φ(χ)=χ+1 χε(5,+οο) τοτε λες υ=5 ειναι σταθερη και οριζεται απο 3 μεχρι 5 η φ(χ1)=χ+1 οριζεται απο (5,+οο) τοτε θα προτιμισω να βαλω την τιμη χ=5 γιατι θα με βολεψει στην χαραξη απλα θα βαλω ανοιχτο κυκλακι (χωρις την τιμη 5) και μετα επιλεγω μια τιμη που ειναι μεσα στο πεδιο ορισμου ασ πουμε 7 και μετα η χαραξη γινεται πολυ απλη
απλα και κατανοητα οχι συνθετα και δυσκολα
Υ.Γ(τους παραγωσους τους κανουμε κατα τον δεκεμβριο νομιζω τωρα απλα δουλεουμε με μονοτονιες)

ευχαριστώ

akiroskirios · 22 Αυγούστου 2010

Αρχική Δημοσίευση από Pasipoy:
Καλησπέρα παιδιά μπορεί κάποιος-α να με βοηθήσει σ αυτή την ασκηση ? Ευχαριστώ...

Να δείξετε ότι ο αριθμός w=(2+3i)^2006+(3+2i)^2006 είναι φανταστικός .

μία άλλη λύση

$w={2+3i}^{2006}+{3+2i}^{2006}={{2+3i}^{2}}^{1003}+{{3+2i}^{2}}^{1003}={4-9+12i}^{1003}+{9-4+12i}^{1003}= {-5+12i}^{1003}+{5+12i}^{1003}$

θέτω $z= {5+12i}^{1003}$
τότε $\bar{z}= {5-12i}^{1003} άρα -\bar{z}= {-5+12i}^{1003}$

άρα τώρα $w= -\bar{z} + z = 2 Im(z)i \in I$ =σύνολο φανταστικών αριθμών (διότι Re(w)=0 )

οι παρενθέσεις εννοούνται...τις άφησα επίτηδες για να τις καταλάβεις

Evi_Panay · 23-08-10

αν Α η εικονα του μιγαδικου z και Β η εικονα του μιγαδικου w.. να δειξετε οτι.
α)ΟΑ(διανυσμα) * ΟΒ(διανυσμα)=Re(zw-o w συζηγης)
β)αν Α η εικονα του z1 ,B η εικονα του z2, Γ η εικονα του z3 και ισχυει μετρο z1 = μετρο z2= μετρο z3=1
καθως επισης και z1*z2 *(z1+z2)+z2*z3*(z2+z3)+z1*z3*(z3+z1)=0 ..ν.δ.ο. ΟΑ (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ) + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)=ΟΑ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜA)^2

Οποιος μπορει ας με βοηθησει με την επιλυση της παραπανω σκησης ..ευχαριστω πολυ

exc · 23-08-10

Αρχική Δημοσίευση από Evi_Panay:
αν Α η εικονα του μιγαδικου z και Β η εικονα του μιγαδικου w.. να δειξετε οτι.
α)ΟΑ(διανυσμα) * ΟΒ(διανυσμα)=Re(zw-o w συζηγης)
β)αν Α η εικονα του z1 ,B η εικονα του z2, Γ η εικονα του z3 και ισχυει μετρο z1 = μετρο z2= μετρο z3=1
καθως επισης και z1*z2 *(z1+z2)+z2*z3*(z2+z3)+z1*z3*(z3+z1)=0 ..ν.δ.ο. ΟΑ (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ) + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)=ΟΑ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜA)^2

Οποιος μπορει ας με βοηθησει με την επιλυση της παραπανω σκησης ..ευχαριστω πολυ

a) ΟΑ*ΟΒ=(Rez,Imz)*(Rew,Imw)=RezRew+ImzImw
Re[(Rez+iImz)(Rew-iImw)]=RezRew+ImzImw
Άρα απεδείχθη το ζητούμενο.

b) Εδώ ζητάς να αποδείξουμε ότι ένα άνυσμα ισούται με ένα βαθμωτό [ΟΑ (ΔΙΑΝΥΣΜΑ) +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ) + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)=ΟΑ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 +ΟΒ(ΔΙΑΝΥΣΜΑ)^2 + ΟΓ(ΔΙΑΝΥΣΜA)^2]. Αυτό δε γίνεται, διόρθωσε το ερώτημα και θα το δω αργότερα.

Arthur39432 · 23-08-10

Εχω μαζεψει καποιες ασκησεις που δεν μπορεσα να λυσω.. αν μπορειται βοηθηστε. Δεν ειναι αναγκη να γραψεται την λυση αλλα πειτε καμια μεθοδολογια και hints

... ( Οι ερωτησεις ειναι για το κεφαλαιο των μιγαδικων και τα μετρα τους..)

1)Εστω οι μιγαδικοι $z_1, z_2$ για τους οποιους ισχυει $z_1² + z_2² = z_1*z_2$ . Αν Α,Β ειναι εικονες τους στο μιγαδικο επιπεδο, να δειξετε οτι το τριγωνο ΟΑΒ ειναι ισοπλευρο, οπου Ο ειναι η αρχη των αξονων.
(Ειπα, αρκει $|z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|$ , πηρα τις 2 πρωτες ισοτητες και μετα τις αλλες 2, δεν μου βγαινει...)

2)Αν $z\in C$ και ισχυει $(1+iz)^v = \frac{1+i\sqrt3} {\sqrt3+i} , v\in N*$ , να δειξετε οτι (z δεν ανηκει R)
( Την εφτασα μεχρι εδω, $|1+iz|^v = 1$ μετα λεω , Εστω $z= L\in R$ και μετα απο πραξεις μου βγαινει κατι που ισχυει

)

3) Εστω $M_1,M_2$ οι εικονες των ριζων της εξισωσης $z² - z + k = 0, k\in R$ στο μιγαδικο επιπεδο. Αν Μ η εικονα του μιγαδικου w= 1=i, να βρειτε το k ωστε $(MM_1)*(MM_2) = \sqrt 3$

4) Αν για τους μιγαδικους $z_1,z_2,...,z_v$ , v >= 2 ισχυει:
$|\frac{z_1 +i}{iz_1 +1} | + |\frac{z_2 +i}{iz_2 +1} | + ... + |\frac{z_v +i}{iz_v +1} | < 2$
να δειξετε οτι ενας , το πολυ, απο αυτους ειναι πραγματικος αριθμος.

Almost there

.. Last but not least..
5) Αν για τους μιγαδικους $z_1, z_2$ ισχυει: $| \frac{ z_1 -i}{z_1+i}|+| \frac{ z_2 -i}{z_2+i}| < 1$ , να δειξετε οτι :

a) $z_1 , z_2$ δεν ανηκουν R ... ( Αυτο το απεδειξα, οποτε το περνουμε σαν δεδομενο για την επομενη αν χρειαστει .. )

b) $| \frac{z_1 + z_2 -i}{z_1 + z_2 +i} | < 1$

Thank you :yawn:

exc · 24 Αυγούστου 2010

1) z1^2+z2^2-z1z2=0=>z1(z1-z2)=-z2^2=> |z1||z1-z2|=|z2|^2=>|z1-z2|=(|z2|^2)/|z1|.
Ομοίως βγάζοντας κοινό παράγοντα το z2 => |z1-z2|=(|z1|^2)/|z2|.
Εξίσωσε τα δύο μέλη και συνέχισε μόνος.

2) |1+iz|^ν=1=>|1+iz|=1=> |z-i|=1. Άρα η εικόνα του z κινείται πάνω σε κύκλο με κέντρο (0,1) και ακτίνα 1, άρα είναι μιγαδικός. Όχι πραγματικός, όχι φανταστικός.

3) w= 1=i. ???

4) Κάθε παρανομαστής μπορεί να γραφτεί ως |iz+1|=|i(z-i)|=|z-i|. Έχεις στον αριθμητή λοιπόν |z+i| και στον παρανομαστή |z-i|. Όμως: |z+i|=<|z|+1 και |z+(-i)|=<|z|+1. Ανάλογα τους μιγαδικούς αυτό το άθροισμα μπορείς να το διατηρήσεις <2. Αλλά αν z1=a1εR, έχεις: |z1-i|=a1^2+1=|z1+i|. Άρα το πηλίκο αυτών θα είναι ίσο με 1. Αν έχεις έστω έναν ακόμα μιγαδικό που είναι πραγματικός τότε το άθροισμα γίνεται τουλάχιστον 2.
5) Α=z1+z2.
|Α-i|^2/|A+i|^2=(ReA^2+ImA^2+1-2ImA)/(ReA^2+ImA^2+1+2ImA). Για να είναι <1 πρέπει ImA>0 κάτι που βγαίνει από την δεδομένη ανισότητα. Όχι πολύ εύκολα (όχι τουλάχιστον με τον τρόπο που το προσπάθησα εγώ), αλλά βγαίνει. Θέμα πράξεων είναι.

Evi_Panay · 24-08-10

ναι εχεις δικιο ολο το πρωτο μελος ειναι στο τετραγωνο!

Arthur39432 · 24-08-10

1)Το πρωτο μου βγηκε

2)Δεν το ειχα σκεφτει ετσι (προφανος)... ισως γιατι το βιβλιο εδινε μερικως την λυση και ελεγε.. Εστω z ανηκει R τοτε (...) z=0, Για z=0 ,... Ατοπο(Μου εβγαινε οτι ισχυει

)
Μια ερωτηση για τον κυκλο, πρεπει να εξαιρεσουμε καποια σημεια?
3) w= 1- i ***
4)Μεσω της λυσης σου καταλαβα και την υποδειξη του βιβλιου. Αν z_1 ανηκει R τοτε το πηλικο $|\frac{z_1 +i}{iz_1 +1} | =1$ ,
αν z_2, z_v ανηκουν R βγαινει κατι ατοπο, αρα το πολυ ενας ειναι στο R (το ιδιο πραγμα λεει αλλα πιο περιεκτικα)
5)Εδω " (ReA^2+ImA^2+1-2ImA)/(ReA^2+ImA^2+1+2ImA) " τι ακριβως εκανες? :hmm:

Εχω φτασει αυτο $| \frac{z_1 + z_2 -i}{z_1 + z_2 +i} | < 1$ σε Im(z1)+Im(z2) > 0 που ομως δεν ξερουμε αν ισχυει... Θα κοιταξω την δεδομενη ανισωτητα, αν και με μια πρωτη ματια δεν βγαινει ευκολα

Great, thanks

exc · 24 Αυγούστου 2010

@Evi_Panay:
Ξεκινώντας από την z1*z2 *(z1+z2)+z2*z3*(z2+z3)+z1*z3*(z3+z1)=0 και διαιρώντας με z1z2z3 και αντικαθιστώντας τους παρανομαστες που θα προκύψουν χρησιμοποιώντας το (με ζ θα συμβολίζω τον συζυγή του z)

z|^2=zζ=1, καταλήγουμε στην:
(z1+z2)ζ3+(z2+z3)ζ1+(z1+z3)ζ2=0=>z1ζ3+z2ζ3+z2ζ1+z3ζ1+z1ζ2+z3ζ2=0=>Re(z1ζ3+z2ζ3+z2ζ1+z3ζ1+z1ζ2+z3ζ2)=0=> Rez1ζ3+Rez2ζ3+Rez2ζ1+Rez3ζ1+Rez1ζ2+Rez3ζ2=0. Όμως: Rez1ζ3=Rez3ζ1 (αποδεικνύεται εύκολα, δες το) κλπ. Άρα Rez1ζ3+Rez2ζ3+Rez1ζ2=0 ή Rez3ζ1+Rez3ζ2+Rez2ζ1=0. Αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε παρακάτω.

Έχουμε, τώρα (εννοώ πάντα διανύσματα): (ΟΑ+ΟΒ+ΟΓ)^2=ΟΑ^2+ΟΒ^2+ΟΓ^2+2[ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ].
Προφανώς αρκεί να δείξουμε ότι: ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=0. Χρησιμοπιώντας αυτό που αποδείξαμε στο 1ο ερώτημα, έχουμε: ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=Rez1ζ2+Rez1ζ3+Rez2ζ3, ενώ χρησιμοποιώντας τη σχέση μου αποδείξαμε στην αρχή από τα δεδομένα έχουμε ότι ΟΑΟΒ+ΟΑΟΓ+ΟΒΟΓ=Rez1ζ2+Rez1ζ3+Rez2ζ3=0.

@Arthur39432:
2) Δεν εξαιρείται κανένα σημείο.

3) Απλή είναι. Απλώς έχει και αυτή πολλές πράξεις. Βρες τη ρίζα της εξίσωσης διακρίνοντας περιπτώσεις για την διακρίνουσα και μετά απλώς κάνε αντικαταστάσεις και θα καταλήξεις σε 2 διαφορετικά πραγματικά k.

5) (ReA^2+ImA^2+1-2ImA)/(ReA^2+ImA^2+1+2ImA).
Εδώ έθεσα Α= z1+z2 και είπα ότι για να ισχύει |A-i|/|A+i|<1 πρέπει και |A-i|^2/|A+i|^2<1.

Επικεντρώσου στο να καταλήξεις σε μία ανισότητα που προκύπτει και από τις δύο τους (δεδομένη και ζητούμενη) με ισοδυναμίες. Κάπως έτσι βγαίνει ευκολότερα από το να αποδείξεις ότι ImA>0.

red span · 25-08-10

Απορια στην μονοτονια
Εστω οι f,g(0,oo)--->R με τυπους f(x)=e^x-1 και g(x)=1/x
να αποδειξετε οτι f(1)=g(1)
ii) η συναρτηση f-g ειναι γνησιως αυξουσα στο π.ο
ιιι)οι γραφικεσ παραστασεις τον f,g εχουν ακριβως ενα κοινο σημειο
Υ.γ(τα δυο πρωτα τα λυσα στο 3 εχω λιγο προβλημα)

koum · 25-08-10

Αρχική Δημοσίευση από red span:
Απορια στην μονοτονια
Εστω οι f,g(0,oo)--->R με τυπους f(x)=e^x-1 και g(x)=1/x
να αποδειξετε οτι f(1)=g(1)
ii) η συναρτηση f-g ειναι γνησιως αυξουσα στο π.ο
ιιι)οι γραφικεσ παραστασεις τον f,g εχουν ακριβως ενα κοινο σημειο
Υ.γ(τα δυο πρωτα τα λυσα στο 3 εχω λιγο προβλημα)

Αφού η $\displaystyle f-g$ είναι γνησίως μονότονη, τότε θα έχει το πολύ μία ρίζα. Αλλά, από i) έχουμε δείξει ότι $\displaystyle f(1)-g(1)=0 \Leftrightarrow f(1)=g(1)$ . Άρα η $\displaystyle x=1$ είναι η μοναδική ρίζα. Άρα οι $\displaystyle f , g$ έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.

Υ.γ. οι συναρτήσεις μάλλον είναι άλλες, αφού $\displaystyle f(1)\neq g(1).$

Pasipoy · 27-08-10

Αν οι εικόνες Α,Β των μιγαδικών z1 k z2 στο μιγαδικο ανηκουν στον ιδιο κυκλο μ κέντρο την αρχή των αξόνων , να αποδείξετε ότι ο μιγαδικος w=[(z1+z2)/(zi-z2)]^2 , z1<>z2 είναι πραγματικός αριθμός

Βοήθεια/Aπορίες στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος